Пушкарь Е.А. - Дифференциальные уравнения, страница 14

Последовательно повторяя процедуi=1ру дифференцирования и на каждом шаге приравнивая к нулю1067Неоднородные линейные уравнениясумму слагаемых, содержащих Ci (x), получаем:ȳ (n−1) (x) =n(n−2)Ci (x)yi(x)+i=1n(n−1)Ci (x)yi(x).i=1ПоложимnCi (x)yi(n−2)(x) ≡ 0.i=1Тогда после дифференцирования получимȳ (n) (x) =n(n−1)Ci (x)yi(x)+i=1n(n)Ci (x)yi (x).i=1Подставим все выражения для функции ȳ(x) и ее производных ȳ (x), .

. ., ȳ (n) (x) в уравнение (7.1) и перегруппируемслагаемые, собрав члены с коэффициентами Ci . Получимn+ni=1Ci (x)yi(n−1)(x)+i=1%$ (n)(n−1)Ci yi (x) + p1 yi(x) + . . . + pn−1 yi (x) + pn yi (x) = f (x).=0С учетом вышеналоженных ограничений на Ci (x) получаемсистему уравнений:ni=1ni=1Ci (x)yi (x) = 0,(k)(n−1)Ci (x)yi(x)k = 0, . . . , n − 2,(7.7)= f (x).Это алгебраическая система относительно Ci (x), состоящаяиз n линейных уравнений с n неизвестными функциями Ci (x),i = 1, 2, . . . , n.7.2 Метод вариации произвольных постоянных107Ее определитель есть определитель Вронского y1 (x)y(x)...y(x)2n y1 (x)y(x)...y(x)2n = W (x) = 0,∆=............ y n−1 (x) y n−1 (x) .

. . y n−1 (x) n12так как {yi (x)} — фундаментальная система.Следовательно, систему уравнений (7.7) можно разрешить вявном виде относительно Ci :dCi= ϕi (x),dxгде ϕi (x) ∈ C(a, b), откуда квадратурами находимiCi = ϕi (x)dx + C(7.8)i — новые произвольные постоянные. Окончательно имеемгде Cобщее решение неоднородного линейного уравнения (7.1)nni yi (x) +Cyi (x) ϕi (x)dx.(7.9)y=i=1i=1Рассмотрим уравнение xy − y = x2 . Предполаyгая, что x = 0, запишем его в равносильном виде y − = x.xСоответствующее однородное уравнение xy − y = 0 легко интегрируется:Пример.1y =⇒yx(ln y ) =1x⇒ln y = ln x + ln A⇒A 2x + B.2Таким образом, фундаментальная система состоит из функций{1; x2 }.Полагаем в неоднородном уравнении y = C1 + C2 x2 .y = A1 x,y=1088Неоднородные линейные уравненияДля определения C1 и C2 имеем систему уравнений 1 · dC1 + x2 dC2 = 0,dxdxdC1dC2 0·+ 2x= x,dxdxоткуда последовательно получаемdC21=dx2⇒x2x dC1C 2 = +C 2 ⇒=−2dx2x3 ⇒ C 1 = − +C 1 .6Подставляя в выражение для y, находим общее решение3x2 x + .1 + Cy=C328.

Сопряженное уравнение8.1. Множитель дифференциальноговыраженияПусть имеется линейное дифференциальное выражение:L[y] ≡ an (x)y + a(n−1) (x)y + . . . + a0 (x)y (n) .(8.1)Требуется найти такую функцию z(x), чтобы после умножения на нее выражение (8.1) стало точной производной по xдля любой функции y(x) ∈ C n(a, b). Такая функция z(x) называется множителем дифференциального выражения L[y];ai (x) ∈ C (n) (a, b).Умножим выражение(8.1) на z(x) и вычислим неопределенный интегралzL[y]dx, интегрируя всякий его член почастям, понижая порядок производной до тех пор, пока под8.1 Множитель дифференциального выражения109интегралом не останется множитель y:an yzdx = an yzdx,an−1 y zdx = an−1 zy − y(an−1 z) dx,an−2 y zdx = an−2 zy − (an−2 z) y dx == an−2 zy − (an−2 z) y + y(an−2 z) dx,············a1 y (n−1) zdx = a1 zy (n−2) − (a1 z) y (n−3) + (a1 z) y (n−4) − .

. .+(−1)(n−2) (a1 z)(n−2) y + (−1)n−1 y(a1 z)(n−1) dx,a0 y (n) zdx = a0 zy (n−1) − (a0 z) y (n−2) + (a0 z) y (n−2) − . . .+(−1)(n−1) (a0 z)(n−1) y + (−1)n y(a0 z)(n) dx.ТогдаzL[y]dx запишется в виде:zL[y]dx = Ψ[y, z] +yM[z]dx,(8.2)гдеM[z] = an z − (an−1 z) + (an−2 z) − . . . + (−1)n−1 (a1 z)(n−1) ++(−1)n (a0 z)(n) .Выражение M[z] называется сопряженным с L[y] дифференциальным выражением (или оператором), а Ψ[y, z] есть билинейная форма относительно y, y , . .

. , y (n−1) и z, z , . . . , z (n−1) ,1108Сопряженное уравнениеа именно&'Ψ[y, z] = y an−1 z − (an−2 z) + . . . + (−1)n−1 (a0 z)(n−1) +&'n−2(n−2)+y an−2 z − (an−3 z) + . . . + (−1) (a0 z)+&'(8.3)+y (n−2) a1 z − (a0 z) + y (n−1) a0 z.Дифференциальное уравнение n-го порядкаM[z] = 0(8.4)называется уравнением, сопряженным с уравнениемL[y] = 0.(8.5)Если мы возьмем в качестве z решение уравнения (8.4),z = z̄, то из формулы (8.2) следует, чтоz̄L[y]dx = Ψ[y, z̄]или, после дифференцирования,dΨ[y, z̄].z̄L[y] =dxТаким образом, задача решена.Если умножить данное дифференциальное выражение (8.1)на любое решение z̄ сопряженного уравнения (8.4), то оно становится полной производной от дифференциального выражения (n − 1)-го порядка Ψ[y, z̄].

Обратно, для того, чтобы z̄ обращала L[y] в полную производную при умножении его на z̄,как можно доказать, необходимо, чтобы M[z̄] ≡ 0.Таким образом, для того чтобы функция z(x) при любом yобращала произведение z̄L[y] в полную производную, необходимо и достаточно, чтобы z̄ являлась решением сопряженногоуравнения M[z] = 0.dΨ[y, z̄], то уравнение L[y] = 0 допускаетНо если zL[y] =dxпервый интеграл.Ψ[y, z̄] = C,(8.6)9.1 Однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами111который сам по себе является, вообще говоря, неоднороднымуравнением (n − 1) порядка.Если же дано неоднородное уравнение L[y] = f (x), то та жефункция z̄ является его множителем и его первый интегралΨ[y, z̄] = f (x)z̄dx + C.9.

Линейные дифференциальныеуравнения с постояннымикоэффициентами9.1. Однородные линейные уравнения спостоянными коэффициентамиРассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка:L[y] ≡ an y (n) + an−1 y (n−1) + . . . + a0 y = 0,(9.1)где ai = const, an = 0.Оказывается, как будет показано далее, если коэффициенты уравнения (9.1) являются действительными числами, тоэто уравнение всегда можно проинтегрировать в элементарныхфункциях, более того, интегрирование уравнения (9.1) сводится даже не к квадратурам, а к алгебраическим операциям.В силу общих свойств линейных уравнений нам достаточнонайти n частных решений, образующих фундаментальную систему.

Выясним, какие элементарные функции могли бы обратить уравнение (9.1) в тождество.С этой целью рассмотрим характеристический многочленL(λ) ≡ an λn + an−1 λn−1 + . . . + a1 λ + a0 ,(9.2)который однозначно определяется уравнением (9.1). Его корниназываются собственными значениями.1129Линейные уравнения с постоянными коэффициентамиВведем оператор дифференцирования p:dy = y,p·y =dxd22p · y = 2 y = y ,dxdkkp · y = k y = yk .dxТогда любое дифференциальное выражение с постояннымикоэффициентами может быть записано в видеαm y (m) + αm−1 y (m−1) + . .

. + α0 y ≡≡ αm pm y + αm−1 pm−1 y + . . . + α0 y ≡≡ (αm pm + αm−1 pm−1 + . . . + α0 ) y.Таким образом, любому алгебраическому многочленуM(λ) =i=0αi λii=mсоответствует дифференциальный оператор M(p)y. Уравнениеn-го порядка (9.1) записывается в виде:L(p) y = 0,гдеL(p) =nai pi .i=0Между алгебраическими многочленами и дифференциальными операторами существует взаимно-однозначное соответствие.Это соответствие (оператору соответствует многочлен) имеет следующие свойства:(1) M1 (λ) + M2 (λ) ←→ M1 (p) + M2 (p);или M1 (p) y + M2 (p) y ←→ [M1 (p) + M2 (p)] y;(2) M1 (p) [y1 + y2 ] = M1 (p) y1 + M1 (p) y2 ;9.1 Однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами113(3) M1 (λ) · M2 (λ) = M1 (p) · M2 (p);M1 [M2 · y] = [M1 (p)M2 (p)] y.Рассмотрим возможные ситуации с корнями характеристического многочлена.1) Случай, когда характеристический многочлен L(λ) = 0имеет вещественные простые корни.Рассмотрим уравнение L(p) y = 0.

Будем искать решение ввиде eλx . ТогдаL(p)eλx =ni=0ai pi eλx =nai λi eλx = eλxi=0nai λi= eλx L(λ),i=0следовательно, L(p)eλx = 0 тогда и только тогда, когдаeλx L(λ) = 0, но так как eλx = 0, то eλx будет решением тогда и только тогда, когда L(λ) = 0, то есть λ должно бытькорнем характеристического уравненияL(λ) ≡ an λn + an−1 λn−1 + . . . + a1 λ + a0 = 0.(9.3)Теорема 9.1.

Если λ1 , . . . , λn — вещественные корни характеристического уравнения L(λ) = 0, причемλ1 = λ2 = . . . = λn ,λi ∈ R,то функции y1 = eλ1 x , y2 = eλ2 x , . . . , yn = eλn x образуютфундаментальную систему решений.Доказательство. Действительно, рассмотрим для этих ре-1149Линейные уравнения с постоянными коэффициентамишений определитель Вронского:λn x eλ1 x...e λ1 eλ1 x . .

. λn eλn xλ1 xλn xW (e , . . . , e ) = ......... n−1λxn−1 λ1 e 1 . . . λn eλn x 11 . . . 1 λ2 . . . λn (λ1 +...+λn )x λ1=e ... ... ... ... = n−1 n−1n−1 λ1λ2. . . λn(λ1 +...+λn )x·(λi − λj ) = 0=e=1j<in(этот определитель есть известный определитель Вандермонда,который не равен нулю, если корни уравнения (9.3) различные).Следовательно, система {eλi x }ni=1 — линейно независима иобщее решение уравнения (9.1) имеет видy=ni=1Ci · yi (x) =nCi · eλi x ,i=1где λi — корни характеристического уравнения (9.3).2) Случай, когда характеристический многочлен L(λ) = 0имеет произвольные корни (кратные и комплексные).Пусть множество корней имеет вид :λ , .

. . , λ , λ , . . . , λ , . . . , λr , . . . , λr : 1 1 2 2 k1k2krrki = n.i=1В этом случае среди функций eλi x нельзя найти n линейнонезависимых решений уравнения (9.1). Однако в этом случаеможно воспользоваться следующим наводящим соображением.9.1 Однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами115Пусть λ1 и λ2 (λ1 = λ2 ) — корни характеристического уравнения. Тогда линейная комбинация решенийeλ1 x − eλ2 xλ1 − λ2является решением уравнения (9.1).eλ1 x − eλ2 x= xeλ1 x — функУстремим λ2 −→ λ1 , тогда limλ2 →λ1 λ1 − λ2ция, о которой естественно предположить, что она также решением уравнения L(p) y = 0, если λ — двукратный корень характеристического уравнения L(λ) = 0.