Пушкарь Е.А. - Дифференциальные уравнения, страница 22

. . 0 0 J2 . . . 0 ,J =...0 0 . . . Jpλµ 1 0 0 λµ 1где Jj = 0 0 0... 0... 0 ..... . . λµЗаметим, что корень λµ может встречаться в разных жордановых клетках.Распишем систему (12.12) по жордановым клеткам J1 , . . . , Jp .12.2 Интегрирование однородной системы в жордановой форме173Имеем m1 уравнений для первой жордановой клетки J1dz1= λ1 z1 + z2 ,dxdz2 dx = λ1 z2 + z3 ,...dzm1 −1= λ1 zm1 −1 + zm1 ,dxdz m1 = λ1 zm1 .dxАналогично, имеем m2 уравнений для второй жордановойклетки J2 и т.д. вплоть до mp уравнений для p-той жордановойклетки Jp , так чтоm1 + · · · + mp = n.Пусть для j-той жордановой клетки порядка mj (mj — числострок в этой клетке) строки имеют номера r, . .

. , r + mj − 1 исоответствующие уравнения имеют видdzr= λµzr + zr+1 ,dxdzr+1 dx = λµ zr+1 + zr+2 ,...dzr+mj −2= λµ zr+mj −2 + zr+mj −1 ,dxdz r+mj −1 = λµ zr+mj −1 .dxЕсли порядок клетки mj = 1, то имеем одно уравнениеdzr= λµ zr ,dxобщее решение которого zr (x) = Ceλµ x .Построим фундаментальную систему решений для системыуравнений (12.12).17412Линейные системы с постоянными коэффициентамиНайдем такие вектор-функции z(i) (x), i = 1, . . . , n, чтобывыполнялись начальные условия z(i) (0) = (0, . . .

, 1, . . . , 0)T , гдеединица стоит в i-той строке. Эти начальные условия соответствуют единичной матрице.Такие вектор-функции составляют фундаментальную систему, поскольку W (x) = 0 в точке x = 0, и из формулыЛиувилля-Остроградского следует, что W (x) = 0 всюду.Найдем вектор-функции z(i) (x), i = 1, . . . , n в явном виде.Обозначим(i)z (x) 1(i)z (x) =  . . .

 ,(i)zn (x)так что каждая вектор-функции z(i) (x) удовлетворяет системеdz(i)= Jz(i) .dxВозьмем i-тую строку. Она пересекается с какой-то клеткойJj порядка mj , строки Jj имеют номера r, r + 1, . . . , r + mj − 1.Пусть i = s + r, 0 s mj − 1. Положимiz1i = z2i = · · · = zr−1= 0,iizr+m=z= · · · = 0,r+mjj +1то есть первые r − 1 компоненты и последние, начиная с r + mj ,компоненты положим тождественно равными нулю. Тогда соответствующие уравнения выполнены тождественно.

Ненулевыми будут только те компоненты zi , которые соответствуютклетке Jj , куда попала i-тая строка.Найдем эти компоненты вектора zi (x), опустив временноверхний индекс i.Начальные условия имеют вид: zr+s (0) = 1, остальныеzj (0) = 0 (для всех j = r + s).12.2 Интегрирование однородной системы в жордановой форме175Итак, пусть подсистема уравнений системы (12.12), котораясоответствуют жордановой клетке Jj , имеет видdzr= λµ zr + zr+1 ,dx...dzr+s(12.13)= λµ zr+s + zr+s+1 ,dx... dzr+mj −1 = λµ zr+m −1 .jdxПоложим в системе (12.13), начиная с нижней строки,zr+mj −1 ≡ 0,zz+mj −2 (x) ≡ 0,...,zr+s+1 (x) ≡ 0.Тогда для компоненты с номером i = r + s будем иметьуравнение:dzr+s= λµ zr+s ,dxиз которого найдем zr+s (x) = eλµ x .Здесь в общем решение положено C = 1, так как zr+s (0) = 1.Тогда для zr+s−1 имеем уравнениеzr+s−1= λµ zr+s−1 + zr+s (x) ≡ λµ zr+s−1 + eλµ x ,dxто есть получили линейное неоднородное уравнение первого порядка.

Его общее решение легко находитсяzr+s−1 (x) = Ceλµ x + xeλµ x .Начальные условия для этой компоненты zr+s−1 (0) = 0 даютC = 0 и мы получаем zr+s−1 (x) = xeλµ x · A. (Решение однородного уравнения можно умножить на коэффициент A, которыйнаходится по методу неопределенных коэффициентов (в частности, в нашем случае A = 1)).Для следующей компоненты имеем уравнениеdzr+s−2= λµ zr+s−2 + xeλµ x A,dx17612Линейные системы с постоянными коэффициентамииз которого находимzr+s−2 (x) = Ceλµ x + (A1 x + A2 )xeλµ x ,zr+s−2 (0) = 0 ⇒ C = 0.(A1 = 12 , A2 = 0)Таким образом zr+s−2 (x) = P2 (x)eλµ x , где P2 (x) — известныймногочлен второй степени. Аналогично zr+s−3 (x) = P3 (x)eλµ x ,. . .

, zr (x) = Ps (x)eλµ x , где Ps (x) — многочлен s-той степени.Таким образом могут быть найдены все компоненты векторфункции z(i) (x): iP1 (x) P2i (x)  λ x(i)e µ ,z (x) =  ... Pniгде Pki (x) — многочлены, степень которых не превосходитmax(mj − 1).jЕсли вернуться к переменным y, получим y = Kz, или(i)q1 (x)y(i) (x) = eλµ x  .

. .  ,(i)qn (x)(i)где qk (x) многочлены, которые есть линейные комбинацииPki (x), так что deg(qni (x)) max(mj − 1).jЗамечание. Так как λµ — комплексные числа, то и многочлены qki (x) могут быть комплекснозначными.12.2.1. Случай комплексных корнейОпишем метод получения фундаментальной системы, состоящей из вещественных решений (так называемое овеществление решения).12.2 Интегрирование однородной системы в жордановой форме177Рассмотрим комплексное решение вида: 1q1 (x)y1 (x) =  . .

.  eλµ x = u1 (x) + iv1 (x),qn1 (x)где u1 (x) и v1 (x) — действительная и мнимая части решения.Легко показать, что в случае действительных коэффициентов в рассматриваемой однородной системе они сами по себеявляются решениями.Возможны два случая:(1) Решения u1 (x) и v1 (x) линейно зависимы. В этом случаеu1 (x) = hv1 (x): тогда y1 (x) = (h + i)v1 (x).

В фундаментальной системе заменим y1 (x) на v1 (x) — действительную функцию. Линейная независимость фундаментальной системы при этом сохраняется, так как y1 (x) и v1 (x)отличаются только постоянным множителем.(2) Функции u1 (x) и v1 (x) линейно независимы.Тогда вместо системы с y1 (x) рассмотрим систему, начинающуюся с u1 (x), v1 (x), которую дополнимдо фундаментальной системы некоторыми функциямиwk (x), k = 3, . . . , n:{u1 (x), v1 (x), w3 (x), .

. . , wn (x)} .Если w3 (x) = w31 (x)+iw32 (x), поступим аналогично.Например, если λj = αj + iβj , тоeλj x = e(αj +iβj )x = eαj x (cos βj x + i sin βj x).Таким образом, общее решение однородной линейной системы уравнений имеет вид: j jnr1 (x)q1 (x)αxj . . .  e cos βj x +  . . .  eαj x sin βj x ,y(x) =j=1qnj (x)rnj (x)17812Линейные системы с постоянными коэффициентамигде степени многочленов qkj (x) и rkj (x) не превосходят кратностисоответствующих корней λµ минус единица.Замечание. Если ввести понятие экспоненты от матрицыAnA2 A3A++... ++ ...,e =E+A+2!3!n!dyто решение системы уравнений= Ay может быть записаноdxв виде:C1y(x) =  .

. .  eAx .CnПри начальном условии y(x0 ) = y0 решение имеет видy(x) = eA(x−x0 ) y0 .12.3. Метод исключенияОсновная идея метода исключения состоит в том, что систему из n линейных уравнений первого порядка всегда можносвести к одному уравнению n-го порядка.Рассмотрим линейную неоднородную систему с постоянными коэффициентами:dyi =aij yi + fi (x),dxj=1ni = 1, . . . , n,(12.14)где (aij ) = const.Пусть Mik — алгебраические дополнения к элементам aik ,тогдаa1i M1i + a2i M2i + .

. . + ani Mni = D,D = det(aij ),илиa1k M1i + a2k M2i + . . . + ank Mni = 0,если k = i,12.3 Метод исключения179так как сумма произведений элементов столбцов на их алгебраические дополнения равна определителю системы или нулю, если взять алгебраические дополнения к элементам другого столбца.Ранее использовались обозначения:y = py,y (k) = pk y.Эти обозначения позволяют установить взаимно-однозначноесоответствие между многочленамиa0 + a1 λ + · · · + an λn ≡ g(λ)и дифференциальными выражениямиa0 y + a1 y + · · · + an y (n) = L[y].Система (12.14) может быть переписана в виде:pyi =naij yj + fi (x),i = 1, .

. . , n,j=1или после простого преобразования в виде следующей системыуравнений(a11 − p)y1 + a12 y2 + · · · + a1n yn + f1 (x) = 0,a21 y1 + (a22 − p)y2 + · · · + a2n yn + f2 (x) = 0,(12.15).................................an1 y1 + an2 y2 + · · · + (ann − p)yn + fn(x) = 0.Так как для системы (12.15) выполнена теорема существования и единственности, то существует решениеy(x) = (y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x))T .Умножим каждое из уравнений в системе (12.15) на алгебраическое дополнение к соответствующим элементам первогостолбца: первое уравнение на M11 (p), второе на M21 (p) и т.д.18012Линейные системы с постоянными коэффициентамиОтметим, что такое формальное умножение Mik (p) соответствует сложным дифференциальных преобразованиям, так какумножение на p на самом деле означает взятие производной.Сложим полученные уравнения по столбцам.

Получим:[(a11 − p)M11 (p) + a21 M21 (p) + · · · + an1 Mn1 (p)] y1 ++ [a12 M11 (p) + (a22 − p)M21 (p) + · · · + an2 Mn1 (p)] y2 + . . .. . . + [a1n M11 (p) + · · · + (ann − p)Mn1 (p)] yn = F1 (x),(12.16)где F1 (x) — некоторая известная функция. В случае однородной системы F1 (x) = 0.Коэффициент при y1 есть определитель системы (12.15), всеостальные коэффициенты нули, поэтому уравнение (12.16) имеет вид:[(a11 − p)M11 (p) + · · · + an1 Mn1 (p)] y1 = F1 (x),(12.17)где коэффициент при y1 есть+++ a11 − pa12...a1n ++++ a21a22 − p . . .a2n +++D(p) = +(12.18)+............+++ an1an2.

. . ann − p +– многочлен степени n относительно p, следовательно y1 удовлетворяет дифференциальному уравнению n-го порядка (линейному) с постоянными коэффициентами.Рассмотрим две ситуации.1) Однородная система: fi (x) ≡ 0, поэтому F1 (x) = 0.Уравнение (12.17) для y1 принимает видD(p)y1 = 0.Тогда фундаментальная система решений имеет видeλ1 x , xeλ1 x , . . . , xs1 −1 eλ1 x , eλ2 x , xeλ2 x , .

. . , xs2 −1 eλ2 x , . . . ,где числа λ1 , . . . , λm — корни характеристического уравнения|A − λE| = 0, т.е. собственные значения матрицы A, имеющие12.3 Метод исключения181кратности s1 , . . . , sm , так что s1 + . . . + sm = n. Решение имеетвид:my1 =Ck xrk eλk x ,0 rk sk − 1.k=1Для любых комплексных λk решение можно овеществить поформулам Эйлера.Для нахождения y2 (x) и последующих компонент поступаеманалогично. Вообще для yk имеем:D(p)yk = 0,k = 2, .

. . , n,где дифференциальный оператор D(p) один и тот же при любом k и совпадает с дифференциальным оператором в уравнении (12.17), то есть равен определителю (12.18).Замечание. Предлагаемый метод как будто дает n2 произвольных постоянных.Рассуждения проводятся так: если {y1 (x), . . . , yn(x)} — решения системы, то они должны удовлетворять уравнениюD(p)yi = 0.Однако обратное, вообще говоря, не следует из этого, то естьесли мы решим уравнение D(p)yi = 0, то из этого вовсе не следует, что мы найдем решение системы. Поэтому, после нахождения решений уравнений D(p)yi = 0 необходимо проверить,удовлетворяют ли они системе и выбрать те из них, которыедействительно ей удовлетворяют.2) Неоднородная системаdy= Ay + f (x).dxРассмотрим случай, когда f (x) представляет собой квазимногочлен:Q1 (x)f (x) =  .