Пушкарь Е.А. - Дифференциальные уравнения, страница 3

В этом случае изоклина состоитиз одной точки, для которой tg α = 0. На рис. 2.3 построенывышеперечисленные изоклины и изображено поле поле направлений данного дифференциального уравнения. Для того чтобыпостроить интегральную кривую, возьмем на плоскости произвольную точку (x0 , y0 ). Проведем через эту точку кривую так,чтобы она в каждой точке касалась поля направлений. Это ибудем искомой интегральной кривой, проходящей через точку(x0 , y0 ).

В качестве примера, на рис. 2.3 построены интегральные кривые, проходящие через точки (0, 0), (−1, 1) и (1, −1).Будем пользоваться следующей терминологией:(1) Если график решения проходит через точку (x0 , y0 ), тоэто равносильно тому, что решение проходит через точку (x0 , y0 ).(2) Функция y = ϕ(x, C1 , C2 , . . . , Cn ) называется общим решением в области G, если любое решение этого уравнения может быть получено из y = ϕ(x, C1 , C2 , . . . , Cn )соответствующим выбором постоянных C1 , . . . , Cn .(3) Уравнение Φ(x, y) = 0, определяющее интегральныелинии, будем называть интегралом дифференциального уравнения.(4) Уравнение Φ(x, y, C1 , .

. . , Cn ) = 0 будем называть общим интегралом, если при соответствующем выборе постоянных C1 , . . . , Cn это уравнение определяет любуюинтегральную кривую нашего уравнения в области G.ydy= функции y = kx,Например, для уравнения (2.10):dxxx > 0 и y = kx, x < 0 являются общими решения всюду, кроме оси OX, а ax + by = 0 является общим интегралом этогоуравнения во всей плоскости XY , за исключением начала коxординат. Для уравнения y = − мы имеем общее решение вy √верхней полуплоскости y > 0: y = + R2 − x2 и общее решение3.1 Простейшие дифференциальные уравнения17√в нижней полуплоскости y < 0: y = − R2 − x2 , а x2 + y 2 = R2— общий интеграл.Сформулируем теперь теорему существования и единственности, принадлежащую Коши.

В дальнейшем мы докажем такую теорему в более общем виде.Теорема существования и единственностиТеорема 2.1 (Теорема Коши). Пусть дано дифференциальное уравнение y = f (x, y), правая часть которого f (x, y)определена в области G(x, y), причем f (x, y) непрерывна инепрерывно дифференцируема по y в G(x, y): f (x, y) ∈ C иfy (x, y) ∈ C в G. Тогда:(1) для любой точки (x0 , y0 ) ∈ G существует непрерывнодифференцируемая функция y = ϕ(x), удовлетворяющая условию ϕ(x0 ) = y0 ;(2) если два решения y = ψ(x) и y = χ(x) совпадают хотябы для одного значения x = x0 , т.е.

ψ(x0 ) = χ(x0 ),то они совпадают тождественно в области G, т.е.ψ(x) ≡ χ(x) для любого x ∈ G.Значения (x0 , y0 ) называются начальными условиями.3. Простейшие дифференциальныеуравнения3.1. Уравнения видаdydx= f (x)Случай 1. Рассмотрим функцию f (x), непрерывную приa < x < b: f (x) ∈ C(a, b). Как известно из курса анализа,одним из решений этого дифференциального уравнения будетфункцияxy(x) = f (ξ)dξ,x0183Простейшие дифференциальные уравнениягде x0 , x ∈ (a, b). Все другие решения отличаются от него только на аддитивную постоянную и общее решение имеет видxy(x) = f (ξ)dξ + C,x0то есть все интегральные кривые получаются из какой-либоинтегральной кривой сдвигом, параллельным оси OY .Если задать точку (x0 , y0 ), принадлежащую интегральнойкривой, то постоянная C определится единственным образом:C = y0 , тогда через любую точку (x0 , y0 ) полосы x ∈ (a, b)проходит одна и только одна интегральная криваяx(3.1)y(x) = y0 + f (ξ)dξ.x0Случай 2. Пусть теперь функция f (x) → ∞ при x → c,c ∈ (a, b) и f (x) непрерывна в остальных точках.

В точке x = cdx= 0. При приближении кполе направлений зададим так:dyпрямой x = c поле направлений становится все круче и круче,однако на полосах x ∈ (a, c) и x ∈ (c, b), так же как и в предыдущем случае, через любую точку проходит одна интегральнаяxкривая, определяемая уравнением y(x) = y0 + f (ξ)dξ.x0xЕсли при x → c − 0 несобственный интегралf (ξ)dξ схоx0дится, то интегральная кривая приближается к некоторой конечной точке на прямой x = c (рис. 3.1). Легко видеть, чтопрямая x = c является интегральной кривой.Если рассматривать интегральные кривые в полосе (a, b), тоесли функция f (x) имеет одинаковые знаки слева и справа от3.1 Простейшие дифференциальные уравненияy19yxac(1)bacbx(2)Рис.

3.1. Интегральные кривые уравнения y = f (x)(сходящийся интеграл): слева и справа от x = c функцияf (x) имеет одинаковые знаки (1), тогда как (2) соответствует разным знакам f (x)прямой x = c, т.е. f (x) → +∞ при x → c ± 0 (или f (x) → −∞при x → c ± 0), тогда через любую точку (x0 , y0 ) полосы (a, b)проходит бесконечно много интегральных кривых: это составные интегральные кривые, а именно слева от прямой x = c ввиде кривой y = y(x), описываемой (3.1), затем произвольныйотрезок прямой x = c и продолжение справа от x = c в видекривой y = y(x), также описываемой (3.1) (рис.

3.1(1)).Если слева и справа от прямой x = c знаки функции f (x)разные, например, f (x) → +∞ при x → c−0 и f (x) → −∞ приx → c + 0, то в этом случае поведение интегральных кривыхизображено на рис. 3.1(2). Через любую точку прямой x = cпроходит бесконечно много интегральных кривых, однако в любой из полос x ∈ (a, c) и x ∈ (c, b) через каждую точку проходитодна интегральная кривая, поскольку “составные” кривые, подобные кривой изображенной рис. 3.1(2), не могут рассматриваться как интегральные кривые ввиду отсутствия у них гладкости на прямой x = c, то есть всюду, за исключением прямойx = c, решение единственно.203Простейшие дифференциальные уравненияc−0Если интегралf (ξ)dξ расходится, то интегральная криx0вая асимптотически приближается к прямой x = c (рис.

3.2):при x → c − 0 решение y(x) → +∞ (или −∞). В этомслучае прямая x = c также является интегральной кривой.Таким образом, в случае расходящегося несобственного интеc−0f (ξ)dξ решение единственно во всех точках полосыгралаx0x ∈ (a, b). Аналогично можно исследовать поведение интегральных кривых и при x → c + 0 (x ∈ (c, b)).yacbx=axx=bРис. 3.2.

Интегральные кривые уравнения y = f (x) (расходящийся интеграл)3.2. Уравнения видаdydx= f (y)В этом случае x и y “поменялись ролями”. Если правая частьуравнения непрерывна на интервале (a, b) и не обращается внуль ни в одной его точке: f (y) ∈ C(a, b) и f (y) = 0, то урав1dx=. Тогда через любуюнение можно переписать в видеdyf (y)3.2 Простейшие дифференциальные уравнения21точку (x0 , y0 ) полосы y ∈ (a, b) проходит одна интегральнаякриваяyx = x0 +y0dηf (η)(3.2)и все интегральные кривые получаются сдвигом параллельнооси OX какой-нибудь одной интегральной кривой.Рассмотрим случай непрерывной функции f (y), у которойf (c) = 0, причем c — единственное значение на (a, b).

Тогда:y(1) если несобственный интегралdηрасходится приf (η)y0y → c ± 0, то через любую точку полосы y ∈ (a, b) проходит одна и только одна интегральная кривая. Прямаяy = c есть интегральная кривая, являющаяся асимптотой.ydηсходится при(2) если несобственный интегралf (η)y0y → c ± 0 и функция f (y) не меняет знака при переходечерез y = c, то через любую точку этой полосы проходитбесконечно много интегральных кривых.ydη(3) если несобственный интегралсходится приf (η)y0y → c ± 0 и функция f (y) меняет знак при переходечерез y = c, то через каждую точку прямой y = c проходит бесконечно много интегральных кривых, а черезкаждую точку полос y ∈ (a, c) и y ∈ (c, b) проходит поодной интегральной кривой.223Простейшие дифференциальные уравнения3.3.

Уравнения с разделяющимисяпеременнымиДифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными называются уравнения видаdy(3.3)= f1 (x)f2 (y),dxу которых правая часть есть произведение двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной.Теорема 3.1. Если в прямоугольнике Q : {(x, y), x ∈ (a, b),y ∈ (c, d)} функции f1 (x) и f2 (y) непрерывны, причем f2 (y) = 0ни в одной точке интервала (c, d), тогда через любую точку(x0 , y0 ) прямоугольника Q проходит одно и только одно решение уравнения (3.3).Доказательство.

Допустим, что существует дифференцируемая функция y = ϕ(x), удовлетворяющая уравнению (3.3),причем ϕ(x0 ) = y0 . Тогда имеем тождествоdϕ(x)≡ f1 (x)f2 (ϕ(x)),dxкоторое, поскольку f2 (y) = 0, равносильно следующему:dϕ(x)≡ f1 (x)dx.f2 (ϕ(x))Проинтегрируем обе части этого равенства по x в пределахот x0 до x.

Получимϕ(x)ϕ(x0 )=y0dϕ(ξ)≡f2 (ϕ(ξ))xf1 (ξ)dξ.(3.4)x0Пределы в левой части равенства (3.4) имеют указанныйвид, поскольку при интегрировании по x в левой части используется обратная подстановка ϕ(x) = y и соответствующая формула замены переменной в определенном интеграле.3.3 Уравнения с разделяющимися переменными231и F1 (x) —f2 (y)некоторая первообразная от f1 (x). Тогда равенство (3.4) можнопереписать в видеПусть F2 (y) — некоторая первообразная отF2 (ϕ(x)) − F2 (y0 ) = F1 (x) − F2 (x0 ).(3.5)Так как F2 (y) — монотонная функция (поскольку ее произ1водная F2 (y) == 0), то уравнение (3.5) можно одноf2 (y)значно разрешить относительно ϕ(x)ϕ(x) = F2−1 [F2 (y0 ) + F1 (x) − F1 (x0 )].(3.6)Таким образом, допустив существование решения уравнения(3.3), у которого ϕ(x0 ) = y0 , мы его представили в форме (3.6)и установили, что решение единственно: все функции определены с помощью уравнения (3.3) и начального условия.

Проверим, что ϕ(x), определенное из (3.6), дает решение, проходящеечерез точку (x0 , y0 ). Продифференцируем равенство (3.5) по x.Получим:dF2 (ϕ(x)) · ϕ (x) ≡ F1 (x)dϕ(x)отсюда1· ϕ (x) ≡ f1 (x).f2 (ϕ(x))Значит, уравнение (3.3) удовлетворяется:ϕ (x) ≡ f1 (x) · f2 (ϕ(x)).Подставим начальные условия в (3.6). Получим при x = x0 :ϕ(x0 ) = F2−1 [F2 (y0 )] = y0 . Значит, начальные условия выполнены.Отметим, что если f2 (y) обращается в нуль в какой-то точкеy = y1 , то это может привести к нарушению единственности.243Простейшие дифференциальные уравненияЭто зависит от сходимости несобственного интегралаydηf2 (η)(3.7)y0при y → y1 и того, меняется ли знак функции f2 (y) при переходе через y = y1 .

Если несобственный интеграл (3.7) сходитсяи функция f2 (y) не меняет знака при y = y1 , то через любуюточку (x0 , y0 ) прямоугольника Q : {(x, y), x ∈ (a, b), y ∈ (c, d)}проходит бесконечно много интегральных кривых, касающихся прямой y = y1 . Если несобственный интеграл (3.7) сходитсяи функция f2 (y) меняет знак при переходе через y = y1 , точерез любую точку прямой y = y1 проходит бесконечно многоинтегральных кривых, однако в любой из полос y ∈ (c, y1 ) иy ∈ (y1 , d) через каждую точку проходит одна интегральнаякривая, то есть всюду, за исключением прямой y = y1 , решениеединственно. Если несобственный интеграл (3.7) при y → y1 ±0расходится, то решение всегда единственно.3.4.