Пушкарь Е.А. - Дифференциальные уравнения, страница 26

Тогда, как только это было показано,все интегральные линии начинающиеся при x = x0 внутри Kηпри увеличении x остаются внутри Kε . Покажем, что любаяинтегральная линия l при увеличении x стремится к началукоординат.Было доказано, что вдоль l значение V (x) не возрастает.В силу свойств функции V достаточно проверить, что вдольl функция V (x) → 0 (так как V (0, . .

. , 0) = 0 и нуль — единствен).Рассуждаем от противного. Пусть V (x) вдоль l не стремитсяк нулю, оставаясь всегда больше некоторого положительного δ.Следовательно, l целиком расположена вне некоторого куба Kδи из (15.10) следует, что вдоль ldV −W −α < 0,(15.11)dxтак как вне Kδ функция W α > 0 (такое α = const > 0существует, так как W = 0 только в начале координат).Проинтегрируем неравенство (15.11):dV −α ⇔ dV −αdx ⇔ V (x) − V (x0 ) −α (x − x0 ) ,dxоткуда находимV (x) V (x0 ) − α (x − x0 ) ,21015Устойчивость по Ляпуновутак что, очевидно, правая часть стремится к минус бесконечности при x → +∞ и, следовательно, V (x) < 0.

Это противоречит определению функции V (x). Лемма доказана.Геометрический смысл леммы Ляпунова. Рассмотрим частный случай n = 2. Пусть линии уровня V = C (C = const) —замкнутые линии, содержащие начало координат, причем линия с меньшим значением C лежит внутри линии с большимзначением C (рис. 15.3). Условие (15.9) означает, что интегральные кривые, имеющие общую точку с линией V = C, не выходят из области, ограниченной этой линией, откуда и следуетустойчивость нулевого решения y1 ≡ 0, y2 ≡ 0 (т.е. началакоординат на плоскости y1 , y2 ).Геометрическая интерпретация леммы Ляпуноваy2ly1Рис. 15.3. Геометрическая интерпретация леммы ЛяпуноваПри выполнении более сильного условия (15.10) интегральные кривые пересекают линию V = C снаружи внутрь, таккакdV −W |V =C < −β (β > 0) .dx V =C15.5 Устойчивость нелинейных автономных систем211Это неравенство справедливо, поскольку функция, непрерывная в ограниченной замкнутой области, достигает своихнаибольшего и наименьшего значений.

Кроме того, как доказано выше, lim V (x) = 0. Следовательно, любая интегральнаяx→+∞кривая стремится к началу координат, а это означает, что нулевое решение асимптотически устойчиво.Замечание.Левая часть неравенств (15.9) или (15.10)dVот функции V , взятуюпредставляет собой производнуюdxвдоль интегральных кривых системы (15.8), или, иначе говоря,производную, взятую в силу системы (15.8).15.5. Нелинейные автономные системыОпределение. Система называется автономной (динамической), если ее правая часть не зависит от аргументаdyi= fi (y1 , . .

. , yn) , i = 1, 2, . . . , n.dx(15.12)Будем предполагать, что у системы (15.12) существует нулевое решение y(x) ≡ 0. Для этого необходимо, чтобы выполнялись равенстваfi (0, . . . , 0) = 0, i = 1, 2, . . . , n.Представив правую часть (15.12) по формуле Тейлора вокрестности точки (0, .

. . , 0) и учитывая, что fi (0, . . . , 0) = 0,i = 1, 2, . . . , n, получим систему следующего видаdyi aij yj + ϕi (y1 , . . . , yn) , i = 1, . . . , n,=dxj=1n∂fi(0, . . . , 0), а функции ϕi (y1 , . . . , yn ) содержат чле∂yjны высшего порядка по сравнению с линейными членами.где aij =21215Устойчивость по ЛяпуновуДля автономных систем такого вида справедливы две следующие теоремы, принадлежащие Ляпунову.Теорема 15.2. (Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости).Если правая часть системы (15.12) может быть представлена в виде линейной части и нелинейной добавки высшего порядка малостиfi (y1 , . . . , yn ) =naij yj + ϕi (y1 , . . . , yn ) , где aij = const,j=1(15.13)причем вектор-функция ϕ (y1 , .

. . , yn ) удовлетворяет условиюЛипшица по всем аргументам иϕi (y1 , . . . , yn )ϕ= 0, i = 1, . . . , n ⇔ lim= 0,y1 ,...,yn →0 |y1 | + . . . + |yn |y→0 ylimи если все собственные значения матрицы A, составленнойиз коэффициентов aij , имеют отрицательные вещественныечасти (Reλ < 0, где λ — решение характеристического уравнения |A − λE| = 0), то нулевое решение системы (15.12)будет асимптотически устойчивым при x → +∞.Теорема 15.3 (Теорема Ляпунова о неустойчивости).

Если для системы (15.12) выполнены условия теоремы (15.2)и матрица A имеет по крайней мере одно собственное значение, у которого действительная часть положительнаReλ > 0, то решение y ≡ 0 неустойчиво.Эту теорему примем без доказательства.В ситуации, когда некоторые характеристические значениялежат на мнимой оси (действительная часть хотя бы одногособственного значения равна нулю), теорема (15.3) неприменима и однозначного ответа на вопрос о неустойчивости нет, т.е.система может быть как устойчивой, так и неустойчивой.15.5 Устойчивость нелинейных автономных систем213Доказательство теоремы Ляпунова (15.2) об асимптотической устойчивости.Рассмотрим однородную систему, полученную отбрасыванием в правой части системы (15.12), представленной в виде(15.13), нелинейных членов ϕi (y1 , .

. . , yn ):dyi =aij yj .dxi=1n(15.14)Как показано ранее, решения системы (15.14) имеют вид:nλk xP(x)ek1 k=1ny=λk x  .P(x)e k=1 k2...............Рассмотрим собственное значение λk , у которого по условиютеоремы Reλk < 0, тогда справедлива оценка|eλk x | = |e(Reλk )x | < e−αx ,(15.15)где α > 0. Так как собственных значений λk конечное число, томожно найти такое α, чтобы оценка (15.15) выполнялась длялюбого k. Умножение функции eλk x на многочлен любой конечной степени не нарушает этой оценки. Следовательно, существует такое γ > 0, что для всех k выполняется неравенство|P (x) eλk x | Ce−γx ,k = 1, . .

. , n;и, следовательно,y (x) C1 e−γx .21415Устойчивость по ЛяпуновуПусть теперь y1 (x) , . . . , yn (x) — фундаментальная системарешений системы уравнений (15.14), удовлетворяющая начальным условиям 0. . . yi (0) = 1. . .0(единица в i-той строке), тогда справедлива оценкаyi (x) Me−γx ,где M — единая константа для любого i (будем считать, чтоM > 1).Составим из фундаментальной системы матрицу U (x), располагая решения y1 (x) , . . .

, yn (x) по столбцам:U (x) = (y1 (x) , y2 (x) , . . . , yn (x)) .(15.16)Таким образом, имеем задачу Коши, записанную в матричном видеdU= AU,A = (aij )dtU (0) = E.Рассмотрим матричную функцию U = U (x − τ ), где τ —некоторый параметр. Легко видеть, что для этой функции выполняются соотношенияU (x − τ ) |x=τ = E,ddU (x − τ ) =U (x − τ ) = AU (x − τ ) .dxd (x − τ )Применим формулу Коши (11.18) для решения неоднородной линейной системыdy= A (x) y + ϕ.(15.17)dx15.5 Устойчивость нелинейных автономных систем215Формула Коши, записанная в видеxy (x) = K (x, 0) y0 + K (y, τ ) ϕ (τ ) dτ,(15.18)0задает решение системы (15.17), где функция Коши определяется так: K (x, x) = E, а K (x, τ ) — решение соответствующейоднородной системы (15.14) по x.

Предполагается, что системазаписана в матричном виде.В нашем случае можно взять K (x, τ ) = U (x − τ ), где U (x)— фундаментальная система решений (15.16), и по формуле(15.18) имеем:x (y (τ )) dτ.(15.19)y (x) = U (x) y0 + U (x − τ ) ϕ0Выше было показано, что для компонент фундаментальнойсистемы выполняются оценки|Uij (x − τ ) | Me−γ(x−τ ) ;на основании этой оценки из формулы (15.19) получим в покомпонентной записи:x|yi (x) | Me−γx y (0) + Me−γx eγτ ϕ (y (τ )) dτ.

(15.20)0Суммируя неравенство (15.20) по всем индексам i, гдеi = 1, 2, . . . , n, получим следующую оценкуxϕdτ.(15.21)y (x) nMe−γx y (0) + nMe−γx eγτ 0Для того, чтобы доказать асимптотическую устойчивостьрешения, необходимо доказать, что решение y (x) имеет следующие свойства:21615Устойчивость по Ляпунову(1) продолжаемо на полубесконечный интервал (0, ∞);(2) устойчиво по Ляпунову;(3) стремится к нулю y (x) → 0 при x → ∞.Из всего этого будет следовать асимптотическая устойчивость.1. Докажем неограниченную продолжаемость решения.По условию теоремыϕ (y) = 0.limyy→0Это означает, что для любого ε1 > 0 существует δ1 > 0,такое чтоϕ (y) < ε1 y,(15.22)если y < δ1 .В качестве оценки ϕ (y) в неравенстве (15.21) возьмемγи по выбранному ε1 найдем δ1 .ε1 =2MnВыберем начальные данные так, чтобы выполнялось неравенство 2Mny (0) < δ1 , то естьδ1y (0) <.(15.23)2MnДокажем, что при таком ограничении на начальные данныеусловие y (x) < δ1 выполнено при любом x.Действительно, из выбора начальных условий следует, чтопоскольку мы взяли M > 1, тоy (0) < δ1 ;из соображений непрерывности это неравенство выполняетсятакже при малых x > 0.

Надо доказать, что оно выполненопри любом x.Докажем это от противного. Пусть неравенство y (x) < δ1нарушается в первый раз при x = x1 : y (x1 ) = δ1 . Рассмотрим оценку (15.21) при x = x1 . Подставим в правую часть оценку сверху на начальные значения y (0) (15.23) и e−γx 115.5 Устойчивость нелинейных автономных систем217(в первое слагаемое) и оценку сверху для ϕ (y) (15.22) (воγи y < δ1 привторое слагаемое) с учетом того, что ε1 =2nMx < x1 . Получимy (x1 ) <δ1+ nMe−γx12x1eγτγ· δ1 dτ =2nM0δ1 1 −γx1eγx1 − 1·= + eδ1 γ22γЕсли в правой части опустить −1, то правая часть толькоувеличится и мы получим строгое неравенствоy (x1 ) < δ1 ,а мы предположили, что y (x1 ) = δ1 .Таким образом, получено противоречие и если мы рассматриваем бесконечную по x область y (x) < δ1 с границей ввиде y (x) = δ1 , то решение y (x) не может достичь этой границы и существует для любого x: 0 x < ∞.

Следовательно,продолжаемость решения доказана.2. Докажем устойчивость решения по Ляпунову. Умножимобе части неравенства (15.21) на eγx . Получим:xeγx y (x) nMy (0) + nMeγτ ϕ (y (τ )) dτ.0Эта оценка усилится, если под знаком интеграла мы заменимγ. В резульϕ (y) на бо́льшую величину ε1 y, где ε1 =2Mnтате получим неравенствоxeγx y (x) nMy (0) + nMeγτ0γy (τ ) dτ.2Mn21816Устойчивость по ЛяпуновуВведем обозначение: V (x) = eγx y (x) , тогда предыдущеенеравенство запишется в видеxV (x) nMy (0) +γV (τ ) dτ.20По лемме об интегральном неравенстве (14.5) (лемма Гронуолла) получимγV (x) nMy (0) e 2 xи, подставляя в это неравенство V (x) = eγx y (x) , получаемγy (x) eγx nMy (0) e 2 x ,откудаγy (x) nMy (0) e− 2 x .(15.24)Из неравенства (15.24) следует устойчивость решения по Ляпунову.Действительно, возьмем произвольное ε > 0 и выберем вкачестве δ = δ (ε) следующее значениеδ1ε,δ (ε) = minnM 2nM,тогда любое решение с начальными условиями, удовлетворяющими неравенству y (0) δ (ε), в соответствии с (15.24)будет удовлетворять ограничению y (x) ε.

Следовательно,нулевое решение y(x) ≡ 0 устойчиво по Ляпунову, и, кроме того, y (x) → 0 при x → +∞ (это следует из (15.24)), то естьрешение асимптотически устойчиво.Особые точки на плоскости21916. Особые точки на плоскостиСистема называется автономной (динамической), если ееправая часть не зависит от аргумента. Рассмотрим автономную систему dx = P (x; y),dt(16.1)dy= Q(x; y).dtБудем предполагать,что P (x, y) и Q(x, y) имеют непрерывные производные по x и y достаточно высоких порядков. Таким образом, условия теоремы существования и единственности для системы (16.1) выполнены. Тогда для любой точки(x0 , y0 ) существует решение (x(t), y(t)), такое, что x(t0 ) = x0 ,y(t0 ) = y0 . Переменную t можно рассматривать как параметр.