Пушкарь Е.А. - Дифференциальные уравнения, страница 9

Особое решениеТочками неединственности для уравнения F (x, y, y ) = 0 называются те точки, через которые проходит более одного решения по одному и тому же направлению, т.е. эти решенияимеют в точке неединственности общую касательную.Определение. Особое решение — это такое решение дифференциального уравнения, каждая точка которого есть точканеединственности.Условия теоремы существования и единственности являются достаточными для того, чтобы в некоторой области G не существовало особого решения. Поэтому для существования особого решения необходимо, чтобы не выполнялись условия теоремы существования и единственности, например, в виде теоремы Коши.

Следовательно, для того чтобы найти особоерешение дифференциального уравнения y = f (x, y), необходимо найти линию y = ϕ(x), в каждой точке которой терпитразрыв f (x, y) или fy (x, y), и проверить, является ли y = ϕ(x)решением данного уравнения. Если функция y = ϕ(x) окажется решением дифференциального уравнения y = f (x, y), тоона и будет особым решением.Пример. Рассмотрим уравнение(y )3 = y 2 .Это уравнение легко разрешить относительно производной:y = y 2/3 .Правая часть этого уравнения f (x, y) = y 2/3 непрерывна при√всех значениях y, однако производная fy (x, y) = 2/(3 3 y) терпит бесконечный разрыв при y = 0 и неограничена в окрест-705Уравнения, не разрешенные относительно производнойности оси OX, т.е. условие Липшица в окрестности оси OX невыполнено.

Таким образом, каждая точка прямой y = 0 является особой. Очевидно, что функция y = 0 служит особымрешением данного уравнения. Следовательно, решение y = 0является особым решением.Найдем теперь общее решение данного уравнения. Разделяяdyпеременные, находим 2/3 = dx. Интегрируя, получаем общееyрешение(x + C)31/33y = x + C, или y =·27Семейство интегральных кривых, соответствующих найденному общему решению, состоит из кубических парабол, получающихся одна из другой сдвигом параллельно оси OX. Таккак через каждую точку особого решения y = 0 проходит ещеодна интегральная кривая данного уравнения (кубическая парабола), то в каждой точке оси OX нарушается свойство единственности (рис.

5.2).yxРис. 5.2. Интегральные линии уравнения (y )3 = y2Заметим, что особое решение, вообще говоря, не содержится в общем решении и не может быть выделено из него нипри каком конкретном значении постоянной C.5.4 Особое решение713Пример. Рассмотрим уравнение y = y 2 + 1. Как и впредыдущем примере, в каждой точке оси OX нарушены условия теоремы существования и единственности. Однако функция y = 0, как легко проверить, не является решением уравнения.

Поэтому данное уравнение особых решений не имеет.5.4.1. Нахождение особого решенияИтак, предположим, что нарушено условие теоремы (5.1),а именно гладкая функция Fy (x, y, y ) обращается в нуль нанекотором множестве. Составим следующую систему уравненийF (x, y, y ) = 0,(5.7)Fy (x, y, y ) = 0.Решение системы (5.7) в плоскости (x, y) называется дискриминантной кривой. Это не обязательно особое решение. Вернолишь обратное: если решение особое, то оно принадлежит дискриминантной кривой.

Таким образом, для нахождения особого решения следует:(1) Найти дискриминантную кривую для системы (5.7), длячего необходимо исключить из нее y . Запишем дискриминантную кривую в виде ϕ(x, y) = 0.(2) Проверить, является ли функция, определяемая уравнениемϕ(x, y) = 0,решением дифференциального уравнения или нет. Если такая функция задает решение дифференциальногоуравнения, то это решение особое, если в его окрестности не выполнено условие Липшица, в частности, неFy∂y =− .ограничена производная∂yFy 725Уравнения, не разрешенные относительно производнойПример. Рассмотрим уравнение y − (y )2 − x = 0.Дискриминантная кривая этого уравнения определяется системойy − (y )2 − x = 0,⇒ y = x,−2y = 0,но подстановка y = x в исходное уравнение дает: x − 1 − x = 0.Следовательно, y = x не решение и данное уравнение не имеетособых решений.Заметим, что решение, удовлетворяющее дискриминантнойкривой, может не быть особым.

Покажем это на следующемпримере.Пример. Рассмотрим уравнение (y )3 = y 4 .Его дискриминантная кривая определяется системой 3(y ) − y 4 = 0,3(y )2 = 0,из которой находим y = 0. Легко проверить, что y = 0 являетсярешением исходного уравнения. Однако на этом решении про∂y 4/3изводная ∂y=∂y∂y = 0, то есть условие Липшица не нарушено,и y = 0 не является особым решением данного уравнения.yxРис. 5.3. Интегральные линии уравнения (y )3 = y45.4 Особое решение73Действительно, общее решение имеет видdy27−1/3=dx;−3y=x+C;y=−,(x + C)3y 4/3и все точки прямой y = 0 являются точками единственности(рис.

5.3).Таким образом, следует обязательно проверить, выполненыили нет на полученной дикриминантной кривой условия теоремы существования и единственности, и, если они выполняются,то дискриминантная кривая не будет особым решением.Разберем еще один пример.Пример. Рассмотрим уравнение(y )2 (1 − x2 ) − x2 = 0(5.8)или равносильное ему уравнение(1 − x2 ) − x2 (x )2 = 0,(5.9)или в симметричном виде(1 − x2 )dy 2 − x2 dx2 = 0.(5.10)Заметим, что уравнение (5.10) определяет поле направленийтолько при |x| 1. Левая часть уравнения (5.8) непрерывнавсюду в полосе |x| 1 и имеет непрерывные производные по yи y : существуют Fy и Fy ∈ C[−1, 1].

Легко вычислить, чтоFy = 2y (1 − x2 ).Отсюда видно, что Fy = 0, если(1) x = ±1;(2) y = 0. В силу уравнения (5.8) отсюда следует, что этопроисходит при x = 0. Производная по x от левой части(5.9) обращается в нуль на этих же прямых.Значит, для уравнения (5.8) особыми могут быть только точки трех линийx = +1,x = −1,x = 0.745Уравнения, не разрешенные относительно производнойТак как прямые x ± 1 = 0 являются границей той области,где уравнения задают поле направлений, то они являются особыми линиями. Из уравнения (5.9) видно, что они являютсяинтегральными линиями.Прямая x = 0 — особая линия, но не интегральная линия.Действительно, из уравнения (5.10) найдем, чтоxdy= ±√·dx1 − x2Отсюда следует, что интегральными линиями уравнения(5.10) являются окружности единичного радиуса, центры которых лежат на оси OY .

Все они касаются прямых x = ±1.Теперь уже очевидно, что прямая x = 0 — особая линия.Действительно, на этой прямой из уравнения (5.8) можно найти только одно значение y , а именно, равное нулю, из уравнения же (5.9) никакого значения x при x = 0 найти нельзя.Но ни у какой точки B, лежащей на оси OY , нельзя указатьтакой окрестности, через каждую точку которой проходила быодна и только одна интегральная кривая; действительно, черезточку B саму по себе, очевидно, в любой окрестности проходят четыре интегральных кривых: A1 BA4 , A2 BA3 , A2 BA4 , иA1 BA3 (рис.

5.4). Все эти интегральные кривые имеют горизонтальную касательную в точке B.Значит, ось OY будет особой, но не интегральной линией. Укаждой же точки полосы −1 < x < 1, не лежащей на оси OY ,существует окрестность, через каждую точку которой в этойокрестности проходят ровно две интегральные кривые, однакоуглы наклона этих интегральных кривых различные, поэтомувсе эти точки будут обыкновенными.Заметим, что кроме указанных выше интегральных кривых,у нашего уравнения будут еще интегральные кривые видаP1 B1 P4 P5 B2 P2 P1 ,P1 B1 P4 BP3 OP6 BP1 ,5.5 Огибающая75yB1P1P4A2A3P2P5BA1P3A4P6B2OxРис.

5.4. Интегральные кривые уравнения (5.10)и др. Отсюда видно, что в любой окрестности любой точки прямых x = ±1 через эту точку проходит бесконечное число интегральных кривых, то есть эти прямые являются граничнымиинтегральными линиями неединственности (особыми решениями).5.5. ОгибающаяРассмотрим на плоскости XY множество, заданное уравнениемΦ(x, y, C) = 0.Определение. Линия y = ϕ(x) называется огибающей семейства Φ(x, y, C) = 0, если в любой точке она касается некоторой кривой семейства Φ(x, y, C) = 0 и любого фрагментакоторой касается бесконечно много линий данного семейства.765Уравнения, не разрешенные относительно производнойТеорема 5.2.