Пушкарь Е.А. - Дифференциальные уравнения, страница 2

Для x = x(t) получаем уравнениеdx= f (t),dtпричем x|t=t0 = x0 . Из интегрального исчисления известно, что решение задачи о нахождении функции, если известна ее производная, задается формулойtx(t) = x0 + f (τ )dτ.t0(2) Известно, что скорость распада радия прямо пропорциональна его количеству. Допустим, при t = t0 имелось m0граммов радия. Как масса образца зависит от времени?Решение. Обозначим коэффициент пропорциональности между массой радия m и скоростью его распадабуквой c (c > 0).

Тогда для массы радия имеем обыкновенное дифференциальное уравнениеdm= −cmdtи начальное условие: m|t=t0 = m0 .Решение этой задачи имеет видm = m0 · e−c(t−t0 ) .Из этих двух примеров видно, что одному и тому же обыкновенному дифференциальному уравнению могут удовлетворятьмногие функции.

Поэтому для определения искомой функции2.3 Геометрическая интерпретация9нужно задавать не только дифференциальное уравнение, но иначальное значение, которому она должна удовлетворять прикаком-то определенном значении аргумента.Основной задачей теории дифференциальных уравнений является нахождение всех решений дифференциального уравнения и изучение свойств этих решений. Нахождение решенийдифференциального уравнения называется интегрированиемэтого уравнения.2.3. Геометрическая интерпретация.Обобщение задачиРассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной искомойфункции y:(2.2)y = f (x, y),где правая часть уравнения — известная функция f (x, y), —определена в некоторой области G плоскости (x, y), такой что:(1) любая точка G — внутренняя;(2) множество G - связно, т.е. любые две его точки можносоединить ломаной, целиком лежащей внутри G.Напомним, что граничные точки области — это предельные точки тех точек области, которые не принадлежат (открытой) области G.

Совокупность всех граничных точек называется границей области.Замкнутой областью Ḡ (замыканием области G) называется область G вместе с ее границей.Выясним прежде всего, каков геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка (2.2).Будем рассматривать в уравнении (2.2) переменные x и y какдекартовы координаты точек на плоскости. Пусть y = ϕ(x) —решение уравнения (2.2). Значит, после подстановки функцииy = ϕ(x) в это уравнение оно превращается в тождество:ϕ (x) ≡ f (x, ϕ(x)).(2.3)102Общие понятияРассмотрим на графике функции y = ϕ(x) произвольнуюточку M(x, y) и проведем в этой точке касательную.

Из геометрического смысла производной следует, чтоϕ (x) = tg α,(2.4)где α — угол наклона касательной к оси абсцисс. Из соотношений (2.4), (2.3) и (2.2) получаем, что tg α = f (x, ϕ(x)) = f (x, y),где (x, y) — координаты точки M. Таким образом, угловой коэффициент касательной к графику решения уравнения (2.2) вкаждой его точке равен значению в этой точке правой частидифференциального уравнения первого порядка (2.2), то естьдифференциальное уравнение (2.2) задает в любой точке (x, y)области G значение углового коэффициента касательной к графику решения уравнения (2.2), проходящему через эту точку:tg α = f (x, y).Можно сказать, что уравнение (2.2) в области G задает поленаправлений, которое в каждой точке G изображается с помощью отрезков касательных, чьи угловые коэффициенты определяются значениями правой части f (x, y) дифференциальногоуравнения (2.2) в этой точке.В этом состоит геометрический смысл дифференциальногоуравнения (2.2).

Построив отрезки касательных для достаточнобольшого числа точек, мы получим достаточно наглядное изображение поля направлений. Так как касательная в точке графика решения имеет то же направление, что и отрезок в этойточке, то задачу нахождения решения (интегрирования) дифференциального уравнения (2.2) геометрически можно сформулировать так: найти кривую y = ϕ(x), которая в каждой точкеимеет касательную, заданную уравнением (2.2), или, что тожесамое, в каждой точке касается поля направлений, заданногоуравнением (2.2).С геометрической точки зрения в такой постановке задачи неочень естественными представляются следующие ограничения:(1) исключены направления, параллельные оси OY ;2.3 Геометрическая интерпретация11(2) исключены те линии, которые перпендикулярны к осиOX и пересекаются вертикальными прямыми более одного раза.Поэтому, наряду с уравнением (2.2), естественно также рассматривать уравнениеdx= f1 (x, y),dy(2.5)1всюду, где эти функции имеют смысл, иf (x, y)использовать уравнение (2.5) там, где уравнение (2.2) не имеетсмысла.

При этом считается, что в любой точке, принадлежащей G, хотя бы одна из функций f (x, y) или f1 (x, y) имеетсмысл, т.е. считается, что f1 (x, y) = 0 там, где f (x, y) не имеетсмысла (стремится к бесконечности).Тогда задачу интегрирования дифференциальных уравнений (2.2), (2.5) можно поставить так: в области G найти вселинии, касающиеся в любой точке поля направлений, заданного уравнениями (2.2) или (2.5). Эти линии называются интегральными кривыми (или интегральными линиями) уравнений (2.2) или (2.5).ЕслиM(x, y),f (x, y) =N(x, y)то вместе с уравнениемгде f1 (x, y) =dyM(x, y)=dxN(x, y)(2.6)будем рассматривать уравнениеN(x, y)dx=·dyM(x, y)(2.7)Можно также записать уравнение в симметричной формеM(x, y)dx − N(x, y)dy = 0.(2.8)122Общие понятияПри этом поле направлений определено всюду, где M(x, y)и N(x, y) имеют смысл иM 2 + N 2 = 0.Пример.(2.9)Уравнениеydy=(2.10)dx xопределяет поле направлений всюду, кроме начала координат.Схематически это поле направлений изображено на рис.

2.1.yxРис. 2.1. Поле направлений уравнения (2.10)Все определяемые им направления проходят через началокоординат. Ясно, что при любом k функции y = kx, x > 0 иy = kx, x < 0 являются решениями уравнения (2.10). Интегральные кривые представляют собой полупрямые, исходящиеиз начала координат. Принципиальным является то, что придвижении точки по интегральной кривой переход через началокоординат невозможен, так как в начале координат поле направлений не определено, поскольку в точке O (0, 0) условие(2.9) не выполняется.Было бы неправильным утверждать, что интегральные кривые уравнения (2.10) являются прямыми y = kx, поскольку после попадания в начало координат при движении вдоль какойлибо интегральной кривой выход из точки O (0, 0) возможен2.3 Геометрическая интерпретация13по любой из интегральных кривых в силу неопределенности вней поля направлений, однако интегральная кривая не можетиметь изломов.Переходя от уравнения (2.10) к уравнениюdx x= ,dyy(2.11)найдем, что полуоси оси абсцисс x = 0, y > 0 и x = 0, y < 0также являются интегральными кривыми.Совокупность же всех интегральных кривых можно было бызадать уравнением ax + by = 0, где a и b – некоторые постоянные, одновременно не равные нулю, которое тем самым является общим интегралом уравнений (2.10) и (2.11), однако нужнопонимать, что интегральные кривые не являются прямыми линиями, задаваемые этим соотношением, а представляют собойполупрямые, выходящие из начала координат.Если записать решение уравнения (2.10) (или (2.11)) в параметрической форме, но наиболее адекватным представлениемявляетсяx = aeαt ,y = beαt ,где α = 0 – свободный параметр, а a и b – некоторые постоянные, одновременно не равные нулю.Представленные так интегральные кривые уравнения (2.10)как раз и являются полупрямыми, асимптотически входящимив начало координат при t → −∞ (когда α > 0) или t → +∞(когда α < 0).Это уравнение встретится нам в конце курса при классификации особых точек на плоскости (глава 16).

В исходном дифференциальном уравнении (2.10) начало координат являетсяособой точкой, в ней решение неединственно. Данная особаяточка называется дикритическим узлом.142Пример.Общие понятияУравнениеxdy=−(2.12)dxyзадает поле направлений всюду, за исключением начала координат. Схематически это поле направлений изображено нарис. 2.2. Направления, задаваемые в точке (x, y) уравнениямиyxРис. 2.2. Поле направлений уравнения (2.12)(2.10) и (2.12), взаимно перпендикулярны. Ясно, что все окружности x2 + y 2 = R2 , имеющие центр в начале координат, будутинтегральными кривыми уравнения√ этого√ (2.12).

Решениямиуравнения будут функции y = + R2 − x2 и y = − R2 − x2(−R < x < R), графическим представлением которых являются полуокружности в верхней и нижней полуплоскостях.2.4. Метод изоклинДля упрощения построения поля направлений найдем все теточки плоскости (x, y), в которых отрезки, изображающие наклон интегральных кривых, имеют одно и то же направление.Определение.

Изоклиной дифференциального уравненияназывается множество всех точек плоскости, в которых отрезкиполя направлений имеют один и тот же наклон.Уравнение изоклины (кривой равных наклонов интегральных кривых) найти очень просто. Действительно, в каждойточке изоклины тангенс угла наклона отрезков поля направлений имеет одно и то же значение tg α = k, где k — параметр.2.4 Метод изоклин15Так как, с другой стороны, tg α = y = f (x, y), то координатыкаждой точки изоклины удовлетворяют уравнению(2.13)f (x, y) = k.Соотношение (2.13) служит уравнением изоклины дифференциального уравнения (2.2).

Так как k в уравнении (2.13) можетпринимать различные значения, то это уравнение можно рассматривать как уравнение семейства изоклин.Пример. Построим поле направлений дифференциального уравнения y = x2 + y 2 .Уравнение изоклин этого дифференциального уравненияизоклинами служат концентричеимеет вид x2 + y 2 = k, т.е. √ские окружности радиусом k с центром в начале координат(рис.

2.3).yxРис. 2.3. Изоклины и интегральные кривые уравненияy = x2 + y 2В точках каждой из окружностей нужно провести отрезки,образующие с осью OX один и тот же угол α, тангенс которогоравен k. Так, при k = 1 изоклиной является единичная окружность x2 + y 2 = 1, при k = 4 — окружность x2 + y 2 = 22 радиуса 2, при k = 9 — окружность x2 +y 2 = 32 радиуса 3 и т.д. Этимизоклинам соответствуют направления отрезков, образующихс осью OX углы α1 = arctg 1 = π/4, α2 = arctg 4 и α3 = arctg 9.162Общие понятияПри k = 0 получаем x2 + y 2 = 0. Этому уравнению удовлетворяет единственная точка (0, 0).