Пушкарь Е.А. - Дифференциальные уравнения, страница 4

Однородные уравненияУравнение называется однородным, если его правая частьyзависит от отношения :xy dy=f.(3.8)dxxЕсли функция f (u) определена при u ∈ (a, b), то функцияf ( xy ) определена в углах, состоящих из точек (x, y), для котоy< b. Области, образованные этими двумя углами,рых a <xбудем обозначать G.Теорема 3.2. Если функция f (u) непрерывна на интервалеa < u < b: f (u) ∈ C(a, b) и f (u) = u для любого u ∈ (a, b), точерез любую точку (x0 , y0 ) ∈ G проходит одна и только однаинтегральная кривая.3.4 Однородные уравнения25Доказательство. Положим y = ux, где u = u(x), тогда изуравнения (3.8) следует: xu + u = f (u) и мы получаем уравнение с разделяющимися переменными:du f (u) − u=,(3.9)dxxк которому можно применить предыдущую теорему, что и доказывает наше утверждение.Из уравнения (3.9) получаемdxdu=·xf (u) − uИнтегрируя, находимy + C,(3.10)ln |x| = Φxduгде Φ(u) =·f (u) − uИз уравнения (3.10) следует, что все интегральные кривыеуравнения (3.8) подобны, центром подобия служит начало координат.

Действительно, при подходящем выборе C1 заменa xи y на C1 x и C1 y переводит кривуюy ln |x| = Φxв любую кривую семейства (3.10). Если f (u) = u в отдельныхточках u1 , . . . , un , то через некоторые точки (x0 , y0 ) ∈ G можетпроходить бесконечно много интегральных кривых.

Это зависит от сходимости несобственного интегралаudξ,(3.11)f (ξ) − ξcкогда u стремится к одному из значений u1 , . . . , un, напримерк u1 .На рис. 3.3 схематически изображено поведение интегральных кривых в случае сходимости интеграла (3.11). Через263Простейшие дифференциальные уравненияyy = u1 xy = bxA3B3A2A1y = axB2B1C1C2C3Рис. 3.3. Интегральные кривые уравнения y = f (y/x)x(сходящийся интеграл (3.11)).точку A1 будут, например, проходить интегральные кривыеA1 B1 B2 C2 , A1 B1 B3 C3 , . . . Все они касаются прямой y = u1 x.3.5.

Линейные уравненияЛинейные уравнения содержат неизвестную функцию и еепроизводную в первой степени:dy= a(x)y + b(x).dx(3.12)Теорема 3.3. Пусть функции a(x) и b(x) непрерывны винтервале (a, b). Тогда через любую точку (x0 , y0 ) полосыa < x < b, −∞ < y < +∞ проходит одна и толькоодна интегральная кривая этого уравнения, определенная длялюбого x ∈ (a, b).Доказательство. Рассмотрим вначале соответствующеелинейное однородное уравнениеdy= a(x)y.(3.13)dxOно получается из уравнения (3.12) при b(x) ≡ 0 и является уравнением с разделяющимися переменными.

Поскольку3.5 Линейные уравнения27yнесобственный интегралdηрасходится при y → 0, то уравηcнение (3.13) имеет единственное решение, проходящее черезточку (x0 , y0 ). Это решение дается формулойxy(x) = y0 · ex0a(ξ)dξ.Вернемся к первоначальному неоднородному уравнению(3.12). Применим так называемый метод вариации произвольных постоянных. Будем искать решение этого уравнения в видеxy(x) = z(x) · ex0a(ξ)dξ(3.14),считая константу в решении однородного уравнения неизвестной дифференцируемой функцией x. Продифференцировав (3.14) по правилу дифференцирования интеграла с переменным верхним пределом, получимxy (x) = z (x) · ex0a(ξ)dξx+ z(x) · ex0a(ξ)dξ· a(x).Подставим полученное выражение в (3.12):xz (x) · ex0a(ξ)dξx+ z(x) · ex0a(ξ)dξx· a(x) = a(x) · z(x) · ex0a(ξ)dξ+ b(x).После приведения подобных членов получаем дифференциальное уравнение для функции z(x):−dz= b(x) · edxxx0a(ξ)dξ.283Простейшие дифференциальные уравненияОчевидно, что для выполнения условия y(x0 ) = y0 необходимо и достаточно, чтобы z(x0 ) также равнялось y0 .

Из последнего уравнения находимsx− a(ξ)dξds.(3.15)z(x) = y0 + b(s)e x0x0Следовательно, функцияxx0y(x) = z(x)ea(ξ)dξx≡ y0 ex0xa(ξ)dξ+x0b(s)esa(ξ)dξxds · ex0a(ξ)dξx0является единственным решением уравнения (3.12), удовлетворяющим начальному условию y(x0 ) = y0 .3.6.

Уравнение БернуллиУравнение Бернулли — это нелинейное уравнение видаdy= a(x)y + b(x)y n ,dxкоторое сводится к линейному подстановкой z = y k , гдеk = 1 − n. Рассмотрите уравнение Бернулли самостоятельно.3.7. Уравнение в полных дифференциалах.Интегрирующий множитель3.7.1. Уравнение в полных дифференциалахВсякое дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производнойdy= f (x, y),(3.16)dxможет быть переписано в видеdy = f (x, y)dx,или, в более общей формеP (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0.(3.17)3.7 Уравнение в полных дифференциалах.

Интегрирующий множитель29Определение. Если левая часть уравнения (3.17) есть полный дифференциал некоторой функции U (x, y):P (x, y)dx + Q(x, y)dy ≡ dU ≡∂U∂Udx +dy,∂x∂yто это уравнение называется уравнением в полных дифференциалах.Для того, чтобы уравнение (3.17) было уравнением в полныхдифференциалах, необходимо, чтобы выполнялись равенстваP (x, y) =∂U;∂xQ(x, y) =∂U.∂y(3.18)Если в (3.17) подставить y = y(x), — решение уравнения(3.16) или (3.17), — то получимdU (x, y(x)) ≡ 0,(3.19)что равносильно тому, чтоU (x, y) = C.(3.20)Наоборот, для любой функции y(x), определяемой уравнением (3.20), имеем U (x, y(x)) ≡ C, следовательно, dU = 0.Поэтому соотношение (3.20), которое содержит произвольнуюпостоянную, является общим интегралом уравнения (3.17), если это уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.Для существования решения y(x) уравнения (3.17), удовлетворяющего условию y(x = x0 ) = y0 , необходимо, чтобы соотношение (3.20) определяло неявную функцию y = y(x).

Дляэтого нужно, чтобы выполнялись условия теоремы о неявнойфункции, а именно, условие∂U = Q(x0 , y0 ) = 0∂y (x0 ,y0 )и существовало бы такое C, при котором было выполнено соотношение U (x0 , y0 ) = C. В этом случае решение y = y(x) такое,303Простейшие дифференциальные уравнениячто y(x0 ) = y0 , определится из уравненияU (x, y) = U (x0 , y0 ).Если же Q(x0 , y0 ) = 0, но P (x0 , y0 ) = 0, то можно найтирешение в виде зависимости x = x(y), при этом начальныеусловия имеют вид x0 = x(y0 ). Решение нельзя найти, еслиодновременно P (x0 , y0 ) = 0 и Q(x0 , y0 ) = 0.

Одновременноевыполнение двух последних равенств определяет особые точкиуравнения (3.17).Справедлива следующая теорема:Теорема 3.4 (Необходимые и достаточные условия уравнения в полных дифференциалах). Чтобы уравнение P (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0 было уравнением в полных дифференциалах,необходимо и достаточно, чтобы в односвязной областиG(x, y) (в частности, в прямоугольнике R : a < x < b,c < y < d) функции P (x, y) и Q(x, y) были непрерывны вме∂Q∂Pи, причем всюдусте с их частными производными∂y∂x∂Q∂P=и Q(x, y) = 0. Тогдав G было выполнено условие∂y∂xчерез любую точку (x0 , y0 ) ∈ G проходит одна и только однаинтегральная кривая.Доказательство.

Необходимость.По условию теоремы имеем∂U∂Udx +dy,P (x, y)dx + Q(x, y)dy = dU =∂x∂yто есть равенства (3.18) выполнены:∂U∂UP =;Q=·∂x∂yПродифференцируем первое из этих равенств по y, а вто∂ 2U, ворое — по x. В левой части получим: в первом случае∂x∂y3.7 Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель31∂ 2U. Поскольку по условию теоремы Py и Qx непревтором∂y∂xрывны, то по теореме Шварца о независимости частных производных от порядка дифференцирования∂ 2U∂ 2U=∂x∂y∂y∂xи, следовательно∂Q∂P=·∂y∂xДостаточность.Доказательство проведем для прямоугольника R. Рассмотрим функциюxyP (ξ, y0 )dξ +U (x, y) =x0Q(x, η)dη.y0Покажем, что полный дифференциал этой функции равенP (x, y)dx + Q(x, y)dy.

Действительно, используя правила дифференцирования интегралов, зависящих от параметров, вычислим частные производные от функции U (x, y):∂U= P (x, y0 ) +∂xy∂Qdy =∂xy0y= P (x, y0 ) +∂Pdy = P (x, y0 ) + P (x, y) − P (x, y0 ) = P (x, y).∂yy0Аналогично найдем∂U= Q(x, y).∂y323Простейшие дифференциальные уравненияТаким образом, на решении дифференциального уравнения(3.17) dU = 0 и, следовательно, его общий интеграл имеетвид:xyU (x, y) ≡ P (x, y0 )dx + Q(x, y)dy = C.x0y0На практике для нахождения решения поступают несколькоиначе. Это можно продемонстрировать на следующем примере.Рассмотрим уравнение(3x2 + 6xy 2 )dx + (6x2 + 4y 3 )dy = 0.Легко видеть, что условие∂Q∂P=выполнено.∂y∂xИз условия∂u= 3x2 + 6xy 2∂xпосле интегрирования находимu = x3 + 3x2 y 2 + ϕ(y).Дифференцируя это выражение по y и приравнивая его∂u= 6x2 y + 4y 3 ,∂yполучаем уравнение для ϕ(y):ϕ (y) = 4y 3 .Интегрируя это уравнение, получим ϕ(y) = y 4 и, следовательно, общий интеграл имеет вид:x3 + 3x2 y 2 + y 4 = C.3.7 Уравнение в полных дифференциалах.