Пушкарь Е.А. - Дифференциальные уравнения

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮМОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНДУСТРИАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТЕ. А. ПушкарьДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯУЧЕБНОЕ ПОСОБИЕМГИУМосква 2007ББК 22.161.6УДК 517.9П91Рецензенты:В.Б. Миносцев, заслуженный работник ВШ РФ, доктор физикоматематических наук, профессор Московского государственного индустриального университета;Д.Л.

Ревизников, доктор физико-математических наук, профессор Московского авиационного института (Технический Университет).П91Пушкарь Е.А.Дифференциальные уравнения: Учебное пособие. – М.:МГИУ, 2007. – 254 с.ISBN 978-5-2760-1098-4Учебное пособие предназначено для студентов высших учебныхзаведений направления «Прикладная математика и информатика»(010500) и специальности «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» (010503) и соответствует программе дисциплины «Дифференциальные уравнения»ББК 22.161.6УДК 517.9Автор благодарит А. Герасева, Ю. Косарева, Е.

Смирноваи Д.О. Платонова за оказанную помощь при созданиикомпьютерного набора книги.ISBN 978-5-2760-1098-4© Е.А. Пушкарь, 2007© МГИУ, 20071Введение3Обыкновенныедифференциальные уравнения1. ВведениеДифференциальные уравнения были введены в научнуюпрактику Ньютоном (1642 – 1727). Ньютон считал это своеоткрытие настолько важным, что зашифровал его, как былопринято в ту эпоху, в виде анаграммы, смысл которой в современных терминах можно передать так: “Законы природывыражаются дифференциальными уравнениями”.Вторым своим основным аналитическим достижением Ньютон считал разложение всевозможных функций в степенные ряды (смысл второй, длинной анаграммы Ньютона в том, что длярешения любого уравнения нужно подставить в уравнение ряди приравнять члены одинаковой степени).

Ньютон разложилв “ряды Тейлора” все основные элементарные функции (рациональные, радикалы, тригонометрические, экспоненту и логарифм).Из огромного числа работ XVIII века по дифференциальным уравнениям выделяются работы Эйлера (1707 – 1783) иЛагранжа (1736 – 1813). В этих работах была прежде всего развита теория малых колебаний, а следовательно – теория линейных систем дифференциальных уравнений; попутно возниклиосновные понятия линейной алгебры (собственные числа и векторы в n-мерном случае).Характеристическое уравнение линейного оператора долгоназывали секулярным, так как именно из такого уравненияопределяются секулярные (вековые, т.е.

медленные по сравнению с годовым движением) возмущения планетных орбит согласно теории малых колебаний Лагранжа. Вслед за НьютономЛаплас (1749 – 1827) и Лагранж, а позже Гаусс (1777 – 1855)4Обыкновенные дифференциальные уравнениятакже развивают методы теории возмущений.Когда была доказана неразрешимость алгебраических уравнений в радикалах, Лиувилль (1809 – 1882) построил аналогичную теорию для дифференциальных уравнений, установивневозможность решения ряда уравнений (в том числе такихклассических, как линейные уравнения второго порядка) в элементарных функциях и квадратурах.

Позже Софус Ли (1842 –1899), анализируя вопрос об интегрировании уравнений в квадратурах, пришел к необходимости подробно исследовать группы диффеоморфизмов (позже названных группами Ли).Новый этап развития теории дифференциальных уравненийначинается с работ Анри Пуанкаре (1854 – 1912). Созданнаяим “качественная теория дифференциальных уравнений” вместе с теорией функций комплексного переменного привела коснованию современной топологии. Качественная теория дифференциальных уравнений, или, как ее теперь чаще называют,теория динамических систем, является сейчас наиболее активно развивающейся областью, которая имеет наиболее важныедля естествознания приложения теории обыкновенных дифференциальных уравнений.Начиная с классических работ А.

М. Ляпунова (1857 – 1918)по теории устойчивости движения в развитии этой областибольшое участие принимают русские математики. Упомянемлишь работы А. А. Андронова (1901 – 1952) по теории бифуркаций, А. А. Андронова и Л. С. Понтрягина по структурнойустойчивости, Н. М. Крылова и Н.

Н. Боголюбова по теорииусреднения, А. Н. Колмогорова по теории возмущений условнопериодических движений.2.1 Эволюционные процессы52. Обыкновенные дифференциальныеуравнения. Общие понятия2.1. Эволюционные процессыТеория обыкновенных дифференциальных уравнений — одно из основных орудий математического естествознания.

Этатеория позволяет изучать всевозможные эволюционные процессы, обладающие свойствами детерминированности, конечномерности и дифференцируемости.Прежде чем дать точные математические определения, рассмотрим несколько примеров эволюционных процессов.Процесс называется детерминированным, если весь его будущий ход и все его прошлое однозначно определяются состоянием в настоящее время. Множество всевозможных состоянийпроцесса называется фазовым пространством.Например, классическая механика рассматривает движениесистем, будущее и прошлое которых однозначно определяются начальными положениями и начальными скоростями всехточек системы. Фазовое пространство такой системы — множество, элементом которого является набор положений и скоростей всех точек данной системы.Примером недетерминированного процесса может служитьдвижение частиц в квантовой механике, которое не описывается однозначно начальными положениями и начальными скоростями частиц.

В качестве другого примера недетерминированного процесса можно упомянуть распространение тепла, который является “полудетерминированным” процессом: будущее(распространение тепла с ростом времени) определяется настоящим состоянием рассматриваемой системы, тогда как прошлое (“предыстория” состояния в настоящий момент времени)не может быть однозначно восстановлено по состоянию, известному на настоящий момент.Процесс называется конечномерным, если его фазовое про-62Общие понятиястранство конечномерно, т.е. число параметров, нужных дляописания его состояния, конечно.

Например, ньютоновская механика движения систем из конечного числа материальных точек или абсолютно твердых тел относится к этому классу. Размерность фазового пространства системы из n материальныхточек равна 6n, а системы из n твердых тел — 12n.Движение жидкости, изучаемое в гидродинамике, процессыколебаний струны и мембраны, распространение волн в оптикеи акустике — примеры процессов, которые нельзя описать спомощью конечномерного фазового пространства.Процесс называется дифференцируемым, если изменениеего состояния со временем описывается дифференцируемымифункциями.Например, координаты и скорости точек механической системы меняются со временем дифференцируемым образом.Свойством дифференцируемости не обладают движения,изучаемые в теории удара, или гидродинамические течения сударными волнами.Таким образом, движение системы в классической механикеможет быть описано при помощи обыкновенных дифференциальных уравнений, тогда как квантовая механика, теория теплопроводности, гидродинамика, теория упругости, оптика, акустика и теория удара требуют иных средств.Еще два примера детерминированных конечномерных идифференцируемых процессов: процесс радиоактивного распада вещества и процесс размножения бактерий при достаточномколичестве питательного вещества.

В обоих случаях фазовоепространство одномерно: состояние процесса определяется количеством вещества или количеством бактерий. В обоих случаях процесс описывается обыкновенным дифференциальнымуравнением.Заметим, что вид дифференциального уравнения процесса,а также самый факт детерминированности, конечномерности и2.2 Определения, примеры7дифференцируемости того или иного процесса можно установить лишь экспериментально, следовательно — только с некоторой степенью точности. В дальнейшем мы не будем всякийраз подчеркивать это обстоятельство и будем говорить о реальных процессах так, как если бы они точно совпадали с нашимиидеализированными моделями.2.2.

Определения, примерыОбыкновенным дифференциальным уравнением называетсясоотношение между аргументом x, его функцией y и производными этой функции y , y , . . ., y (n) :F (x, y, y , y , . . . , y (n) ) = 0(2.1)Предполагается, что уравнение (2.1) содержит явно по крайней мере одну из производных искомой функции y.Определение. Порядком дифференциального уравненияназывается высший из порядков производных искомой функции, входящих в это уравнение.Определение.

Функция y = ϕ(x) называется решениемдифференциального уравнения (2.1), если после замены y наϕ(x), y (x) на ϕ (x), . . ., y (n) на ϕ(n) (x) уравнение (2.1) становится тождеством.Будем предполагать что рассматриваемые величины принимают только конечные значения, а рассматриваемые функцииявляются однозначными функциями своих аргументов.Таким образом, в обыкновенных дифференциальных уравнениях неизвестная функция зависит только от одного аргумента. В противоположность этому в уравнениях с частными производными неизвестные функции зависят от несколькихнезависимых переменных. В дальнейшем, говоря о дифференциальных уравнениях, мы будем иметь в виду только обыкновенные дифференциальные уравнения.82Общие понятияПримеры.(1) Пусть известна скорость тела, движущегося по оси OX.Это непрерывная функция f (t). Кроме того, будем считать, что известна абсцисса x = x0 рассматриваемойточки в некоторый момент времени t = t0 . Требуетсянайти закон движения точки, т.е. зависимость абсциссыдвижущейся точки от времени x = x(t).Решение.