Пушкарь Е.А. - Дифференциальные уравнения, страница 15

Аналогично, если λ —корень кратности k характеристического уравнения L(λ) = 0,то функции eλx , xeλx , . . . , xk−1 eλx будут решениями уравнения L(p) y = 0.Доказательству этой теоремы предпошлем доказательстволеммы.Лемма 9.1 (Формула сдвига).L(p) [f (x) · eλx ] = eλx [L(p + λ) f (x)].Доказательство (по индукции). Понятно, что для доказательства достаточно рассмотреть простейшие дифференциальные операторы вида pk , тогда в силу линейности оператора L(p) доказанное для операторов вида pk справедливо и дляпроизвольного дифференциального оператора L(p).Рассмотрим случай дифференциального оператора pk со степенью k = 1:p[f (x)eλx ] = f (x)eλx + λf (x)eλx = eλx [f (x) + λ · f (x)] == eλx [(p + λ)f (x)].Докажем по индукции, что pk [f (x)·eλx ] = eλx [(p + λ)k f (x)].1169Линейные уравнения с постоянными коэффициентамиПусть это равенство справедливо для дифференциальногооператора pk−1 со степенью k − 1.

Докажем для его для оператора pk . Имеемpk [f (x) · eλx ] = p · pk−1 [f (x) · eλx ] = p [eλx (p + λ)k−1 f (x)] == eλx [(p + λ)(p + λ)k−1 f (x)] = eλx [(p + λ)k f (x)]следовательноL(p) [f (x) · eλx ] = eλxnai pi f (x) = eλx [L(p + λ) · f (x)].i=0Теорема 9.2 (кратные корни характеристического уравнения). Пусть λ1 , λ2 , . . . , λr — совокупность попарно различных корней характеристического уравнения L(λ) = 0, соответствующего линейному однородному дифференциальномууравнению L(p)y = 0, каждый из которых имеет кратностьk1 , k2 , .

. . , kr (то есть L(λi ) = L (λi ) = . . . = L(ki−1) (λi ) = 0,L(ki ) (λi ) = 0).В этом случае функции y1 (x) = eλ1 x , y2 (x) = xeλ1 x , . . .,yk1 (x) = xk1 −1 eλ1 x , yk1 +1 (x) = eλ2 x , . . ., yk1+k2 (x) = xk2 −1 eλ2 x ,. . ., yr (x) = xkr −1 eλkr x представляют собой решения уравненияL(p) y = 0 и образуют фундаментальную систему.Доказательство.Покажем справедливость этой теоремы для первого корня.По формуле сдвига имеемL(p) [xq eλ1 x ] = eλ1 x [L(p + λ1 ) xq ].ОднакоL(p + λ1 ) =ni=0iai (p + λ1 ) =ni=0b i pi .(9.4)Поскольку L(λ1 ) = 0 и, следовательно, L(p + λ1 )p=0 = 0, тосвободный член b0 в последней сумме в (9.4) равен нулю.9.1 Однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами117Аналогичное равенство справедливо, согласно условиям теd[L(p + λ1 )]p=0 = 0оремы, для производной L (λ1 ) = 0:dpи поэтому b1 = 0.

Из аналогичных условий для производныхdsL(λ)λ=λ1 = 0 при s = 0, 1, . . . , k1 − 1, которые чистоsdλформально могут быть записаны в равносильной форме какdsL(p+λ)1 p=0 = 0, получаемsdpb0 = b1 = . . . = bk1−1 = 0.Можно рассуждать иначе. Поскольку λ1 — корень кратностиk1 уравнения L(λ) = 0, значит L(λ) = M(λ)(λ − λ1 )k1 , гдеM(λ1 ) = 0, то L(p) = M(p) · (p − λ1 )k1 , и, значит,L(p + λ1 ) = M(p + λ1 ) · pk1 = bk1 pk1 + bk1 +1 pk1 +1 + . . .

+ bnpn ,причем bk1 = 0, следовательно, L(p + λ1 ) xq = 0 при q < k1 , аL(p + λ1 ) xq = 0 при q k1 .Следовательно, L(p)[xq eλ1 x ] = eλ1 x L(p + λ1 )xq = 0 приq < k1 , что и требовалось доказать.&'k1−1есть решения уравнеТаким образом, функции xq eλ1 x q=0ния (9.1).Аналогичное доказательство можно провести и для второгокорня и т.д. В результате получим r наборов решений.Покажем, что они линейно независимы.

Доказательство проведем от противного.Допустим, что существуют Ci , не все Ci = 0, такие чтоnCi yi (x) ≡ 0.(9.5)i=1Из уравнения (9.5) следует, что результатом подстановки в(9.5) функций yi (x), образующих фундаментальную систему1189Линейные уравнения с постоянными коэффициентамирешений, является тождествоrPi (x) eλi x ≡ 0,i=1где r есть число различных корней характеристического уравнения, а Pi (x) — некоторые многочлены, возникающие при этойподстановке. Очевидно, что так как не все Ci = 0, существуетPi (x) ≡ 0.Например, пусть Pr (x) ≡ 0. Умножим соотношение (9.5) наe−λ1 x .

ПолучимP1 (x) + P2 (x) e(λ2 −λ1 )x + . . . + Pr (x) e(λr −λ1 )x ≡ 0.(9.6)Если уравнение (9.6) продифференцировать достаточноечисло раз, то многочлен P1 (x) исчезнет. Что при этом происходит с Pr (x) e(λr −λ1 )x ? Заметим, что(P(x) eλx ) = (P (x) + P(x) · λ) eλx . deg P=ndeg(P +λP)=n при λ=0Следовательно, степень многочлена в последнем слагаемом(λr −λ1 )xP, возникшем в тождестве (9.6) после дифференr (x) eцирования, остается такой же, какой она была у слагаемогоPr (x) e(λr −λ1 )x в (9.6) до дифференцирования.

Проделывая туже операцию (умножение на нужную степень показательнойфункции для выделения многочлена и последующее дифференцирование для его “уничтожения”) достаточное число раз,получим, после уничтожения всех слагаемых в тождестве (9.6),кроме последнего:(r−1)(x) e(λr −λr−1 )x ≡ 0,Pr(r−1)где показатель (r − 1) в Pr(x) обозначает число примененийопераций умножения на некоторую показательную функциюдля выделения очередного многочлена и последующего дифференцирования до уничтожения этого многочлена.9.2 Переход к вещественным функциям119(r−1)Так как e(λr −λr−1 )x = 0, значит Pr(x) ≡ 0.Мы пришли к противоречию, поскольку степени этих многочленов не меняются при умножении на показательнуюфункцию и дифференцировании: deg Pr (x) = deg Pr (x) = .

. .(r−1)(r−1). . . = deg Pr(x) и, следовательно, в Pr(x) есть, как и исходном многочлене Pr (x), хотя бы один коэффициент, не равный нулю.Таким образом, функции{eλ1 x , xeλ2 x , . . . , xk1 −1 eλ1 x , eλ2 x , . . . xk2 −1 eλ2 x , . . . , xkr −1 eλr x }линейно независимы.9.2. Переход к вещественным функциямМы предполагали, что и коэффициенты (и функции) в уравнении L(p) y = 0 вещественны. Для овеществления комплекснозначных функций, которые получаются в случае комплексных собственных значений, используем формулу Эйлераeix = cos x + i sin xи тот факт, что если λ1 — комплексный корень алгебраическогоуравнения с действительными коэффициентами, то сопряженное значение λ̄1 также является его корнем.Рассмотрим любое решение из полученной системы видаxk eλx .

Пусть собственное значение λ1 = α1 + iβ1 — комплексное, тогда λ̄1 = α1 −iβ1 также является собственным значениеми, следовательно, наряду с решением y1 (x) = xk eλx функцияy2 (x) = xk eλ̄x также является решением.Используя формулу Эйлера, получим:y1 (x) = xk eλ1 x (cos β1 x + i sin β1 x),y2 (x) = xk eλ1 x (cos β1 x − i sin β1 x).1209Линейные уравнения с постоянными коэффициентамиСкладывая и вычитая эти два выражения, найдем:y1 (x) + y2 (x)= xk eλ1 x cos β1 x,(9.7)y1∗ (x) =2y1 (x) − y2 (x)= xk eλ1 x sin β1 x.y2∗ (x) =(9.8)2iТак как линейная комбинация решений линейного однородного уравнения есть решение, функции y1∗ (x) и y2∗ (x) — тожерешения, причем вещественные.Рассмотрим набор решений y1∗ (x), y2∗ (x), y3 (x), .

. . , yn (x).Докажем, что они образуют фундаментальную систему решений.Рассуждаем от противного. Пусть существуют Ci = 0 такие,чтоC1 y1∗ (x) + C2 y2∗ (x) + C3 y3 (x) + . . . + Cn yn (x) ≡ 0.Используя формулы (9.7) и (9.8), получимC1 C2C1 C2++y2 (x)−+C3 y3 (x)+.

. .+Cn yn (x) ≡ 0,y1 (x)22i22iгде y1 (x), . . . , yn (x) — фундаментальная система решений. Следовательно,C1 C2C1 C2+= 0,−= 0, C3 = 0, . . . , Cn = 0,22i22iоткуда C1 = 0, C2 = 0, C3 = 0, . . . , Cn = 0. Получили противоречие, которое доказывает, что y1∗ (x), y2∗ (x), y3 (x), . .

. , yn (x)— фундаментальная система.Действуя таким образом, можно перейти к вещественной системе решений:eλ1 x cos β1 x, xeλ1 x cos β1 x, . . . , xk1 −1 eλ1 x cos β1 x, . . .eλ1 x sin β1 x, xeλ1 x sin β1 x, . . . , xk1 −1 eλ1 x sin β1 x, . . . .Эти 2k1 решений соответствуют комплексно-сопряженнымсобственным значениям λ1 ± iβ1 кратности k1 . Аналогичные9.3 Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами121рассуждения справедливы для остальных собственных значений.9.3. Линейные неоднородные уравнения спостоянными коэффициентамиПри решении неоднородных линейных уравнений с постоянными коэффициентамиan y (n) + an−1 y (n−1) + .

. . + a0 y = f (x)(9.9)часто используется следующая теорема.Теорема 9.3. Если ȳ1 (x) — частное решение уравненияL(p)y ≡ an y (n) + an−1 y (n−1) + . . . + a0 y = f1 (x),(9.10)а ȳ2 (x) — частное решение уравненияL(p)y ≡ an y (n) + an−1 y (n−1) + . . . + a0 y = f2 (x),(9.11)с той же самой левой частью, то сумма ȳ1 (x) + ȳ2 (x) является частным решением уравненияan y (n) + an−1 y (n−1) + . . . + a0 y = f1 (x) + f2 (x).(9.12)Доказательство. Подставив в левую часть уравнения (9.12)сумму функций ȳ1 (x) + ȳ2 (x), на основании равенств (9.10) и(9.11) получимL(p)(ȳ1 (x) + ȳ2 (x)) = L(p)(ȳ1 (x)) + L(p)(ȳ2 (x)) = f1 (x) + f2 (x),что и требовалось доказать.Для нахождения частного решения неоднородного уравнения (9.9) можно применить метод вариации произвольных постоянных, изложенный выше.

Этот метод применим, вообщеговоря, к уравнениям с любой правой частью. Однако для уравнений с постоянными коэффициентами, правые части которыхимеют специальный вид, существует более простой способ нахождения частного решения, который называется методом подбора частного решения.1229Линейные уравнения с постоянными коэффициентамиОпишем этот способ нахождения частных решений линейного уравнения (9.9) с постоянными коэффициентами, в которомправая часть f (x) = Pm (x)eγx , где Pm (x) — многочлен, а γ— комплексное число, с помощью рациональных операций, безквадратур.Пусть γ — корень кратности r характеристического уравнения L(λ) = 0 (если γ не является корнем характеристическогоуравнения: L(γ) = 0, то r = 0).Докажем, что частное решение имеет вид ȳ(x) = xr Qm (x) eγx ,где Qm (x) — многочлен, степень которого deg Qm (x) = m.Проведем индукцию по степени m многочлена Pm (x).1) Пусть m = 0, то есть f (x) = Aeγx .

Ищем частное решениев виде ȳ1 (x) = Cxr eγx . ИмеемL(p)ȳ1 (x) = L(p) [Cxr · eγx ] = Ceγx [L(p + γ)xr ].ПосколькуL(p + γ) = a∗n pn + . . . + a∗r pr ,так как γ — корень кратности r (см. выше) и a∗r = 0, тоL(p + γ) xr = r!a∗r ,следовательно,L(p) y1 (x) ≡ C r! a∗r eγx = A eγx⇒C=A·r! a∗r2) Пусть теперь m > 0 — произвольное, и предположим, чтодля m − 1 доказываемое утверждение верно.

Имеем уравнениеL(p)y = (bm xm + . . . + b0 ) eγx ,bm = 0.(9.13)Pm (x)Докажем, что частное решение имеет вид ȳ(x) = xr Qm (x)eγx .Найдем последовательно коэффициенты многочлена Qm (x),начиная со старшего члена. Для этого рассмотрим функциюy1 (x) = Cxr+m eγx и найдем значение постоянной C, при котором коэффициент при старшей степени в Pm (x) совпадает с9.3 Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами123соответствующим коэффициентом в выражении в левой частиуравнения в результате подстановки туда функции y1 (x).Используя формулу сдвига, находимL(p)y1 (x) = eγx [L(p + γ) Cxr+m ] == eγx [(a∗r pr + .