Пушкарь Е.А. - Дифференциальные уравнения, страница 10

Пусть дано дифференциальное уравнениеF (x, y, y ) = 0,уравнение семейства его решений Φ(x, y, C) = 0. Тогда любоеособое решение является огибающей семейства Φ(x, y, C) = 0и наоборот, огибающая есть особое решение данного дифференциального уравнения.Нахождение огибающей производится следующим образом.Допустим, что огибающая L существует, тогда координаты ееточек удовлетворяют уравнению F (x, y, C(x, y)) = 0, где теперь C не постоянно, но в каждой точке огибающей C принимает свое значение: C = C(x, y), так как разных точек огибающей касаются разные кривые семейства Φ(x, y, C) = 0.

Рассмотрим такой фрагмент огибающей L, на котором y являетсядифференцируемая функция от x: y = y(x). Тогда в уравненииF (x, y, C(x, y)) = 0 можно считать, что C = C(x) и переписатьэто уравнение в видеF (x, y(x), C(x)) = 0,где Cx = 0 (в предположении дифференцируемости функцииC(x)). Продифференцируем это уравнение по x, считая y функцией от x. Получим, что на огибающейFx + Fy y + FC Cx = 0.Однако, y в рассматриваемой точке на огибающей можетбыть найдена для семейства исходных линий, так как эта точка одновременно лежит и на огибающей, и на одной из кривыхрассматриваемого семейства.

На этих кривых C = const, следовательно, справедливо соотношениеFx + Fy y = 0.Чтобы определяемые из обоих уравнений значения y были одинаковы (определить y из этих уравнений можно, еслиFy = 0), т.е. чтобы огибающая и линия семейства Φ(x, y, C) = 05.5 Огибающая77имели общую касательную, необходимо FC Cx = 0, а так какCx = 0, то на огибающей должно выполняться соотношениеFC = 0.Таким образом, огибающая определяется уравнением, получающимся после исключения C из системыF (x, y, C) = 0,FC (x, y, C) = 0.Можно показать, что эти условия являются также достаточными.Замечание. Огибающая семейства интегральных кривыхнекоторого дифференциального уравнения первого порядкавсегда является особой интегральной кривой этого уравнения,так как она является интегральной кривой и все ее точки особые; более того, на любом ее участке найдутся точки, через которые в сколь угодно малой окрестности огибающей проходитбесконечное количество интегральных кривых.Примеры.(1) Уравнение Клерó.

Уравнением Клеро называется уравнение видаy = xy + f (y ).Его общее решение имеет вид y = Cx + f (C), т.е.представляет собой уравнение семейства прямых.Огибающая находится из системы уравненийy = Cx + f (C),0 = x + f (C).(2) На всей плоскости (x, y) дано семейство кривыхF (x, y, C) ≡ y − (x + C)3 = 0.Оно состоит из кубических парабол, полученных изодной y = x3 сдвигом, параллельным оси OX.785Уравнения, не разрешенные относительно производнойyxРис. 5.5.

Ось Ox – огибающая семейства y − (x + C)3 = 0Из уравнения FC = 0 получаем −3(x + C)2 = 0,откуда находим C = −x. Подставляя это равенство висходное уравнение семейства кривых, получим линиюy = 0, которая, очевидно, является огибающей семейства y − (x + C)3 = 0 (рис. 5.5).(3) На всей плоскости (x, y) дано семейство кривыхF (x, y, C) ≡ y 5 − (x + C)3 = 0.Из уравнения FC = 0 получаем −3(x + C)2 = 0, отсюда находим C = −x. Подставляя это равенство в исходное уравнение семейства, получим y = 0, однако осьOX не является огибающей данного семейства, т.к. приy = 0 мы имеем Fy = 5y 4 = 0.(4) Семейство круговF (x, y, C) ≡ x2 + (y + C)2 − 1 = 0покрывает полосу между прямыми x = ±1.

Из уравнения FC = 0 получим C = −y. Подставляя это соотношение вместо C в уравнение семейства, получаем x = ±1.Каждая из этих прямых является огибающей данногосемейства (см. рис. 5.4).5.6 О поведении интегральных кривых в целом79(5) Уравнениеy − C 3 x2 + 2C 2 x − C = 0,которое при C = 0 можно переписать в виде21= 0,y − C3 x −Cопределяет семейство парабол, вершины которых находятся на оси OX. Очевидно, что для них ось OX является огибающей, хотя в то же время она принадлежитсамому семейству: она получается из уравнения этогосемейства при C = 0.5.6. О поведении интегральных кривых вцелом и предельных циклахОдной из фундаментальных задач теории обыкновенныхдифференциальных уравнений является задача о построениисхемы поведения семейства интегральных кривых заданногодифференциального уравнения во всей области его определения, т.е.

изучения поведения интегральных кривых этого уравнения “в целом”. Эта задача еще очень далека от своего решениядаже для уравнения видаM(x, y)dy=,dxN(x, y)где M(x, y), N(x, y) — многочлены степени выше второй. В связи с такой задачей скажем несколько слов о так называемых“предельных циклах”.Определение. Замкнутая интегральная кривая L называется предельным циклом, если все ее точки обыкновенные ик ней асимптотически приближается некоторая другая интегральная кривая.805Уравнения, не разрешенные относительно производнойРассмотрим для примера дифференциальное уравнение:dρ= ρ − 1,dϕ(5.11)где ρ, ϕ — полярные координаты в плоскости (x, y).В переменных x, y (декартовы координаты) это уравнениеравносильно следующему:(x + y) x2 + y 2 − ydy,(5.12)=dx (x − y) x2 + y 2 − xего можно получить после замены переменныхx = ρ cos(ϕ),y = ρ sin(ϕ).Общий интеграл уравнения (5.11) имеет видρ = 1 + Ceϕ ,где C — произвольная постоянная.Чтобы ρ было неотрицательным, необходимо, чтобы ϕ принимало значения, не большие чем − ln |C|, если C < 0.OРис.

5.6. Интегральные линии уравнения (5.11)Семейство интегральных кривых (рис. 5.6) состоит из:(1) окружности ρ = 1 (C = 0);5.6 О поведении интегральных кривых в целом81(2) спиралей, выходящих из центра окружности ρ = 0 подуглами, определяемыми уравнением Ceϕ + 1 = 0. Этиспирали приближаются к окружности ρ = 1 изнутри,когда ϕ → −∞ (C < 0);(3) бесконечных спиралей, которые приближаются к окружности ρ = 1 снаружи, когда ϕ → −∞ (C > 0).Таким образом, окружность ρ = 1 является предельнымциклом для уравнения (5.11).

Разыскание предельных цикловпредставляет большой интерес для приложений.Заметим, что все точки окружности ρ = 1 не являются особыми для уравнения (5.11). Это можно проверить, если перейти от полярных координат к декартовым (см. уравнение (5.12)).Значит, малая окрестность любой точки предельного цикла ничем не отличается от малой окрестности всякой другой неособой точки.К подобным картинам интегральных кривых приводят, например, некоторые модели, описывающие систему, состоящуюиз двух популяций, одна из которых служит пищей для другойпопуляции, так называемая система жертва — хищник (их численности равны x и y соответственно и являются функциямивремени: x = x(t) и y = y(t)). Скорость изменения во времени популяции жертв ẋ, служащих пищей для хищников, растетпропорционально величине популяции жертв x (с положительным коэффициентом k, который можно считать постоянным,если пищи для жертв достаточно) и убывает пропорционально(отрицательный коэффициент −a) произведению количествахищников y и жертв x, тогда для скорости изменения популяции жертв получим уравнение ẋ = kx − axy.Скорость изменения количества хищников пропорциональнаих численности (но с отрицательным коэффициентом −l — чембольше хищников, тем сильнее они конкурируют друг с другом,что приводит к уменьшению их популяции) и также пропорциональна произведению численности хищников и жертв, но с826Уравнения, не разрешенные относительно производнойдругим по абсолютной величине положительным коэффициентом b: ẏ = −ly + bxy.Таким образом, мы приходим к системе дифференциальныхуравнений простейшей модели жертва — хищник:ẋ = kx − axy,ẏ = −ly + bxy.Эта модель называется моделью Лотка-Вольтерра по имениученых, предложивших ее в начале XX века.В такой системе наблюдаются периодические колебания численности жертв и хищников вокруг равновесного состояния;амплитуда колебаний определяется начальными условиями.Если уточнить эту модель за счет учета некоторых другихфакторов, влияющих на численность популяций, по можно получить фазовую картину, изображенную на рис.

5.6, в которойинтегральная кривая, каждая точка которой изображает численность популяций жертв и хищников в некоторый моментвремени, наматывается (снаружи или изнутри) на предельныйцикл.6. Дифференциальные уравнениявысших порядков6.1. Основные понятия дифференциальныхуравнений высших порядковДифференциальные уравнения высших порядков — это уравнения вида:F (x, y, y , . . . , y (n) ) = 0,(6.1)где функция F непрерывна по всем аргументам и зависит явноот y (n) .6.1 Дифференциальные уравнения высших порядков83Вблизи начальных значений x0 , y0 , y0 , .

. . , y0 уравнение (6.1)должно удовлетворять условиям:∂F(n)= 0,F (x0 , y0 , y0 , . . . , y0 ) = 0,(n)∂y x=x0 ,y=y0 ,...,y(n) =y0(n)(n)тогда по теореме о неявной функции уравнение (6.1) можноразрешить относительно y (n) :y (n) = f (x, y, y , . . . , y (n−1) ).(6.2)Теорема 6.1 (существования и единственности). Уравнениеn-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, правая часть которого непрерывна по всем аргументами удовлетворяет условию Липшица по аргументамd(n−1) ydyy, , . . .

, (n−1) ,dxdxимеет единственное решение, удовлетворяющее начальнымусловиям при x = x0 :dy= y0 ,dx...,d(n−1) y(n−1)=y.0dx(n−1)(6.3)Условие Липшица: Функция f (x, y, y , . . . , y (n−1) ) удовлетворяет условию Липшица по аргументам y, y , . . . , y (n−1) , еслисуществует постоянная K такая, что для любого x из множе(n−1))ства D(x, y, y , . . .

, y (n−1) ) и любых значений (y0 , y0 , . . . , y0(n−1)) из D выполнено неравенствои (y1 , y1 , . . . , y1(n−1)(n−1) ) − f (x, y0 , y0 , . . . , y0) (6.4)f (x, y1 , y1 , . . . , y1(n−1)(n−1) K |y1 − y0 | + |y1 − y0 | + . . . + |y1− y0| .Далее будет показано, что уравнение (6.2) равносильно некоторой системе обыкновенных дифференциальных уравнений.Однако пока мы рассмотрим основные свойства уравнения(6.2).846Дифференциальные уравнения высших порядковОпределение.

Общее решение — это такая n раз непрерывно дифференцируемая функция y = ϕ(x, C1 , . . . , Cn ), котораясодержит n произвольных постоянных и позволяет выделитьлюбое частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (6.3) при x = x0 .Определение. Соотношение ϕ(x, y, C1 , . . . , Cn ) = 0,ϕ ∈ C n (D) называется общим интегралом, если любое частное решение может быть получено из этого соотношения.Соотношениеψ(x, y, y , . . . , y (k) , Ck+1 , Ck+2 , . . . , Cn ) = 0(6.5)называется промежуточным интегралом уравнения (6.2), если после (n − k)-кратного дифференцирования по x, с учетомтого, что y = y(x), и исключения из n − k + 1 уравнений n − kпостоянных Ck+1 , Ck+2 , .