Пушкарь Е.А. - Дифференциальные уравнения, страница 25

Дифференцируемость решения попараметруТеорема 14.2. Если дано дифференциальное уравнение:dy= f (x, y, λ) ,dxв котором правая часть f (x, y, λ) определена в области RR : {|λ − λ0 | Λ, |x − x0 | a; |y − y0 | b}∂fi∂fi∂ p fiи функции fi и их производныепо yj и,..., p∂yj∂λ∂λпо λ до p-го порядка (p 1) непрерывны по совокупностиx, y1 , . . . , yn , λ и ограничены, то решение y (x, λ), такое, чтоy (x0 ) = y0 и |y (x, λ)−y0 | b при |x−x0 | h a, |λ−λ0 | < Λ,будет непрерывно дифференцируемо по λ до p-го порядка включительно, то есть∂ p yi∂yi, .

. . , p ∈ C (R) , i = 1, . . . , n.∂λ∂λДоказательство этой теоремы опирается на лемму Адамара.Мы его опускаем.Следствие. Решение дифференциального уравнения непрерывно дифференцируемо по начальным данным.15. Теория устойчивости(Устойчивость по Ляпунову)Рассмотрим общую систему уравнений нормального видаdyi= fi (x, y1 , . .

. , yn ) , i = 1, 2, . . . , n.(15.1)dx20215Устойчивость по ЛяпуновуОпределение. Решение y (x) системы (15.1), удовлетворяющее начальным условиям y (x0 ) = y◦ , т.е. yi (x0 ) = yi◦ , называется устойчивым по Ляпунову при x → +∞, если для любогоε > 0 существует δ = δ (ε) > 0, такое, что при любом x x0 длялюбого решения ỹ (x), удовлетворяющего условию ỹ (x0 ) = ỹ◦ ,выполняются неравенства|yi (x) − ỹi (x) | < ε, если |yi◦ (x0 ) − ỹi◦ | < δ, i = 1, .

. . , n.Геометрически это означает, что любое решение, проходящеечерез δ-окрестность точки (x0 , y0 ), будет находиться внутриε-трубки (рис. 15.1).dey(x)eРис. 15.1. Геометрическая интерпретация устойчивости по ЛяпуновуОтличие от непрерывной зависимости от начальных параметров состоит в том, что промежуток на котором определяется устойчивость по Ляпунову — полубесконечный.15.1. Асимптотическая устойчивостьРешение y (x) системы (15.1) называется асимптотическиустойчивым если:(1) оно устойчиво по Ляпунову;(2) разность между исходным решением и решением с возмущенными начальными данными стремится к нулюпри x → +∞: lim (yi (x) − ỹi (x)) = 0.x→+∞В случае асимптотически устойчивого решения, при отклонения начальных данных ỹ (x0 ) = ỹ◦ на достаточно малую величину δ: |yi◦ − ỹi◦ | δ, амплитуда отклонения неограниченоубывает при x → +∞ (рис.

15.2).15.2 Сведение к рассмотрению нулевого решения203dey(x)eРис. 15.2. Асимптотическая устойчивость15.2. Сведение к рассмотрению нулевогорешенияПусть y (x) есть решение системы уравненийdy= f (x, y) ,dxудовлетворяющее начальным условиям: y (x0 ) = y◦ .Преобразуем искомые функции yi , вводя их отклонения ziот рассматриваемого решения y (x):yi = yi (x) + zi ⇔ zi = yi − yi (x) .(15.2)Так введенные функции zi называют возмущениями рассматриваемого решения y (x).Тогда для возмущений zi получим следующую систему уравненийdzi= fi (x, z1 + y1 (x) , .

. . , zn + yn (x)) − yi (x) ≡dx≡ ϕi (x, z1 , . . . , zn ) .(15.3)Легко видеть, что система (15.3) имеет нулевое решение:zi (x) = 0, i = 1, . . . , n, то есть при преобразовании вида (15.2)решение y (x) с начальными условиями y (x0 ) = y◦ переходитв решение z(x) ≡ 0 и всегда изучение любого решения можно свести к изучению нулевого решения, правда, возможно, сизмененной правой частью.20415Устойчивость по Ляпунову15.3. Устойчивость линейных однородныхсистемРассмотрим линейную однородную системуdyi =aij (x) yi ,dxj=1ni = 1, 2, .

. . , n,(15.4)где aij (x) — функции непрерывные на некотором полубесконечном интервале x x0 .Рассмотрим решение системы (15.4)y (x) = {y1 (x) , . . . , yn (x)},где yi (x) — известные функции от x. Сделаем замену переменных (15.2)zi = yi − yi (x) ⇔ yi = zi + yi (x) .В результате замены получим систему уравненийdzi+ yi (x) =aij (x) (zi + yi (x)) ,dxj=1nоднако так какyi (x) ≡naij yj (x) ,j=1то для введенных выше новых функций zi получаем системуdzi =aij (x) zi .dxj=1nСледовательно, в случае линейной однородной системы (15.4) для возмущений zi получаются такие же уравнения,как и для исходных функций yi и вопрос об изучения устойчивости произвольного решения сводится к исследованию устойчивости нулевого решения z1 ≡ 0, z2 ≡ 0, .

. . , zn ≡ 0. Такимобразом, если у линейной однородной системы нулевое решение15.3 Устойчивость линейных однородных систем205устойчиво, то и все решения устойчивы, а если оно неустойчиво, то и все решения неустойчивы.Теорема 15.1. Линейная однородная система устойчиватогда и только тогда, когда все ее решения ограничены, тоесть для всех компонент решения yi (x) существуют постоянные Ci , такие что для всякого x x0 выполняются неравенства |yi (x) | < Ci , i = 1, . . . , n (для каждой компонентырешения может быть свое ограничение).Достаточность.Пусть |yi (x) | < Ci при x x0 .

Рассмотрим фундаментальную систему y1 (x) , . . . , yn (x), удовлетворяющую начальнымусловиям 0· yi (x0 ) = 1 − i-тая строка.·0Так как любое решение ограничено, выберем M = max Ci ,iтогда |yi (x) | < M. Если y (x) — произвольное решение, такое,что ◦y1y2◦ y (x0 ) =  · ,yn◦то оно выражается через фундаментальную систему y1 (x) , . . . ,. .

. , yn (x):y (x) = y1◦ · y1 (x) + . . . + yn◦ · yn (x) .При x x0 имеемy (x) < max |yj◦ |Mn,j=1,...,n(15.5)20615Устойчивость по Ляпуновупри этом начальные условия для y (x) удовлетворяют оценкеy (x0 ) < max |yj◦ |n.j=1,...,n(15.6)Тогда устойчивость следует из определения. Действительно, пусть задано некоторое ε > 0. Для выполнения условияустойчивости y (x) < ε в качестве δ выберем δ = Mε , тогда сучетом того, что оценка (15.6) выполнена, имеемεy (x0 ) < max |yj◦ |n < δ = ,j=1,...,nMт.е.

max |yj◦ |Mn < ε, откуда из неравенства (15.5) следует, чтоj=1,...,ny(x) < ε при y (x0 ) < δ, следовательно нулевое решениеустойчиво и система устойчива.Необходимость.Доказательство проведем от противного. Пусть существует4(x), в котором некоторые компоненнеограниченное решение yты y4i (x) неограничены, тогда существует последовательностьyi (xm ) | → ∞.xm → ∞, такая, что |4Нулевое решение y ≡ 0 устойчиво (это следует из необходимости).

Выберем ε = 1, тогда существует такое δ, что любоерешение, удовлетворяющее начальным условиямy (x0 ) < δ,(15.7)будет также удовлетворять условию y (x) < 1 (т.к. выбраноε = 1) при x x0 , если выполнено условие (15.7).4 (x), сущеРассмотрим теперь неограниченное решение yствование которого мы предположили в начале доказательства.Конечно, его значения при x = x0 могут не удовлетворять усло4 (x) мывию (15.7). Однако, из этого неограниченного решения y4 (x) ≡ 0) мовсегда (так как 4y (x0 ) = 0, в противном случае yжем построить решение видаy1 (x) ≡4 (x)δy·,2 4y (x0 ) 15.4 Лемма Ляпунова207для которого условие y1 (x0 ) < δ выполнено. Действительно,согласно определению y1 (x0 ) = 2δ < δ, но поскольку это ре4(x) умношение было получено из неограниченного решения yжением на некоторую постоянную, то для него, как и для ре4 (x), должно выполняться условие |yi1 (xm ) | → ∞, чтошения yпротиворечит полученному выше ограничению y1 (x) < 1при x x0 , которое верно для всех решений, удовлетворяющих условию y (x0 ) < δ.Пример.Рассмотрим систему y1 = y2 ,y2 = 0,которая имеет решениеy 1 = C1 x + C2 ,y 2 = C1 .Так как при C1 = 0 решение неограничено, все решениянеустойчивы.15.4.

Лемма ЛяпуноваЛемма 15.1. Пусть для некоторого ε0 > 0 правые частисистемыdyi= fi (x, y1 , . . . , yn ) , i = 1, 2, . . . , n,(15.8)dxопределены, непрерывны, удовлетворяют условию Липшицаприx0 x < ∞, −ε0 yi ε0 , i = 1, . . . , n,иfi (x, 0, 0, . . . , 0) ≡ 0.Пусть для тех же значений yi существует непрерывнодифференцируемая “функция Ляпунова” V (y1 , y2 , . .

. , yn ) 0,20815Устойчивость по Ляпуновуравная нулю лишь в начале координат: V (0, 0, . . . , 0) = 0, такая, чтоn∂Vj=1∂yj· fj < 0.(15.9)Тогда нулевое решение yi (x) ≡ 0, i = 1, 2, . . . , n, системы (15.8) устойчиво по Ляпунову.Если, кроме того, при тех же значениях yin∂Vj=1∂yj· fj −W (y1 , . . . , yn) 0,(15.10)где W (y1 , .

. . , yn ) 0 — некоторая непрерывная функция, равная нулю лишь в начале координат, то нулевое решение асимптотически устойчиво.Доказательство леммы.Пусть 0 < ε ε0 . Обозначим через Kε поверхность nмерного куба −ε yi ε, i = 1, 2, . . . , n, и пусть Vε = min V .KεОчевидно, что Vε > 0.Выберем η > 0, причем η < ε, настолько малым, чтобы наKη и всюду внутри Kη было выполнено условие V < Vε . Такоеη существует, так как V (y1 , y2 , . . .

, yn) является непрерывнойфункцией и V (0, . . . , 0) = 0.Отсюда следует, что все интегральные линии, начинающиесяпри x = x0 внутри Kη , никогда при увеличении x не могутдостичь Kε , откуда следует устойчивость.Действительно, вдоль интегральной линии функция Ляпунова V является сложной функцией x, и из (15.8) получаем ∂V dyj ∂VdV·· fj ,==dx∂ydx∂yjjj=1j=1nn15.4 Лемма Ляпунова209тогда условие (15.9) означает, что вдоль интегральной линиифункция V (x) не возрастает.

Если же интегральная линия, начавшаяся при x = x0 внутри Kη при увеличении x достигнет первый раз Kε при некотором x = x1 , тогда вдоль этойлинии значение функции V (x), которая удовлетворяла условию V |x=x0 < Vε внутри Kη , стало превосходить или равнятьсяVε : V |x=x1 Vε , так как Vε = min V . Это противоречит невозKεрастанию функции V (x) вдоль интегральной линии.Докажем теперь асимптотическую устойчивость.Пусть выполнено условие (15.10). Выберем η по ε так же,как это сделано выше.