Диссертация (Численно-аналитическое исследование параметров вращения Земли с приложениями для спутниковой навигации), страница 4

Пусть G  собственный кинетическиймомент Земли, Λ  суммарный орбитальный кинетический момент центровмасс Луны C1 и Земли C2 . Тогда кинетический момент всей замкнутой системыK  G  Λ без учёта влияния внешних возмущающих воздействий неподвиженв инерциальном пространстве и совпадает с осью C123 (рисунок 1).Радиус-векторы R1 и R 2 точек C1 , C2 в системе координат C12123задаются в видеR j  R j R 0j , R j  c*j R21 , c1*  m2 m, c2*  m1 m, m  m1  m2 ,TR 0j   3  h  1  i  cos ,sin  ,0  ,j  1,2 ,(1.4)R1   R 2 , 1 (i)  diag 1,  2 (i )  ,  3 ( h)  diag   2 ( h),1 .Матрицы 1,3 в (1.4)  блочно-диагональные,  2  матрица плоского24Рисунок 1 Система координат для задачи двух тел и ориентация векторов.25поворота.

Угловые переменные h, i и  суть долгота восходящего узла,наклонение и истинная аномалия орбиты соответственно. Радиус-вектор R 21 ,соединяющий центры масс Земли и Луны, т.е. точки C1 и C2 , имеет видR 21  R21R 021так,чтоR 021  R 10 .ИспользованыследующиезначенияR 21  384,4  106 м., масса Луны m1  7,36  1022 кг., масса Земли m2  5,98  1024кг.С твёрдым ядром планеты жестко связана декартова система координатC2 x1 x2 x3 , оси которой направлены вдоль главных центральных осей инерции A,B и C.

В связанной системе координат орт R 021 определяется следующимобразом:T0S 1R 21  1, 2 ,  3  ,S 1   31 (1 )11 ( 2 )31 ( 2 )11 (1 ) 31 (3 ).(1.5)Здесь ортогональная матрица S  S (t ) ( S 1  S T ) задает переход отсвязанных к инерциальным осям и выражается посредством каноническихпеременных Андуайе [16, 22]: моментов импульсов L , G , G3 и угловыхпеременных 1 ,2 ,3 . Углы 1 ,  2 определяются соотношениями (рисунок 2)cos 1 G3G, cos  2 L,G(1.6)где G  модуль кинетического момента Земли, G3 и L  проекция вектора Gна инерциальную ось 3 и связанную ось x3 соответственно.Функционал потенциальной энергии притяжения планеты и спутникабудет:26Рисунок 2 Взаимная ориентация связанной с деформируемой Землей и опорной систем координат ипеременных Андуайе.271  m1m2 f1 1R213   A  C  1  3 32   U1  ,R2120U1     r , u   3  S 1R 21, r  S 1R 021 , u   d x ,(1.7)1  fm1 , d x  dx1dx2 dx3 ,где f – постоянная тяготения.

В (1.7) опущены члены порядка (l R21 (0))3 ивыше, где l – характерный размер планеты.Аналогично функционал потенциальной энергии притяжения спутника ипланеты Солнцем записывается так:2  0 m 2 11  0 R 3mi R i2  3(R 0 , R i )2   0 R 3   A  C  1  3 32   U 2  ,R2i 1 2(1.8)U 2     r , u   3 S R , r  S R , u  d x,1010Здесь R 0  R 1R - орт радиус-вектора барицентра C12 , 0 - гравитационный12параметр притягивающего центра,   0 R 3  0 - среднее движение точки C,TS 1R 0   1 ,  2 , 3  - проекции орта R 0 на оси системы координат C2 x1 x2 x3 . Винерциальной системе координат имеет место R 0  (cos1 ,sin 1,0) , где 1  0t истинная аномалия.Взаимное орбитальное движение центров масс C1 и C2 описываетсяканоническими переменными Делоне [34]:  , H , , h , где   Λ , H   cos i проекция  на ось C123 , т.е.

на ось суммарного кинетического момента K .Функционал Рауса рассматриваемой задачи имеет вид [41]:2 2 m*3 10  1  u 2 dx  E[u ] R  R*  0 R 3m* R212 1  3  R 0 , R 212 2 2211 1R213   A  C  1  3 32   U1   0 R 3   A  C  1  3 32   U 2  ,22(1.9)28гдеR*   G  Gu , J 1[u ](G  G u )  ,J 1[u ]  J 01  J 01 J1[u ]J 01  , J 01  diag  A1, B 1 , C 1  , R , R   cos  cos cos(  h)  cos i sin  sin(  h),002111  fm, m*  m1m2 m .В (1.9)J1[u ]- линейная поuкомпонента тензора инерциидеформированной планеты, E[u ] - квадратичный функционал потенциальнойэнергии упругих деформаций.1.3.

Невозмущенное движение системыФункционал Рауса R* в промежуточной задаче для деформируемойЗемли после ряда преобразований и усреднения по быстрым переменным 2 и приводится к виду (с точностью до несущественной постоянной):G 2  L2  sin 2 1 cos 2 1  L2R  const.2  A*B*  2C **(1.10)В (1.10) A* , B* , C *  эффективные главные центральные моменты инерции сучетомдеформаций«замороженной»Земли,обусловленныесложнымдвижением  собственным вращением и движением относительно барицентраC12 . Использованы значения A*  8,0912  1037 кгм2; B*  8,0914  1037 кгм2;C *  8,1100  1037 кгм2.

Выражения для них могут быть представлены в виде [8]:A* , B* , C *  J jj [u]I 22 ( I 22  31R213dJ 2jj [u]) 1 , I 2  G,j  1,2,3,d  cos 2 h*  cos 2 i sin 2 h*  cos 2 1 (sin 2 h*  cos 2 i cos 2 h* ) (1.11) sin 2 i sin 2 1 , h*  3  h, 1  fm1 .Здесь J jj [u]  функционалы упругих смещений u частиц вязкоупругой мантии,29имеющиесмыслкомпонентглавногоцентральноготензораинерциидеформированной Земли в связанной системе координат; при u  0 имеемJ jj [0]  diag( A, B, C ), ( j  1,2,3) .

Таким образом, согласно (1.11) система ЗемляЛуна рассматривается как “почти” двойная планета.Структура (1.10) совпадает с традиционным выражением для функцииРауса абсолютно твёрдого тела в переменных Андуайе [17, 22]. На его основевводятся удобные для применения асимптотических методов переменные типадействие-угол I j , w j ( j  1,2,3) .

Следует отметить, что переменные действиеугол задают гамильтонову систему переменных.Далеевводятсяосновныединамическиепараметрыи,характеризующие вращательные движения деформируемой Земли:C * (A*  B* )2 EC *  I 222  * *,   2.A (B  C * )I 3  2 EA*2(1.12)Кинетический момент вращения Земли относительно своей осивращенияI 2  5.85  1033 кгм 2 /с . ПостояннаяEимеет смысл интегралакинетической энергии промежуточного движения (вращений) деформируемойЗемли, I 2  G .Связьканоническимимеждупеременнымипеременнымидействие-уголАндуайеL, G, G3 , jI j , w j ( j  1,2,3)выражаетсяичерезэллиптические функции и интегралы неоднозначно [5,6].

Для случая,соответствующего вращениям Земли, имеют место соотношения30I1 2 I 2 *  2   2 2,,K(),  2 *  1   2 ,    2   2 , 0    1,w1   F ( ,  ), tg    *1 ctg 1 ,2 K ( )(1.13)  2  F ( ,  ) 2    ,  ,      2 ,  ,   K ( )  ,2   am( ,  ),   K ( ) w1 , w3  3 .w2   2 * Здесь F ( ,  ) и   ,  2 ,  - эллиптические интегралы первого и третьего родасоответственно, K ( ) и   / 2,  2 , - отвечающие им полные эллиптическиеинтегралы.С помощью введённых согласно (1.13) переменных действие-угол можетбыть выписан функционал Рауса промежуточной модельной задачи ипостроены траектории в фазовом пространстве I j , w j .

Это необходимо длядальнейшего анализа возмущенных движений на асимптотически большоминтервалевремени,накоторомпроисходитсущественноеизменениемедленных (оскулирующих) переменных I j .1.4. Исследование чандлеровского колебанияВыпишем усреднённый по 2 ,  функционал Рауса R0 , отвечающийвращениям деформированной Земли без учёта приливных моментов [5,6]1 I 22  (C *  A* )  2 R0 1 .2 A* C*2 (1.14)Здесь  2 , A* , C * - функционалы от u согласно (1.11), (1.12), где u - векторупругих деформаций, описывающий квазистатический экваториальный выступ,31обусловленный вращением планеты.

Величина R0 зависит также от переменныхдействие-угол I1 , I 2 ; зависимость от других фазовых переменных отсутствует. Врезультате общее решение рассматриваемой задачи имеет вид:I j (t )  I j (0)  I 0j ,j  1,2,3, w3  w30w1  n1t  w10 , w2  n2t  w20 , C *  A* 1 1 1I 2 * *  *  K ( ),2ACI  (C *  A* )   2  1 n2  2* 1   ,  ,   K ( )  .C A*2n1  (1.15)В (1.15) величины I 0j , w0j суть начальные значения, определяемые черезпеременные Андуайе при t  0 посредством выражений (1.13).

Фазы w1 , w2 ичастоты n1 , n2 отвечают соответственно чандлеровскому движению полюса исуточному вращению деформируемой Земли. Значение осевой скоростивращенияЗемлипринимаетсяn2  7.27  105 c 1 .Такимобразом,впромежуточном движении деформируемая Земля равномерно вращается в полецентробежных сил инерции и гравитационного поля Луны. Для абсолютнотвёрдой планеты (u  0) имеет место регулярная прецессия Эйлера-Пуансо.

Врассматриваемом случае деформируемой Земли выражения (1.15) такжеописывают регулярную прецессию, но угловые скорости прецессии исобственного вращения изменяются на некоторую относительно малуювеличину, обусловленную возмущающими факторами. При возмущённомдвижении с учётом диссипативных свойств вязкоупругой мантии Земли имеетместо регулярная прецессия с медленно изменяющимися во временипараметрами, т.е. возникает эволюция медленных переменных, подлежащая32изучениюнаосновеасимптотических методовнелинейноймеханики.Полученное решение (1.15) является порождающим при использовании методаусреднения.Оценки величины  для системы Земля-Луна свидетельствуют, что 2  1, ( 2  10 14 ) , т.е.