Пушкарь Е.А. - Дифференциальные уравнения, страница 7

Тогда последовательные приближения равномерно сходятся на отрезке [c, d]к решению задачи. При этом условие ограниченности функцииf (x, y) и указанное выше ограничение на длину отрезка [a, b],на котором строится решение, оказываются несущественными.Действительно, положим N = max |ϕ1 (x) − ϕ0 (x)|. Тогда[c, d]аналогично неравенствам (4.14) получаемx|ϕ2 (x) − ϕ1 (x)| = [f (ξ, ϕ1 (ξ)) − f (ξ, ϕ0 (ξ))]dξ x0 x x |x − x0 |NL; L |ϕ1 (ξ) − ϕ0 (ξ)|dξ L Ndξ =1!x0x0 x |x − x0 |2|ϕ3 (x) − ϕ2 (x)| L |ϕ2 (ξ) − ϕ1 (ξ)|dξ NL2 .2!x0Вообще(x − x0 )nNLn , ∀x ∈ [c, d].|ϕn+1 (x) − ϕn (x)| n!(4.16)4.2 Метод последовательных приближений (метод Пикара)51Следовательно, рядn|x − x0 |2|x−x||x − x0 |0NL +NL2 + . .

. +NLn + . . .1!2!n!сходится равномерно для любых |x − x0 |. Значит ряд (4.13)сходится равномерно.Пользуясь соотношениемϕ(x) = ϕm (x) + [ϕm+1 (x) − ϕm (x)] + [ϕm+2 (x) − ϕm+1 (x)] + . . .и применяя оценки (4.16), получим: NLm (x − x0 )m|ϕ(x) − ϕm (x)| 1|x − x0 ||x − x0 |+L+ L2+... .m!(m + 1)!(m + 2)!2Эта формула позволяет оценить отклонение m-го приближения от точного, еще неизвестного решения.Пример.

Решить методом Пикара уравнение, решение которого не выражается через элементарные функции: y (x) = x2 + y 2 ,y(0) = 0.Пустьy0 (x) = 0.Тогда по формулам (4.10) последовательно получимxy1 (x) = 13 x3 ;y2 (x) = (x2 + 19 x6 )dx = 13 x3 +y3 (x) =01 33 x (1+1 421 x+2 8693 x+1 7x;63112x).19845При |x| 1 эти приближения быстро сходятся. Метод Пикара выгодно применять, когда интегралы в правой части можновычислить через элементарные функции. В противном случае(если интегралы надо находить численно) метод Пикара неудобен.524Общая теория4.3.

Сеточные методы решения задачи КошиРассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка y = f (x, y),(4.17)y(x0 ) = y0 ,где x ∈ [x0 , X], x0 — начальная точка отрезка.По теореме существования и единственности, если праваячасть f (x, y) дифференциального уравнения (4.17) непрерывнаи удовлетворяет условию Липшица по y, то решение существуети единственно.Основные методы решения следующие:(1) точные методы, когда решение получается в элементарных функциях или квадратурах от них. Недостаткиточных методов:(a) только очень ограниченные классы уравнений допускают точные решения;(b) бывает, что понять структуру и качественный видобщего решения достаточно сложно, даже при наличии точного решение.y−x(см.

выше уравнениеПример. Уравнение y =y+x(3.27)) имеет общий интегралy1ln(y 2 + x2 ) + arctg = C.(4.18)2xОднако для того, чтобы составить таблицу значенийy(x), надо численно решить трансцендентное уравнение(4.18), что нисколько не проще, чем непосредственночисленно проинтегрировать исходное дифференциальное уравнение. Понять структуру решения этого уравнения можно также методом изоклин.(2) приближенные методы, в которых решение получается как предел y(x) некоторой последовательности un(x)4.3 Сеточные методы решения задачи Коши53при n → ∞, причем un (x) выражаются через элементарные функции или через квадратуры от них. Еслиограничиться конечным числом n, то получим приближенное аналитическое выражение для искомого решения y(x).

Примером приближенного метода является метод Пикара, рассмотренный выше при доказательстветеоремы существования. Примером может также служить метод разложения решения в обобщенный степенной ряд, который будет рассмотрен в дальнейшем. Однако эти методы удобны, только когда большую частьпромежуточных выкладок удается сделать точно (например, найти явные выражения для коэффициентовряда). Это выполнимо лишь в случае сравнительно простых задач (таких, как линейные), что сильно сужаетобласть применения приближенных методов.(3) численные методы: алгоритм вычисления приближенных значений (иногда — точных) искомого решения y(x)на некотором дискретном множестве Dh : {xn } выбранных значений аргумента (так называемая “сетка”). Решение имеет вид таблицы (то есть дискретно!).Недостаток численных методов состоит в том, что общее решение не может быть найдено — решаются толькозадача Коши или другие задачи (например, краевые задачи).Достоинства численных методов заключаются в том,что они применимы к очень широким классам уравнений и всем типам задач для них.

После появления ЭВМони стали одним из основных методов решения.Численные методы можно применять к корректно поставленным (регулязированным) задачам. Более того, требуетсяхорошая обусловленность задачи, то есть малое изменение начальных условий должно приводить к достаточно малому изменению интегральных кривых. Если это условие не выполнено,544Общая теорият.е. задача плохо обусловлена, то небольшие изменения начальных условий или небольшие погрешности численного методамогут сильно исказить решение.В качестве примера плохой обусловленности рассмотрим задачу:y = y − x, 0 x 100,y(0) = 1.Общее решение содержит одну произвольную постоянную:yобщ = 1 + x + Cex .Из начального условия y(0) = 1 следует, что C = 0, так чтополучаем y(100) = 101. Однако даже небольшая погрешностьв начальном условии ỹ(0) = 1,000001 дает значение C = 10−6 ,откуда находим ỹ(100) = 2,7 · 1037 , т.е.

решение изменилосьочень сильно.4.4. Метод ломаных (Метод Эйлера)Это простейший численный метод. В практических вычислениях он применяется очень редко из-за невысокой точности.Однако на его примере удобно пояснить способы построения иисследования численных методов.Рассмотрим задачу Кошиy = f (x, y),(4.19)y(x0 ) = y0 , x ∈ [x0 , X].Проведем дискретизацию задачи:(1) Зададим сетку Dh {xn , 0 n N}, такую чтоx0 < x1 < . . . < xN = X, hn = xn+1 − xn . Наряду с (дифференцируемой) функцией y(x), в дальнейшем будемрассматривать сеточную (дискретную) функцию u(h) ,определенную только в узлах сетки Dh : un = u(xn ).4.4 Метод ломаных (Метод Эйлера)55(2) Разложим y(x) по формуле Тейлора на интервалеxn x xn+1 , обозначив y(xn ) = yn ; yn+1 = y(xn+1 ).Получим1yn+1 = yn + hnyn + h2n yn + .

. . ; hn = xn+1 − xn .(4.20)2Дифференцируя уравнение (4.19) нужное число раз, можнонайти производные y , y и т.д., входящие в (4.20)y = f (x, y);y =d∂f ∂f f (x, y) =+ y = fx + f fydx∂x ∂y(4.21)и т.д.Однако использовать для расчетов формулу (4.20) с большим числом членов невыгодно. Во-первых, даже при сравнительно простой правой части выражения для производных могут оказаться громоздкими. Во-вторых, если правая часть известна лишь приближенно, то находить ее производные нежелательно, поскольку это может привести к большим погрешностям.Подставляя (4.21) в (4.20) и ограничиваясь только первымчленом разложения, получим:un+1 = un + hnf (xn , un),hn = xn+1 − xn .(4.22)Поскольку при такой замене можно найти только приближенные значения искомой функции в узлах сетки, то эти значения обозначены un в отличие от точных значений yn = y(xn ).Заметим, что при отбрасывании членов высшего порядка в(4.20) была допущена погрешность O(h2 ).Для численного расчета по схеме ломаных (4.22) необходимозадать начальное значение u0 = y0 , тогда по формуле (4.22)можно вычислить u1 , u2 , .

. . , uN .Геометрическая интерпретация этой схемы дана на рис. 4.2,где изображено поле интегральных кривых уравнения (4.19).Использование только первого члена в формуле Тейлора означает движение не по интегральной кривой, а по касательной564Общая теорияyD(x3 ,y3 )C(x2,y2)A(x0 ,y0 )B(x1 ,y1)xРис. 4.2.

Геометрическая интерпретация метода Эйлерак ней. На каждом шаге мы заново находим наклон касательной, т.е. касательную проводим каждый раз не к исходной интегральной кривой, а к той, которая проходит через точку, полученную на текущем шаге. Следовательно, траектория движения будет ломаной линией, образованной из касательных кполю интегральных кривых (рис. 4.2).4.4.1. Сходимость метода ломаныхПусть f (x, y) непрерывна и ограничена вместе с первымипроизводными|f | M1 ,|fx| M2 ,|fy | M3 ,откуда следует, что (см. (4.21))|y | M4 = M2 + M1 M2 .Будем рассматривать погрешность приближенного решенияzn = un − yn.

Вычитая (4.20) из (4.22), получим соотношение,4.4 Метод ломаных (Метод Эйлера)57связывающее погрешности в соседних узлах сетки:1zn+1 = un + hnf (xn , un ) − yn − hn f (xn , yn ) − h2nyn + O(h3n ) =21= zn (1 + hfy )n − h2n yn + O(h3n ),2где мы использовали следующие преобразованияf (xn , un ) − f (xn , yn) = f (xn , yn + (un − yn )) − f (xn , yn ) =∂f∂ 2f(un − yn) + 2 (un − yn )2 + . . . − f (xn , yn ) ≈= f (xn , yn) +∂y∂y≈ (fy )n znи ограничились линейным членом, то есть окончательно мыимеем1(4.23)zn+1 = zn (1 + hfy )n − h2n yn .2Применяя рекуррентную формулу (4.23) m раз, выразим погрешность на произвольном шаге через погрешность начальных данных:zm = z0m−1(1 +hfy )nn=0m−1m−21 2 −h n yn(1 + hfy )k .2 n=0(4.24)k=n+1Дадим асимптотическую оценку погрешности.

Заметим, чтопри достаточно малых шагах сетки справедлива следующая цепочка приближенных равенств:m−1m−1exp(hfy )n + O(h2n ) =n=0n=0xm−1m−1 2= exp(hfy )n + O(hn ) ≈ expfy (τ, y(τ ))dτ ≈n=0x0xm ≈ expfy (τ, y(τ ))dτ ,(1 +hfy )n≈x0584Общая теорияпричем в качестве верхнего предела интеграла можно взятьxm , ибо ошибка при этом остается в пределах общей точностипреобразований.Аналогично, преобразуя второй член в (4.24), получимxxmxmm1=zexpfdτ−dτ h(τ )y (τ ) exp  fy dµ ,zm0y2x0x0τ(4.25)где h(x) — некоторая непрерывная функция, которая в каждомузле xn равна hn : h(xn ) = hn ; в качестве такой функции можновзять, например, кусочно-линейную функцию.Рассмотрим структуру погрешности в (4.24). Первое слагаемое связано с погрешностью начального значения z0 = u0 − y0 ,которая умножается на ограниченную (благодаря ограниченности производных) величину.