Пушкарь Е.А. - Дифференциальные уравнения, страница 13

. , yn (x), y ] ≡ y1 (x)y2 (x) y1 (x)y2 (x)......≡ (n−1)(n−1) y1(x) y2(x) (n)(n) y1 (x)y2 (x)...............yn (x)yyn (x)y......(n)yn (x) y (n−1)(n)yn (x) y (n) = 0.(6.26)Раскрывая определитель W [ y1 (x), . . . , yn (x), y ] по элементам n-го столбца, найдем, что уравнение (6.26) представляет собой однородное дифференциальное уравнение n-го порядка дляфункции y. Легко видеть, что при подстановке вместо y функций yi (x) (i = 1, . . . , n) получается определитель с двумя равными столбцами, следовательно он равен нулю, следовательно6.4 Общая теория линейных однородных дифференциальных уравнений99уравнение (6.26) имеет частные решения y1 (x), .

. . , yn(x).Коэффициент при y (n) равен W [ y1 (x), . . . , yn (x) ], который,как известно, не равен нулю на интервале (a, b). Если разделить обе части уравнения (6.26) на W , то мы получим линейное однородное уравнение со старшим коэффициентом, равнымединице. По доказанному выше, такое уравнение однозначноопределяется фундаментальной системой.6.4.2. Формула Остроградского-ЛиувилляЗапишем уравнение (6.26) в развернутом виде, начиная разложение определителя W [ y1 (x), . . . , yn(x), y ] с элемента в нижнем правом углу: y1 (x)y2 (x) .

. . yn (x) y (x)y2 (x) . . . yn (x) 1(n) y (6.27)......−...... (n−1)(n−1)(n−1) y1(x) y2(x) . . . yn (x) y1 (x)y2 (x) y1 (x)y(x)2......−y (n−1) (n−2)(n−2) y1(x) y2(x) (n)(n) y1 (x)y2 (x)............... y (x) y (x)2 1 y (x) y (x)2 1. . . + (−1)n y ...... (n) y1 (x) y2(n) (x)yn(x) yn (x) ... + ...(n−2)yn (x) (n)yn (x) .............. = 0..(n)yn (x) yn (x)yn (x)Если исходное уравнение имело вид:y (n) + p1 (x)y (n−1) + . . . + pn(x)y = 0,1006Дифференциальные уравнения высших порядковто после деления (6.27) на W [ y1 (x), . . . , yn (x) ] (коэффициентпри y (n) ) и сравнения коэффициентов получаем: y1 (x)y(x)...y(x)2n y1 (x)y2 (x) . .

. yn (x) ............ (n−2)(n−2)(n−2) y1(x) y2(x) . . . yn (x) (n)(n)(n) y1 (x)y2 (x) . . . yn (x) ·(6.28)p1 (x) = −W [ y1 (x), . . . , yn (x) ]Используя правило дифференцирования определителей: производная определителя равна сумме определителей, полученных дифференцированием строк (или столбцов):∆ =n∆i ,(6.29)i=1найдем, что определитель в числителе в правой части равенства (6.28) есть производная от определителя Вронского W ,стоящего в знаменателе.

Действительно, при дифференцировании W [y1 (x), . . . , yn (x)] по формуле (6.29) получаем (n − 1)нулевых слагаемых-определителей с равными строками (с номерами i = 1, 2, . . . , n − 1) и только последняя, n-ая, строкапосле дифференцирования дает ненулевой определитель, стоящий в числителе в правой части равенства (6.28).Таким образом, уравнение (6.28) следует понимать как дифференциальное уравнение для W , в котором функция p1 (x) известна:Wp1 (x) = − ,Wиз которого, разделяя переменные, последовательно получимdW; ⇒ − p1 (x)dx + ln |C| = ln |W |,p1 (x)dx = −WНеоднородные линейные уравнения101откуда после потенцирования и определения постояннойC = W (x0 ) имеем−W (x) = W (x0 )exx0p1 (x)dx(6.30).Формула (6.30) называется формулой Остроградского-Лиувилля.Применим Формулу Остроградского-Лиувилля к нахождению общего решения уравнения 2-го порядка:y + p1 (x)y + p2 (x)y = 0,у которого известно одно частное решение y1 (x).Пусть y(x) — любое решение, отличное от y1 (x).

СоставляемW (x) и используем формулу Остроградского-Лиувилля: y1 (x) y(x) − p1 (x)dx . y1 (x) y (x) = C1 eПолучаем для y(x) линейное дифференциальное уравнениепервого порядка. Раскрывая определитель, получим:y1 (x)y (x) −y1 (x)y(x)− p1 (x)dx= Ce;деля обе части на y12 (x) и используя тот факт, чтоy1 (x)y (x) − y1 (x)y(x) y(x) =,y12 (x)y1 (x)находим:1d y(x) − p1 (x)dx= 2 C1 e,dx y1 (x)y1 (x)откуда y(x) находится квадратурой− p1 (x)dxC1 ey(x) = y1 (x)dx + C1 .y12 (x)(6.31)Таким образом, если известно одно частное решение уравнения второго порядка, общее решение находится квадратурами.1027Пример.Неоднородные линейные уравненияЛегко проверить, что уравнение(1 − x2 )y − 2xy + 2y = 0имеет частное решение y1 = x. В нашем случае p1 =формула (6.31) дает:y=xCe2xdx1−x2−2xи1 − x2!dx + C1 =x2!dx+ C1 ==x Cx2 (1 − x2 ) "!1 dx #dx 1 dx++=x C+ C1 =x2 2 1 − x 2 1 + x!1 1 + x" 1 1 1 + x#−1 .+ C1 = C1 x + C ln= x C − + lnx 2 1−x2 1−xЭто общее решение данного уравнения.Замечание.

Множество фундаментальных систем бесконечно.7. Неоднородные линейные уравнения7.1. Общие свойстваРассмотрим неоднородное линейное уравнение n-го порядкаL[y] ≡ y (n) + p1 (x)y (n−1) + . . . + pn (x)y = f (x),(7.1)где f (x) ≡ 0, уравнение L[y] = 0 является соответствующимоднородным уравнением.Теорема 7.1. Если ȳ(x) – частное решение неоднородногоуравнения и Y (x) – общее решение соответствующего однородного уравнения, то общее решение неоднородного уравненияесть сумма частного решения неоднородного уравнения ȳ(x)7.1 Общие свойства103и общего решения соответствующего однородного уравненияY (x): y(x) = ȳ(x) + Y (x).Доказательство. Функция ȳ(x) — решение (7.1), следовательно L[ȳ(x)] ≡ f (x). С другой стороны L[Y (x)] = 0,так как Y (x) — общее решение однородного уравнения.

Пустьy(x) = ȳ(x) + Y (x), тогда в силу линейности исходного уравненияL[ ȳ(x) + Y (x) ] ≡ L[ ȳ(x) ] + L[ Y (x) ] ≡ f (x).(7.2)Пусть y1 (x), . . . , yn (x) — фундаментальная система однородного уравнения, тогда из теоремы (6.8) следует, что общее решение имеет вид Y (x) = C1 y1 (x) + . . . + Cn yn (x).Подставив это выражение в формулу для решения неоднородного уравнения, получим(7.3)y(x) = C1 y1 (x) + .

. . + Cn yn (x) + ȳ(x).Докажем, что из этого уравнения всегда можно получитьрешение, удовлетворяющее любым начальным условиям задачи Коши:y(x0 ) = y0 , y (x0 ) = y0 , . . . , y (n−1) (x0 ) = y0(n−1).Продифференцируем (7.3) (n − 1) раз: y (x) = C1 y1 (x) + C2 y2 + . . . + Cn yn (x) + ȳ (x), y (x) = C1 y1 (x) + C2 y2 (x) + . .

. + Cnyn (x) + ȳ (x),·········(n−1)(n−1)(n−1)(x)=Cy(x)+Cy(x) + . . .y1212(n−1). . . + Cn yn (x) + ȳ (n−1) (x).(7.4)в левую частьОтсюда, подставив значения y0 , y0 , . . . , y0(7.4) и задав x = x0 в правой части, получим систему изn уравнений с n неизвестными C1 , . . . , Cn . Ее определительравен определителю Вронского W (x0 ) = 0, так как система(n−1)1047Неоднородные линейные уравненияy1 (x), . . .

, yn (x) — фундаментальная, следовательно, существует единственное решение для C1 , . . . , Cn и, следовательно, решение (7.3) – общее.Пример. Рассмотрим уравнение y + y = 3x. Легко видеть, что его частное решение ȳ = 3x. Соответствующее однородное уравнение имеет видy + y = 0.Непосредственной подстановкой можно убедиться, что однородное уравнение имеет решения y1 = cos x и y2 = sin x.Их определитель Вронского тождественно равен единице (проверьте!), поэтому они образуют фундаментальную систему.Следовательно, общее решение данного уравнения имеет видy = C1 cos x + C2 sin x + 3x.7.2.

Метод вариации произвольныхпостоянныхТеорема 7.2. Если известна фундаментальная системарешений соответствующего однородного уравнения, то общеерешение неоднородного уравнения может быть найдено припомощи квадратур.Доказательство.Пусть дано неоднородное линейное уравнение (7.1), котороеболее кратко можно записать в виде:y (n) +npi (x)y (n−i) = f (x),i=1или в операторной форме L[y] = f (x).

Пусть y1 (x), . . . , yn (x)— фундаментальная система решений однородного уравненияL[y] = 0. Тогда общее решение однородного уравнения имеет7.2 Метод вариации произвольных постоянныхвид:Y (x) =n105Ci yi (x).(7.5)i=1Будем искать общее решение неоднородного уравнения (7.1)в виде (7.5), полагая, что Ci = Ci (x) — функции аргумента x,то есть решение неоднородного уравнения ищется в видеȳ(x) =nCi (x)yi (x).(7.6)i=1Этот метод называется методом вариации произвольных постоянных, он был предложен Лагранжем.

Нам нужно найти nновых неизвестных функций Ci (x). Для их определения нужно иметь n уравнений, — одно из них получится из условия,что выражение (7.6) удовлетворяет уравнению (7.1), остальныеn − 1 уравнений можно задать произвольно. Будем задавать ихтак, чтобы выражения для производных имели наиболее простой вид.Дифференцируя равенство (7.6) по x, получимȳ (x) =nCi (x)yi (x) +i=1nCi (x)yi (x).i=1Выберем Ci (x) так, чтобыnCi (x)yi (x) ≡ 0, тогда послеi=1еще одного дифференцирования имеемȳ (x) =ni=1Ci (x)yi (x) +nCi (x)yi (x).i=1Вновь выбираем Ci (x) так, чтобы первая сумма равняласьnнулю:Ci (x)yi (x) ≡ 0.