Пушкарь Е.А. - Дифференциальные уравнения, страница 16

. . + a∗n pn ) Cxr+m ].(9.14)Выполним дифференцирование в квадратных скобках иприравняем полученное выражение правой части уравнения(9.13)[Ca∗r (m + r) (m + r − 1) . . . (m + 1) xm + Qm−1 (x)]eγx == f (x) ≡ Pm (x)eγx ≡ (bm xm + . . . + b0 )eγx ,(9.15)где первое слагаемое в квадратных скобках есть результатr-кратного дифференцирования Cxr+m и умножения на a∗rв соответствии с (9.14), а Qm−1 (x) — некоторый многочлен,deg Qm−1 (x) m − 1, в котором собраны все члены меньшейстепени, возникшие при взятии производных более высокогопорядка, чем r, в (9.14). Конечно, Qm−1 (x) зависит от C.Из условия совпадения коэффициентов при старших степенях в многочленах в левой и правой частях равенства (9.15)находимC=bm·a∗r (m + r)(m + r − 1) . . .

(m + 1)Таким образом, постоянная C однозначно определена, темсамым определено Qm−1 (x) и функция y1 (x) найдена.Эта функция удовлетворяет уравнениюL(p)y1 (x) = (bm xm + Qm−1 (x)) eγx .Представим правую часть уравнения (9.13) в видеf (x) ≡ f (x) − (bm xm + Qm−1 (x)) eγx + (bm xm + Qm−1 (x)) eγx ≡≡ qm−1 (x) eγx + (bm xm + Qm−1 (x)) eγx ≡ f2 (x) + f1 (x),1249Линейные уравнения с постоянными коэффициентамигде qm−1 (x) = Pm (x) − bm xm − Qm−1 (x) — многочлен степениm − 1.По предположению индукции существует функция y2 (x) такая, что L(p)y2 (x) = qm−1 (x)eγx , причем y2 (x) = xr Pm−1 (x)eγx .Таким образом, уравнение (9.13) представлено в видеL(p)y = f1 (x) + f2 (x),и функции y1 (x) и y2 (x) удовлетворяют соответственно уравнениям L(p)y = f1 (x) и L(p)y = f2 (x), то в силу теоремы (9.3)функцияȳ(x) = y1 (x) + y2 (x)является решением данного уравнения и найденная функцияȳ(x) — искомая.ДействительноL(p) ȳ(x) = L(p) y1 (x) + L(p) y2 (x) ≡≡ (bm xm + Qm−1 (x)) eγx + qm−1 (x) eγx ≡≡ (bm xm + Qm−1 (x)) eγx + (f (x) − bm xm − Qm−1 (x)) eγx ≡ f (x),и частное решение имеет вид ȳ(x) = xr Qm (x) · eγx .Подведем итоги для метода подбора формы частного решения.

Рассмотрим несколько простейших ситуаций.1) Правая часть уравнения (9.9) — многочлен степени m:f (x) = Pm (x).В этом случае частное решение ȳ(x) следует искать в видеȳ(x) = Qm (x)xr ,где Qm (x) — многочлен той же степени, что и многочлен Pm (x),но с неизвестными коэффициентами, а r — число собственныхзначений, равных нулю.2) Правая часть уравнения (9.9) — квазимногочлен (произведение многочлена на показательную функцию):f (x) = Pm (x)eax ,9.3 Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами125где Pm (x) — многочлен степени m, а коэффициент a в показателе экспоненты — действительное число.В этом случае частное решение ȳ(x) следует искать в видеȳ(x) = Qm (x)xr eax ,где Qm (x) — многочлен той же степени, что и многочлен Pm (x),но с неизвестными коэффициентами, а r — число собственныхзначений, равных a.Замечание.

При a = 0 имеем случай 1), так как функцияf (x) = e0x Pm (x) ≡ Pm (x).3) Правая часть уравнения (9.9) — сумма тригонометрических функцийf (x) = M cos bx + N sin bx,где M, N и b — заданные числа.В этом случае частное решение ȳ(x) следует искать в видеȳ(x) = (A cos bx + B sin bx)xr ,где A и B — неизвестные коэффициенты, а r — число собственных значений, равных bi.4) Правая часть уравнения (9.9) — функция видаf (x) = eax (P (x) sin bx + Q(x) cos bx),где P (x) и Q(x) — многочлены, а коэффициенты a и b — действительные числа.В этом случае частное решение ȳ(x) следует искать в видеȳ(x) = eax (Sm (x) sin bx + Tm (x) cos bx)xr ,где Sm (x) и Tm (x) — многочлены степени m, равной наибольшей из степеней многочленов P (x) и Q(x), но с неизвестными коэффициентами, а r = 0, если a + bi не является корнемхарактеристического уравнения, и r равно кратности корня впротивном случае.В последнем случае есть еще один метод отыскания частного решения.

Сначала решают уравнение с правой частью1269Линейные уравнения с постоянными коэффициентамиP (x)e(a+bi)x . Тогда вещественная часть этого решения будет решением уравнения с правой частью вида P (x)eax cos bx, а мнимая — решением уравнения с правой частью вида P (x)eax sin bx.9.4. Приложение линейныхдифференциальных уравнений второгопорядка к изучению механических иэлектрических колебанийРассмотрим следующую задачу.

Пусть материальная точка(груз) массы m, находящаяся на конце пружины, движется повертикальной прямой. Требуется определить закон движениягруза.Предположим, что в положении равновесия вес груза уравновешивается упругой силой пружины. Совместим начало координат с положением равновесия груза, а ось Oy направимвертикально вниз по прямой, вдоль которой движется груз(рис. 9.1).0myyРис. 9.1. Колебания груза, подвешенного на пружинеПоложение груза в произвольный момент времени t определяется отклонением y груза от начала координат (см.

рис. 9.1).9.4 Приложение линейных дифференциальных уравнений второго порядка127Для нахождения закона движения груза надо определить отклонение груза y от положения равновесия как функцию времени t.На тело действуют следующие силы:1) Восстанавливающая сила F1 , стремящаяся вернуть грузв положение равновесия. Сила F1 направлена вдоль оси Oy,ее проекция на эту ось пропорциональна отклонению груза отположения равновесия: F1y = −ky. Число k, k > 0 связанос упругостью пружины. Знак “минус” в выражении проекциисилы F1y указывает на то, что восстанавливающая сила направлена в сторону, противоположную деформации пружины.2) Сила сопротивления среды F2 , в которой находится пружина с грузом, направлена противоположно вектору скоростидвижения груза.

Величина силы F2 , как показывает опыт, пропорциональна скорости v груза. Поэтому проекция силы F2 наось Oy запишется в виде F2y = −λv = −λ, где λ > 0, илиdyF2y = −λ .dtСилой веса груза пренебрегаем, так как она уравновешенаупругой силой пружины, что учтено выбором системы координат (начальное положение y = 0). Весом пружины и ее энергией движения также пренебрегаем.Для составления дифференциального уравнения движениягруза воспользуемся вторым законом Ньютона:ma =F.(9.16)F — сумма сил, действуюЗдесь a — вектор ускорения ищих на материальную точку.В нашем случае на материальную точку (груз) действуютдве силы F1 и F2 , направленные вдоль оси Oy. Проецируя векторы, стоящие в обеих частях равенства (9.16), на ось Oy изамечая, что проекция вектора ускорения a на ось Oy равна1289Линейные уравнения с постоянными коэффициентамиd2 y, получаем искомое дифференциальное уравнениеdt2d2 ydym 2 = −ky − λdtdtилиd2 ydy(9.17)m 2 + λ + ky = 0.dtdtУравнение (9.17) является уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами и называется уравнением свободных колебаний.Если на груз, помимо сил упомянутых выше, действуетвнешняя “возмущающая” сила, направленная вдоль оси Oy,величина которой F (t) есть заданная функция времени t, тоуравнение (9.17) принимает видd2 ydym 2 + λ + ky = F (t)(9.18)dtdtи называется уравнением вынужденных колебаний.Разделив обе части уравнения (9.18) на m и введя обозначенияkF (t)λ= 2b,= ω2 ,= f (t),mmmполучим уравнение вынужденных колебаний в следующей окончательной форме:dyd2 y+ ω 2 y = f (t).+2b(9.19)2dtdtУравнение (9.19) является неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.Рассмотрим некоторые частные случаи этого уравнения.1.

Пусть отсутствуют сопротивление среды (b = 0) и внешняя возмущающая сила (f (t) ≡ 0). В этом случае уравнение9.4 Приложение линейных дифференциальных уравнений второго порядка129(9.19) принимает видd2 y2+ωy = 0.dt2(9.20)Уравнение (9.20) является уравнением свободных колебанийгруза при отсутствии сопротивления среды. Его характеристическое уравнение k 2 + ω 2 = 0 имеет корни k1,2 = ±ωi и общеерешение уравнения (9.20) запишется в видеY (t) = C1 cos ωt + C2 sin ωt.(9.21)Вместо произвольных постоянных C1 и C2 введем новые произвольные постоянные N > 0 и ϕ (амплитуда и фаза колебаний), связанные с C1 и C2 соотношениямиC1 = N sin ϕ,C2 = N cos ϕ.Тогда амплитуда колебаний N и фаза ϕ выражаются черезC1 и C2 по формулам:N = C12 + C22 ,tg ϕ =C1·C2Подставляя выражения для C1 и C2 в равенство (9.21), получимY (t) = N sin ϕ cos ωt + N cos ϕ sin ωt = N sin(ωt + ϕ).Итак, общее решение уравнения (9.20) можно представить ввидеY (t) = N sin(ωt + ϕ).Эта формула показывает, что груз совершает периодическиедвижения, которые называются гармоническими колебаниями.2π, N — амплитуда колебаний, ϕ — наПериод колебаний T =ωчальная фаза колебаний, величина ω называется собственнойчастотой колебаний.1309Линейные уравнения с постоянными коэффициентами2.

Пусть теперь имеет место сопротивление среды (b = 0),но по-прежнему f (t) ≡ 0, т.е. внешняя сила равна нулю. В этомслучае уравнение (9.19) примет видdyd2 y+2b(9.22)+ ω 2 y = 0.2dtdtЕго характеристическоеуравнение k 2 + 2bk + ω 2 = 0 имеет√корни k1,2 = −b ± b2 − ω 2 .Рассмотрим практически наиболее интересный случай малого сопротивления, когда b < ω. В этом случаекорни являются√комплексными: k1,2 = −b + ω̃i, где ω̃ = ω 2 − b2 .

Общее решение уравнения (9.22) имеет видY (t) = e−bt (C1 cos ω̃t + C2 sin ω̃t) = Ne−bt sin(ω̃t + ϕ),где C1 = N sin ϕ, C2 = N cos ϕ. Отсюда видно, что груз совершает затухающие колебания с амплитудой Ne−bt → 0 приt → ∞ (рис. 9.2).y0tРис. 9.2. График затухающих колебанийЗаметим, что при b > ω корни характеристические действительные и различные.

Тогда решение уравнения (9.22) имеет9.4 Приложение линейных дифференциальных уравнений второго порядкавид√(−b+ b−ω 2 )tY (t) = C1 e√(−b− b−ω 2 )t+ C2 e131.В этом случае груз, не совершая колебаний, приближаетсяк положению равновесия (Y (t) → 0 при t → ∞). Такое жедвижение происходит в частном случае b = ω, когдаY (t) = C1 e−bt + C2 te−bt .3. Рассмотрим теперь случай, когда сопротивление среды отсутствует (b = 0), но на груз действует внешняя периодическаясила f (t) = a sin µt.