Пушкарь Е.А. - Дифференциальные уравнения, страница 5

Интегрирующий множитель333.7.2. Интегрирующий множительЕсли левая часть уравнения (3.17) не является полным дифференциалом, то возникает вопрос: нельзя ли найти такуюфункцию µ(x, y), после умножения на которую левая частьуравнения (3.17) станет полным дифференциалом некоторойфункции U (x, y). Такая функция называется интегрирующиммножителем.Таким образом, если µ — интегрирующий множитель, тоимеем∂U∂U;µQ =·µ(P (x, y)dx + Q(x, y)dy) = dU ;µP =∂x∂y(3.21)Возникает вопрос: для всякого ли уравнения первого порядка существует интегрирующий множитель? Оказывается,как легко можно показать, всякое дифференциальное уравнение первого порядка, удовлетворяющее некоторым условиям,имеет интегрирующий множитель.

Более того, число интегрирующих множителей данного уравнения бесконечно. В самомделе, пусть µ есть какой-либо интегрирующий множитель уравнения (3.17), а U (x, y) = C есть интеграл этого уравнения.Тогда µ1 = ϕ(U )µ, где ϕ — произвольная дифференцируемая функция, также являющаяся интегрирующим множителем. Действительно, выражениеµ1 (P dx + Qdy) = ϕ(U )µ(P dx + Qdy) = ϕ(U )dUявляется полным дифференциалом функцииΦ(U ) = ϕ(U )dU.Следовательно, µ1 = ϕ(U )µ есть интегрирующий множитель уравнения (3.17).Второй вопрос: как найти интегрирующий множитель? Изопределения интегрирующего множителя, используя уравнение (3.21) и теорему о необходимых и достаточных условиях343Простейшие дифференциальные уравнениядля уравнения в полных дифференциалах, имеем:∂(µP ) ∂(µQ)=∂y∂xили∂µ∂Q∂µ∂P−P=−µQ∂x∂y∂y∂xили же, деля обе части равенства (3.22) на µ,Q∂ ln µ∂ ln µ ∂P∂Q−P=−·∂x∂y∂y∂x(3.22)(3.23)Таким образом, мы получили в виде (3.22) или (3.23) уравнение в частных производных для определения неизвестнойфункции µ.

Задача интегрирования такого уравнения в общемслучае не проще (а на самом деле сложнее), чем задача решенияуравнения (3.17). Конечно, нам достаточно знать только одно частное решение уравнения (3.22); иногда, по каким-нибудьособенностям уравнения (3.22), удается найти такое частноерешение, и тогда интегрирование уравнения (3.17) сводится кквадратурам.Рассмотрим, например, ситуацию, когда существует интегрирующий множитель, являющийся функцией только x:∂µ= 0, и уравнение (3.23) превращаµ = µ(x).

В этом случае∂yется в следующее обыкновенное дифференциальное уравнение:d ln µ=dx∂P∂y−Q∂Q∂x·(3.24)Для существования µ = µ(x) необходимо и достаточно, чтобы выражение∂Q∂P∂y − ∂x= f (x)Qявлялось функцией только x, тогда ln µ находится квадратурой.3.7 Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель35Пример. Решить уравнение3ydx + (x2 + y 2 )dy = 0.2xy + x2 y +3Здесь∂P∂y−QСледовательно,∂Q∂x2x + x2 + y 2 − 2x= 1.=x2 + y 2d ln µ= 1,dxµ = ex .Уравнение3ydx + ex (x2 + y 2 )dy = 0.ex 2xy + x2 y +3есть уравнение в полных дифференциалах. Проинтегрируемэто уравнение:3ydx + ϕ(y) =U (x, y) = ex 2xy + x2 y +332yy+ ϕ(y).y ex (2x + x2 )dx + ex + ϕ(y) = yex x2 +33∂Uи приравниваем егоДля нахождения ϕ(y) вычисляем∂yµQ:ex (x2 + y 2 ) + ϕ (y) = ex (x2 + y 2 ),откудаϕ (y) = 0и общий интеграл нашего уравнения есть2yyex x2 += C.3363Простейшие дифференциальные уравненияРассмотрим частный случай интегрирующего множителя,зависящего только от x, когда Q(x, y) = 1. В этом случае уравнение имеет видdy − f (x, y)dx = 0,(3.25)и после деления на dx по форме практически совпадает с уравнением (3.16), разрешенным относительно производной.В этом случае уравнение (3.24) для интегрирующего множителя принимает видd ln µ∂f=− ,(3.26)dx∂y∂fс условием, чтозависит только от x:∂y∂f= ϕ(x);∂yтогда f (x, y) имеет вид:f (x, y) = ϕ(x)y + ψ(x),т.е.

уравнение, записанное в виде (3.25) и допускающее интегрирующий множитель, зависящий только от x, есть линейное дифференциальное уравнение.Из уравнения (3.24) имеемd ln µ− ϕ(x) dx.= −ϕ(x),µ=edxПереходя к обозначениям для линейного уравнения (3.12),приходим к заключению:dy= a(x)y + b(x) имеет интегрируюЛинейное уравнениеdxщий множитель µ = e− a(x) dx .Таким образом, мы получили еще один способ интегрирования линейных уравнений.Аналогично можно получить условие того, что дифференциальное уравнение допускает интегрирующий множитель, зависящий только от y, и само выражение этого множителя.3.7 Уравнение в полных дифференциалах.

Интегрирующий множитель37dy= y tg x + cos x имеет интегрируdxющий множитель e− tg(x) dx = cos x; умножая на cos x dx обечасти уравнения, имеемПример.Уравнениеcos x dy − y sin x dx − cos2 x dx = 0,где левая часть есть полный дифференциал, так как условиеPy = Qx выполнено; интегрируя, находимy cos x − cos2 x dx = C,илиx 1− sin x cos x = C2 2– общий интеграл данного уравнения.Заметим, что разделение переменных свидится к умножению на некоторый интегрирующий множитель.В самом деле, если дано уравнение с разделяющимися переменнымиM(x)N(y)dx + P (x)Q(y)dy = 0,y cos x −то для разделения переменных достаточно умножить обе части1; ясно, что после умножения левая часть стана µ =N(y)P (x)новится полным дифференциалом, т.е.

µ есть интегрирующиймножитель.Пользуясь этим замечанием, можно найти интегрирующиймножитель однородного уравнения:M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0,где M и N – однородные функции одной и той же степениm. Можно показать, что в этом случае однородное уравнениеимеет интегрирующий множитель1·(3.27)µ=xM(x, y) + yN (x, y)383Простейшие дифференциальные уравненияОн не существует, если M(x, y)x + N(x, y)y ≡ 0, или еслиyM= − , т.е.

для уравнения y dx − x dy = 0.NxПример. Решить уравнение(x − y)dx + (x + y)dy = 0.(3.28)Данное уравнение – однородное и в соответствии с формулой(3.27) оно имеет интегрирующий множитель11µ=·= 2x(x − y) + y(x + y) x + y 2Умножая обе части уравнения на этот множитель и группируя члены, получаемx dx + y dy x dy − y dx+= 0,x2 + y 2x2 + y 2илиy1d ln(x2 + y 2 ) + d arctg = 0,2xоткуда имеем общий интеграл данного уравненияyx2 + y 2 = Ce− arctg x .На практике для нахождения интегрирующего множителячасто применяется такой прием: все члены уравнения разбиваются на две группы, для каждой из которых было бы легконайти интегрирующий множитель; затем выписывают выражения наиболее общего интегрирующего множителя для каждойгруппы и определяют, нельзя ли выбрать входящие в эти выражения произвольные функции так, чтобы оба интегрирующихмножителя оказались равными; если это возможно, то интегрирующий множитель найден.Пример.

Решить уравнение(x − y 2 )dx + 2xydy = 0.Разбиваем уравнение на две группы:(x dx) + (−y 2 dx + 2xy dy) = 0.3.7 Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель39Интегрирующий множитель первой скобки очевиден: он равен единице, а общее выражение интегрирующего множителяµ1 = ϕ(x); у второй скобки очевиден интегрирующий множи1тель 2 (переменные разделяются); после умножения на негоxydx 2y dyвторая скобка принимает вид − + 2 и может быть проxyинтегрирована. Получаем ее общий интеграл:y2= C.U2 ≡xОбщее выражение для интегрирующего множителя второйскобки есть 21y.µ2 = 2 ψxyxТеперь подбираем ψ так, чтобы µ2 имело тот же вид, что µ1 ,т.е.

было функцией только от x; очевидно, для этого достаточноположить ψ(U2 ) = U2 ; окончательно получим µ = x12 . Умножимданное уравнение на µ:dx 2xy dy − y 2 dy+= 0,xx2и проинтегрировав это уравнение, получим общий интеграл исходного уравненияy2= C.ln x +x4. Общая теория. Численные методыДифференциальных уравнений, интегралы которых находятся элементарными приемами, немного. Как показал в 1841 г.Лиувилль, уже интегрирование уравнений видаdy= a2 (x)y 2 + a1 (x)y + a0 (x)dx404Общая теорияне сводится к квадратурам, т.е.

к конечной последовательностиэлементарных действий над известными функциями и интегрированию этих функций (как это делалось выше). Поэтому большое значение приобретают приемы приближенного решениядифференциальных уравнений, применимые к очень широкимклассам дифференциальных уравнений. Но прежде чем приступать к приближенному решению дифференциальных уравнений, надо быть уверенным, что решения существуют. Поэтому вначале нужно рассмотреть теоремы существования решений дифференциальных уравнений. К тому же доказательстваэтих теорем часто указывают и методы приближенного нахождения решений.4.1.

Ломаные ЭйлераРассмотрим дифференциальное уравнениеy = f (x, y),(4.1)определенное в области G(x, y). Как известно, уравнение (4.1)определяет в G поле направлений, по которому можно построить интегральные кривые.Возьмем в области G некоторую точку (x0 , y0 ). Ей будетсоответствовать поле направления с угловым коэффициентомtg α0 = f (x0 , y0 ), которое определяет некоторую прямую, проходящую через эту точку. Выберем на этой прямой в области Gнекоторую точку (x1 , y1 ) (расположенную недалеко от (x0 , y0 )).Через точку (x1 , y1 ) проведем прямую с угловым коэффициентом tg α1 = f (x1 , y1 ), на которой выберем точку (x2 , y2 ) из области G.

Затем на прямой, соответствующей точке (x2 , y2 ), выберем точку (x3 , y3 ) и т.д. Пусть при этом x0 < x1 < x2 < x3 < . . .(такое же построение можно выполнять и в сторону убывающих значений x). Получим ломаные линии, которые называютломаными Эйлера.Естественно предполагать, что каждая из ломаных Эйлера4.1 Ломаные Эйлера41с достаточно короткими звеньями дает некоторое представление об интегральной кривой, проходящей через точку (x0 , y0 ),и что при уменьшении длин звеньев ломаные Эйлера будутприближаться к этой интегральной кривой. При этом, конечно,предполагается, что такая интегральная кривая существует.

Всамом деле, в дальнейшем мы покажем, что в случае непрерывности f (x, y) можно построить такую последовательностьломаных Эйлера, которая будет сходиться к интегральной кривой. Однако при этом, вообще говоря, не будет единственности,т.е. могут существовать различные интегральные кривые, проходящие через одну и ту же точку (x0 , y0 ).В 1925 г. М. А. Лаврентьев показал, что в случае f (x, y) ∈ Cсуществуют такие дифференциальные уравнения, что в любой окрестности любой точки, принадлежащей G, через точку(x0 , y0 ) проходит не одна, а по крайней мере две интегральныекривые, т.е. для единственности необходимы дополнительныетребования к функции f (x, y).