Пушкарь Е.А. - Дифференциальные уравнения, страница 29

. . + y (x0 )+ ...n!(17.5)Подставив в уравнение (17.5) значения производных в точке x0 из начальных условий и полученные из описанных вышепреобразований, найдем приближенное частное решение исходного дифференциального уравнения в виде:2n− x0(n) (x − x0 ) (x − x0 )+ y0+ . . . + y0+ ...,y(x) = y0 +1!2!n!(17.6)точность которого зависит от условий сходимости полученногостепенного ряда и количества членов ряда, учитываемых прирасчетах.xy0Пример 1. Решить задачу Коши методом интегрирования с помощью рядов (записать первые семь членов ряда)  y = 2xy + 4y,y(0) = 0,(17.7) y (0) = 1.Решение: Найдем последовательным дифференцированием исходного дифференциального уравнения все производныедо седьмого порядка включительно, при этом каждый раз подставляя значения найденных в точке x0 предыдущих производных.Из (17.7) следует: y = 2xy + 4y → y0 = 2 · 0 · 1 + 4 · 0 = 0.17.1 Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов239Дифференцируя (17.7), получаемy = 2y +2xy +4y = 6y +2xy → y0 = 6·1+2·0·0 = 6.

(17.8)Дифференцируя (17.8), получаемy IV = 6y + 2y + 2xy = 8y + 2xy → y0IV = 8 · 0 + 2 · 0 · 6 = 0.(17.9)Дифференцируя (17.9), получаемy V = 8y +2y +2xy IV = 10y +2xy IV → y0V = 10·6+2·0·0 = 60.(17.10)VIV IIАналогично можно найти: y0 = 0, y0 = 840 и т.д.Поскольку в рассмотренном случае x0 = 0, получаем разложение решения в ряд Маклорена:6160840 7x + x3 + x5 +x +...1!3!5!7!или окончательноx3 x5 x7+++ ....y =x+1!2!3!В некоторых случаях можно искать решение в виде степенного ряда с неопределенными коэффициентами C0 , C1 , C2 , . . .

,Cn , . . .:∞Cn (x − x0 )n .y=n=0Неопределенные коэффициенты Cn (n = 1, 2, . . .) могутбыть найдены путем подстановки ряда в исходное дифференциальное уравнение и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях бинома (x − x0 ) в левой и правой частях полученного равенства.Проиллюстрируем нахождение решения в виде степенногоряда методом неопределенных коэффициентов на следующемважном уравнении, которое называется уравнением Бесселянулевого порядка.24017Приближенные методы решенияПример 2.

Найти общее решение уравнения Бесселя нулевого порядка:1(17.11)y + y + y = 0.xОтметим, что при x = 0 уравнение Бесселя имеет особенность и при x = 0 теорема существования и единственностинеприменима.Решение будем искать с помощью степенных рядов:y = c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + . . . + cn xn + . . .Продифференцируем этот ряд почленно. Получим следующие выражения для производных:y = c1 + 2c2 x + 3c3 x2 + . .

. + ncn xn−1 + . . .y = 2c2 + 2 · 3c3 x + 3 · 4c4 x2 + . . . + (n − 1)ncn xn−2 + . . .Подставим эти выражения в дифференциальное уравнение(17.11):(2c2 + 2 · 3c3 x + 3 · 4c4 x2 + . . . + (n − 1)ncn xn−2 + . . .)+1+ (c1 + 2c2 x + 3c3 x2 + . . . + ncn xn−1 + . . .)+x+(c0 + c1 x + c2 x2 + c3 x3 + . . . + cn xn + . . .) = 0.Приравнивая коэффициенты при всех степенях x, получимсистему уравнений для определения c0 , c1 , c2 , .

. ..1Начнем с члена содержащего . Коэффициентом при немx1служит c1 , поэтому c1 = 0, так как в правой части членов сxнет. Отсюда видно,чторешениеввидерядасуществует,только если c1 = y x=0 = 0 и поэтому задавать y произвольно приx = 0 нельзя.17.1 Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов241Выпишем коэффициенты при нечетных степенях: x, x3 , x5и т.д.:2 · 3c3 + 3c3 + c1 = 0,4 · 5c5 + 5c5 + c3 = 0,6 · 7c7 + 5c7 + c5 = 0.Так как c1 = 0, то для всех коэффициентов с нечетнымииндексами получимc3 = 0,c5 = 0,...,c2k+1 = 0.Перейдем к нахождению коэффициентов с четными индексами. Для этого рассмотрим коэффициенты при x0 , x2 , x4 , . .

.2 · c2 + 2c2 + c0 = 0,3 · 4c4 + 4c4 + c2 = 0,5 · 6c6 + 4c6 + c4 = 0.Напишем рекуррентную формулу:(n + 2)(n + 1)cn+2 + (n + 2)cn+2 + cn = 0или:(n + 2)2 cn+2 + cn = 0.Выразим все коэффициенты через c0 :c0c2c0c4c0c2 = − 2 ; c2 = − 2 = 2 2 ; c6 = − 2 = − 2 2 2 ;24246246c0c0n=(−1)·c2n = (−1)n = 2 22 4 . . . (2n)22n (n!)2Таким образом, решение уравнения Бесселя нулевого порядка имеет вид:x2x4x6−+ ...(17.12)y(x) = c0 1 − 2 + 422 (2!)2 26 (3!)2∞2nxx2nnn+ .

. . = c0(−1) 2n·. . . + (−1) 2n22 (n!)22(n!)n=024217Приближенные методы решенияПолагая в (17.12) c0 = 1, получим функцию y1 (x) = J0 (x),которая называется функцией Бесселя первого рода нулевогопорядка. Она представляет собой частное решение уравненияБесселя нулевого порядка (17.11), удовлетворяющее начальнымусловиям y1 (0) = 1, y1 (0) = 0.При помощи признака Даламбера можно показать, что ряд(17.12) сходится при любом x.Второе частное решение представляет собой обобщенныйстепенной ряд и обязательно содержит ln(x − x0 ). Его следуетискать в видеy2 (x) = (x − x0 )ρ2∞ck (x − x0 )k + γ−1 y1 ln(x − x0 ),(17.13)n=0где γ−1 = 0, а ρ2 находится из так называемого определяющегоуравнения в особой точке x = x0 (в случае уравнения Бесселяпри x = 0):ρ(ρ − 1) + p0 ρ + q0 = 0.(17.14)Коэффициенты p0 и q0 этого уравнения можно найти по формуламp0 = lim (x − x0 )p(x),x→x0q0 = lim (x − x0 )2 q(x),x→x0(17.15)которые в случае уравнения Бесселя (p(x) = x1 , q(x) = 1) даютp0 = 1 и q0 = 0, т.е.

ρ1 = ρ2 = 0 и, согласно формуле (17.13),второе частное решение следует искать в видеy2 (x) = γ−1 J0 (x) ln x + c0 + c1 x + c2 x2 + . . . ,(17.16)причем c0 можно считать равным нулю, так как этого всегдаможно добиться, взяв вместо y2 соответствующую линейнуюкомбинацию y2 (x) и J0 (x).17.1 Численные методы для систем дифференциальных уравнений243Будем искать y2 (x) в виде (17.16). Тогда, полагая c0 = 0 иγ−1 = 1, после применения метода неопределенных коэффициентов найдем1xx+y2 (x) = K0 (x) = J0 (x) ln x + 2 − 2 2 1 +22 ·4226+x22 · 42 · 621+41 1+2 3(17.17)− ...Функция K0 (x) называется функцией Бесселя нулевого порядка второго рода.Общее решение уравнения (17.11) можно записать в видеy = C1 J0 (x) + C2 K0 (x).(17.18)Функции Бесселя играют важную роль в уравнениях математической физики.17.2.

Численные методы решения задачиКоши для систем дифференциальныхуравненийРешение задачи Коши для систем дифференциальных уравнений находится по тем же самым формулам, что и для одногоуравнения, если система записана в векторной форме.17.2.1. Метод ЭйлераРассмотрим решение методом Эйлера простейшей системыдвух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с начальными условиями, заданными при x = x0 (задача244Коши):17Приближенные методы решенияdy= ϕ(x, y, z),dx dz= ψ(x, y, z),dxy |x=x = y0 , z| 0 = z .x=x00(17.19)Введем следующие обозначения y |x=x0yyϕ, y0 = 0 .y=, f (x, y) =, y |x=x0 =z |x=x0z0zψ(17.20)Тогда система и начальные условия запишутся в видеdy= f (x, y),(17.21)dxy |x=x0 = y0 ,который полностью совпадает с задачей Коши (4.19) с заменойскалярных функций на вектор-функции.В частности, формулы Эйлера (4.22) для одного уравнениясохраняют свой вид для системы (17.21) с заменой скалярныхфункций на вектор-функции(17.22)xn+1 = xn + h,yn+1 = yn + hf (xn , yn ),n = 0, 1, .

. . , N − 1.Заметим, что уравнения высших порядков всегда могутбыть сведены к системе уравнений первого порядка. Например,задача Коши для уравнения второго порядка  y = ψ(x, y, y ),y(x0 ) = y0 ,(17.23)y (x0 ) = y017.1 Численные методы для систем дифференциальных уравнений245сводится к задаче (17.19) с помощью замены переменнойy = z: y = z ≡ ϕ(x, y, z),z = ψ(x, y, z),(17.24))=y,y(x00z(x0 ) = y0 .Система (17.24) является частным случаем системы (17.19)при ϕ(x, y, z) ≡ z.Алгоритм численного решения задачи Коши для системыдифференциальных уравнений методом Эйлера полностью совпадает с алгоритмом решения для одного уравнения.Вычисления производят по формулам (17.22), которые вразвернутом виде запишутся следующим образом xn+1 = xn + h,yn+1 = yn + hϕ(xn , yn, zn ),(17.25)zn+1 = zn + hψ(xn , yn, zn ).17.2.2. Методы Рунге-Кутта для системы.Схемы Рунге-Кутта легко распространяются на случай систем дифференциальных уравнений, как и в случае метода Эйлера, при помощи формальной замены y и f (x, y) на y и f (x, y)соответственно.Для системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений (17.19) покомпонентная запись схемы Рунге-Кутта четвертого порядка имеет видxn+1 = xn + h,1yn+1 = yn + h (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ),61=z+h (q1 + 2q2 + 2q3 + q4 ),zn+1n6(17.26)24617Приближенные методы решениягдеk1 = ϕ(xn , yn , zn ), q1 = ψ(xn , yn , zn ),111k2 = ϕ(xn + h, yn + hk1 , zn + hq1 ),222111q2 = ψ(xn + h, yn + hk1 , zn + hq1 ),222111k3 = ϕ(xn + h, yn + hk2 , zn + hq2 ),222111q3 = ψ(xn + h, yn + hk2 , zn + hq2 ),222k4 = ϕ(xn + h, yn + hk3 , zn + hq3 ),(17.27)q4 = ψ(xn + h, yn + hk3 , zn + hq3 ) .Именно эта схема (разумеется, записанная для системы произвольного числа уравнений) лежит в основе большинствастандартных программ численного решения задачи Коши наЭВМ.Вопросы к экзамену247Вопросы к экзамену по курсу “ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕУРАВНЕНИЯ”1.