Пушкарь Е.А. - Дифференциальные уравнения, страница 27

Система (16.1) не изменяется при замене переменнойt = t̃ + τ. Тогда, если перейти на фазовую плоскость (x, y),решение (x(t), y(t)) определяет на фазовой плоскости кривую,заданную параметрически.Траектории системы (16.1) (проекции интегральных кривых) на фазовой плоскости совпадают с интегральными кривыми уравненияdx P (x, y)=·(16.2)dyQ(x, y)В любой точке система (16.1) определяет касательный вектор к полю направлений: (ẋ (t) , ẏ (t)) = (P, Q) . Если же вкакой-то точке x = a, y = b выполнены условия P (a, b) = 0,Q (a, b) = 0, то касательный вектор к полю направлений неопределен и решение системы (16.1) вырождается в точкуx = a, y = b (так называемую точку покоя).В этом случае правая часть (16.2) не определена.

Для упрощения записи предположим, что a = 0 и b = 0. Это можносделать, положив x̃ = x − a, ỹ = y − b.22016Особые точки на плоскостиРазложим P (x, y) и Q (x, y) по степеням x, y; в окрестноститочки (0, 0) получимQx (0, 0)x + Qy (0, 0)y + O(x2 + y 2 )dy= ·dxPx (0, 0)x + Py (0, 0)y + O(x2 + y 2 )(16.3)dyпри x = 0, y = 0. Однако,Это уравнение не определяетdxесли Qx (0, 0) Qy (0, 0) Px (0, 0) Py (0, 0) = 0,то начало координат будет неустранимой точкой разрыва дляdy, то есть будет особой точкой для дифференциального уравdxнения (16.2).Как было показано в 1922 г.

Перроном, члены O(x2 + y 2 ) неоказывают влияния, если действительные части обеих корнейуравненияλ − Qy (0, 0) −Qx (0, 0) −Py (0, 0) λ − Px (0, 0) = 0отличны от нуля.16.1. Классификация особых точек наплоскостиЧтобы представить себе поведение интегральных кривых системы (16.1) в окрестности точки покоя, изучим поведение интегральных линий системы уравнений dx = a11 x + a12 y,a21 x + a22 ydydt=,(16.4)⇔dydxax+ay1112 = a21 x + a22 y,dtдля которойa11 a12 = 0.det A = a21 a22 16.1 Классификация особых точек на плоскости221Эта система получается из (16.1) в результате линеаризациипосле разложения правых частей системы (16.1) в ряд Тейлорав точке покоя (0, 0) и отбрасывания членов высшего порядкамалости (см.

(16.3)). Коэффициенты aij равны значениям соответствующих частных производных функций P (x; y) и Q(x, y)в точке покоя.Из последнего уравнения (det A = 0) следует, что точка(0, 0) — единственная особая точка системы (16.4). Если жеdy= λ, следоdet A = 0, то эти уравнения пропорциональны:dxвательно y = λx + C и траектории имеют вид изображенныйна рис. 16.1.yxРис. 16.1. Траектории решения в случае пропорциональности уравнений в системе (16.4)Перепишем систему (16.4) в векторной форме: d xxa11 a12.=A, где A =a21 a22dt yyСделаем линейное преобразование, где C — некоторая невырожденная матрица (det C = 0): ξξxd ξξ≡B.

(16.5)=C=⇒= C −1 ACηηyηdt η22216Особые точки на плоскостиЗдесь B = C −1 AC, следовательно матрицы A и B — подобны, и, следовательно, собственные значения матриц A и Bравны.Если Ah = λh, то h — собственный вектор. Таким образом,если h — собственный вектор матрицы A, то C −1 h — собственный вектор матрицы B, так как BC −1 h = C −1 Ah = C −1 λh == λC −1 h.Рассмотрим возможные ситуации с собственными значениями матрицы A (решениями уравнения |A − λE| = 0).1) Собственные значения λ1 , λ2 матрицы A – вещественные,различные, одного знака.Собственные векторы матрицы A — это решения системыa11 x0 + a12 y0 = λx0 ,a21 x0 + a22 y0 = λy0 ,где λ равно собственному значению λ1 или λ2 .Здесь радиус-вектор (x0 , y0 ) определяет координаты точкиM(x0 , y0 ), лежащей на прямой, проходящей через начало координат O и точку M (рис.

16.2), поле направлений в которойопределяется системой дифференциальных уравнений (16.4) иимеет вид (a11 x0 + a12 y0 , a21 x0 + a22 y0 ).y(g,d)(a,b)M(x0, y0)OxРис. 16.2. Собственные векторы в случае вещественныхразличных собственных значений16.1 Классификация особых точек на плоскости223Равенство Ah = λh означает, что радиус-вектор (x0 , y0 ) коллинеарен полю направлений (a11 x0 + a12 y0 , a21 x0 + a22 y0 ), таккак его компоненты пропорциональны направляющим векторам поля направлений. α,аПусть корню λ1 соответствует собственный векторβ γ(рис. 16.2).корню λ2 соответствуетδТаким образом, имеются две интегральные кривые, которыепредставляют собой прямые линии, так как на них поле направлений коллинеарно радиус-вектору и, следовательно, радиусвектор в любой точке (x0 , y0 ) касается поля направлений, поэтому такая прямая есть решение.Геометрически такое рассуждение безупречно, однако, есливзять уравнение такой прямой в простейшем виде xx0 t=yy0 tи подставить в систему (16.4), мы не получим тождества, поскольку x0 td x0 t= A.y0 tdt y0 tЭто связано с тем, что на самом деле, поскольку поле направлений системы (16.4) не определено в начале координат,интегральными кривыми этой системы являются не прямыелинии, а полупрямые, исходящие из начала координат:λ1 tx = αe ,x = x0 eλt ,или, в других обозначениях, L :L1 :y = βeλ1 t ,y = y0 eλt ,Представленные так решения системы (16.4) как раз и являются полупрямыми, асимптотически входящими в начало координат при t → −∞ (когда λ > 0) или t → +∞ (когда λ < 0).Две полупрямые с одним и тем же λ образуют прямую линию, направляющий вектор которой коллинеарен собственному22416Особые точки на плоскостивектору матрицы A.

Пусть уравнения этих прямых имеют вид:первая прямая ax + by = 0, вторая прямая cx + dy = 0.Сделаем невырожденное преобразование, введя новые переменные ξ, η, связанные с этими прямымиξ = ax + by,(16.6)η = cx + dy,то есть новые оси координат направлены вдоль этих прямых.Заметим, что мы не конкретизируем значения постоянныхa, b, c, d в преобразовании (16.6) и не вычисляем их как функции коэффициентов матрицы A, а постараемся выписать систему уравнений, получающуюся в результате преобразования,исходя из свойств решения в новых переменных ξ, η.Сделав преобразование (16.6), получим систему уравнений,которая в векторном виде записывается как ξd ξ=B.dt ηηВ силу (16.5) матрица B подобна матрице A и имеет те жесобственные значения λ1 , λ2 , что и матрица A в системе (16.4).В результате преобразования (16.6) уравнение для ξ, η принимает вид:dξb11 ξ + b12 η=·(16.7)dηb21 ξ + b22 ηПоскольку новые оси координат ξ = 0 и η = 0 являются решениями уравнения (16.7), то b12 = 0 и b21 = 0.

Таким образом,получаем преобразованное уравнениеb11 ξdξb11 0=⇒B=.0 b22dηb22 ηТак как собственные значения B равны λ1 и λ2 , тоb11 = λ1 ,b22 = λ2 .16.1 Классификация особых точек на плоскости225Уравнение в переменных ξ, η имеет видλ1 ξdξ=,dηλ2 ηλ1> 0, так как λ1 и λ2 одного знака.λ2Разделяя переменные и интегрируя, найдем решение последнего уравнения:5λ1λ1 dηλ2dξ=⇒ ξ = C|η| ,ξλ2 ηη = 0.причем отношениеПусть для определенности λ1 > λ2 > 0. В этом случае всеинтегральные кривые проходят через начало координат и всеони, кроме интегральной линии η = 0, касаются в начале координат оси η, так какλ1λ1dξ= ± C|η| λ2 −1 = 0.dηλ2ξ=0Это особая точка типа узел (рис.

16.3). Через узел проходитбесконечно много интегральных кривых.yxhРис. 16.3. Особая точка типа узелx22616Особые точки на плоскости2) Собственные значения λ1 , λ2 — вещественные, разныхзнаков. Интегрируя полученное уравнение, получим решение,как и в случае узлаλ1λ1 ξdξξ = C|η| λ2 ,=⇔dηλ2 ηη = 0,λ1= −k < 0.λ2Поэтому мы имеем только две интегральных кривых, проходящих через начало координат, а именно η = 0 и ξ = 0 (приC = 0). Остальные интегральные кривые не проходят черезособую точку, а имеют вид гипербол, у которых в плоскости(ξ, η) оси координат, а в плоскости (x, y) — прямые, заданныесобственными векторами, — являются асимптотами (рис.

16.4).Эти прямые называются сепаратрисами.Это особая точка типа седло или седловая особая точка(рис. 16.4).однако в этой ситуацииyxhxРис. 16.4. Особая точка типа седло в плоскостях (ξ, η) и (x, y)3) Кратные собственные значения λ1 = λ2 = λ. В этом случае есть только одно направление радиуса-вектора, при котором он коллинеарен векторному полю. Собственный вектор равен (α, β), уравнение прямой, коллинеарной собственному вектору и являющейся интегральной кривой, имеет видax + by = 0.16.1 Классификация особых точек на плоскости227Сделаем преобразование B, имеющее вид:ξ = ax + by,η = (любое, такое что det(B) = 0).В результате преобразования B уравнение (16.4) запишетсякакb11 ξ + b12 ηdξ=·dηb21 ξ + b22 ηПоскольку ξ = 0 — решение, то b12 = 0 и матрица B имеетвид:b11 0.B=b21 b22Собственные значения матрицы B равны λ, следовательноb11 = b22 = λ, и в результатеλ 0.B=b21 λВ переменных ξ, η уравнение принимает вид:λξdξ=·dηλη + b21 ξРазберем возможные ситуации:a) b21 = 0; тогдаξydξdyξ = Cη,=⇒= ·⇔η = 0,dηηdx x(16.8)yxhРис.

16.5. Дикритический узелx22816Особые точки на плоскостиЭто особая точка — дикритический узел (или вырожденный узел) (рис. 16.5). Все интегральные кривые входят в неес определенным направлением касательных, по при этом угловые коэффициенты касательных принимают любые значения.Подробно уравнение (16.8) было исследовано в главе 2.b) b21 = 0; тогдаλξdξ=·dηλη + b21 ξПроанализируем это дифференциальное уравнение:(1) Очевидно, что ξ = 0 — решение этого уравнения.(2) Пусть теперь ξ = 0, тогда можно решить данное дифференциальное уравнение относительно функции η = η(ξ),переписав его в видеη b21dη= +·dξξλПолучили линейное неоднородное уравнение для η(ξ).Найдем его решение.

Для этого вначале решим однородное уравнениеdηη= ·dξξИнтегрируя это уравнения, получим η = Cξ — общеерешение однородного уравнения. Применяя метод вариации произвольной постоянной, ищем решение в видеη = C(ξ)ξ.b21b21, значит C =ln |ξ| + C1 иПолучим: C ξ =λλобщее решение неоднородного уравнения имеет вид:b21ξ ln |ξ|.η = Cξ +λЭто особая точка называется особый узел (рис. 16.6).У особого узла все интегральные кривые имеют одну и туже касательную — ось Oη. Особый узел отличается от обычного16.1 Классификация особых точек на плоскостиh229hxxРис.