Пушкарь Е.А. - Дифференциальные уравнения, страница 23

. .  eλ0 x .Qn (x)18212Линейные системы с постоянными коэффициентамиВ результате применения метода исключения получим:D(p)y1 (x) = R1 (x)eλ0 x ,тогдаy1 (x) = y1общ.одн. (x) + y1част.неодн. (x).В этом равенстве y1част.неодн. (x) = P1 (x)xr0 eλ0 x иdegR1 (x) = degP1 (x), а r0 — кратность корня λ0 в характеристическом уравнении |A − λE| = 0.Таким образом, у рассматриваемой системы частное решение есть S1 (x)eλ0 x , . . .

, Sn (x)eλ0 x , где Sk (x) есть многочлен, степень которого не превосходит максимальной степени Qi (x)+r0 .Пример. Рассмотрим систему двух уравнений с двумянеизвестными dy1 = a11 y1 + a12 y2 ,dxdy 2 = a21 y1 + a22 y2 .dxПерепишем эту систему в виде:(a11 y1 − py1 ) + a12 y2 = 0,a21 y1 + (a22 y2 − py2 ) = 0.Умножив первое на a22 − p, а второе на −a12 и сложив их,последовательно получим:(a22 − p)(a11 y1 − py1 ) − a12 a21 y1 = 0,a11 a22 y1 − a22 py1 − a11 py1 + p2 y1 − a12 a21 y1 = 0,y1 − (a11 + a22 )y1 + (a11 a22 − a12 a21 )y1 = 0.Получено линейное уравнение с постоянными коэффициентами, которое легко решается.Вывод: Теорема Жордана дает точную степень множителяперед экспонентой, которая равна числу единиц в жордановойклетке системы, приведенной к жордановой нормальной форме, в то время как метод исключения дает только грубую оценку этой степени сверху.12.3 Метод исключения183Подведем некоторые итоги по методу исключения.Решения нормальной системы уравнений с постоянными коэффициентами имеют вид:yj (x) = Pij (x)eλi x ,(j = 1, .

. . , n),(12.19)где Pij — многочлен степени не большей, чем mi − 1, mi —кратность корня λi уравнения (12.6).Практический прием нахождения общего решения: нужносоставить для каждого корня выражение вида (12.19) с неопределенными коэффициентами, и подставляя эти выражения всистемуdy= Ay,dxмы получим для неопределенных коэффициентов систему линейных уравнений. Число неизвестных, остающихся произвольными при решении этой системы, равно кратности корня.Рассмотрим два очень важных примера, иллюстрирующихразличные аспекты применения метода исключения.Пример.Решим систему уравненийdy1= y2 + y3 , dxdy2(12.20)= y1 + y3 ,dx dy3 = y1 + y2 .dxИщем решение в виде y1 = k1 eλx ,y2 = k2 eλx ,y3 = k3 eλx .18412Линейные системы с постоянными коэффициентамиДля определения k1 , k2 , k3 имеем 3 уравненияλk1 − k2 − k3 = 0,−k1 + λk2 − k3 = 0,−k1 − k2 + λk3 = 0.Характеристическое уравнение имеет вид:+++ −λ 11 ++++ 1 −λ 1 + = −(λ3 − 3λ − 2) = −(λ − 2)(λ + 1)2 .+++ 11 −λ +Таким образом, получили собственные значения λ1 = 2,λ2 = λ3 = −1.Простому корню λ1 = 2 соответствует система двух независимых уравнения для k1 , k2 , k3 :2k1 − k2 − k3 = 0,Откуда++ −1 −1k1 : k2 : k3 = ++ 2 −1−k1 + 2k2 − k3 = 0.+ ++ + −1 2+:++ + −1 −1+ +++ + 2 −1 ++:+++ + −1 2 + = 1 : 1 : 1.Иначе, выразим k3 = −k1 + 2k2 из второго уравнения и подставим в первое уравнение.

Получим2k1 − k2 + k1 − 2k2 = 0,3k1 − 3k2 = 0,k1 = k2 = k3 .Окончательно получаем решение для собственного значенияλ1 = 2 y1 = C1 e2x ,y2 = C1 e2x ,y3 = C1 e2x .Если же в матрицу−λ 11M(λ) =  1 −λ 1 11 −λ12.3 Метод исключения185подставить λ = −1 (кратный корень λ2 = λ3 = −1), то рангM(λ) окажется равным 1 и три уравнения для определенияk1 , k2 , k3 сведутся к одному уравнениюk1 + k2 + k3 = 0.Положив k1 = C2 , k2 = C3 , найдем k3 = −(C2 + C3 ) и получим систему решений с двумя произвольными постоянными: y1 = C2 e−x ,y2 = C3 e−x ,y3 = −(C2 + C3 )e−x .Общее решение исходной системы имеет вид y1 = C1 e2x + C2 e−x ,y2 = C1 e2x + C3 e−x ,y3 = C1 e2x − (C2 + C3 )e−x .Найденная система решений —ее определитель+ ++ 2x 2x2x ++ e+1ee++ −x+−x ++e0 −e + = +++1−x−x+ 0 e−e + + 0Пример.Решить систему++++++фундаментальная, так как+1 1 ++0 −1 ++ = 3 = 0.1 −1 +dy1= −y1 + y2 ,dxdy2= −y2 + 4y3 ,dx dy3 = y1 − 4y3.dxСоставим характеристическое уравнение:++−1 − λ10++ = 0 ⇔ λ3 +6λ2 +9λ = λ(λ+3)2 = 0.0−1 − λ4+10−4 − λ +18612Линейные системы с постоянными коэффициентамиРассмотрим следующие собственные значения:(1) Простой корень λ = 0.

Ищем решение в виде y1 = a,y2 = b, y3 = c. Подставляя в систему, получим решение0=−a+b, y1 = 4C1 ,0 = −b + 4c, ⇒y2 = 4C1 ,0 = a − 4c,y 3 = C1 .(2) Корень λ = −3 — двукратный, двучлен λ+3 не являетсяделителем всех миноров второго порядка (ранг матрицыпосле подстановки λ = −3 равен 2), поэтому решениеищем в виде y1 = e−3x (a1 + a2 x),y2 = e−3x (b1 + b2 x),y3 = e−3x (c1 + c2 x).После подстановки в исходную систему и сокращения на e−3xполучим: −3a1 − 3a2 x + a2 + a1 + a2 x − b1 − b2 x = 0,−3b1 − 3b2 x + b2 + b1 + b2 x − 4c1 − 4c2 x = 0,−3c1 − 3c2 x + c2 + 4c1 + 4c2 x − a1 − a2 x = 0.Приравниваем свободные члены и коэффициенты при x, получаем две системы из трех уравнений: −2a1 + a2 − b1 = 0, −2a2 − b2 = 0,−2b1 + b2 − 4c1 = 0,−2b2 − 4c2 = 0,иc1 + c2 − a1 = 0,c2 − a2 = 0.Задавая a2 = C2 (C2 — произвольная постоянная), получаем:b2 = −2C2 , c2 = C2 .Из первых трех уравнений: задаем a1 = C3 (произвольнаяпостоянная), получаем: b1 = C2 − 2C3 , c1 = C3 − C2 , и общее12.4 Применение к однородному дифференциальному уравнению187решение имеет вид: y1 = 4C1 + C2 xe−3x + C3 e−3x ,y2 = 4C1 + C2 (−2x + 1)e−3x − 2C3 e−3x ,y3 = C1 + C2 (x − 1)e−3x + C3 e−3x .Получим решение предыдущего примера по этому способу.После нахождения y1 = C1 e2x ; y2 = C1 e2x ; y3 = C1 e2x будемискать решения, соответствующие корню λ = −1 в виде: −x y1 = (−a1 − a2 x + a2 )e−x , y1 = e (a1 + a2 x),y2 = e−x (b1 + b2 x),y2 = (−b1 − b2 x + b2 )e−x , y3 = e−x (c1 + c2 x),y3 = (−c1 − c2 x + c2 )e−x .После подстановки в уравнения и сокращения на e−x получаем a1 + a2 x − a1 + b1 + b2 x + c1 + c2 x = 0,b1 + b2 x − b2 + a1 + a2 x + c1 + c2 x = 0,c1 + c2 x − c2 + a1 + a2 x + b1 + b2 x = 0,откуда выписываем две системы для неопределенных коэффициентов a1 − a2 + b1 + c1 = 0, a1 + b1 + c1 = a2 ,b1 − b2 + a1 + c1 = 0,a1 + b1 + c1 = b2 ,c1 − c2 + a1 + b1 = 0,a1 + b1 + c1 = c2 .Решая эти системы, находим a2 = b2 = c2 = 0 и a1 = C2 ;b2 = C3 ; c1 = −(C2 + C3 ), откуда получаем решение, совпадающее с тем, что было получено ранее.12.4.

Применение к однородному линейномудифференциальному уравнению n-гопорядкаОдно однородное линейное дифференциальное уравнениеn-го порядка с постоянными коэффициентамиdn−1 ydydn y+ an y = 0+a+···+a1n−1dxndxn−1dx(12.21)18813Линейные системы с постоянными коэффициентамиэквивалентно системе: dy = y1 , dy1 = y2 , . . . , dyn−2 = yn−1 ,dxdxdxdy n−1 = −an y − an−1 y1 − · · · − a1 yn−1 .dx(12.22)Матрица характеристического уравнения |A − λE| = 0 дляэтой системы имеет вид:−λ10...

00 0−λ1... 00....(12.23) 000. . . −λ1−an −an−1 −an−2 . . . −a2 −a1 − λОпределитель этой матрицы легко подсчитывается при разложении по последней строке:D(λ) = (a1 + λ)λn−1 + a2 λn−2 + · · · + an−1 λ + an == λn + a1 λn−1 + a2 λn−2 + · · · + an−1 λ + an = 0.После приравнивания нулю получаем характеристическоеуравнение для исходного уравнения n-го порядка. Определитель матрицы, соответствующей элементу первого столбца ипоследней строки равен ±1. Следовательно, если многочленD(λ) имеет корень λs кратности ps , то матрица (12.23) имеет элементарный делитель (λ − λs )ps .

Никаких других элементарных делителей, являющихся некоторой степенью (λ − λs ),у нее не будет. Из изложенной выше теории следует, что любому корню λs будет соответствовать группа решений видаeλs x , xeλs x , . . . , xps −1 eλs x .Таким образом, система дифференциальных уравнений, вкоторой хотя бы одному корню уравнения D(λ) = 0 соответствует более одного элементарного делителя, не может бытьсведена к одному уравнению n-го порядка.13.1 Нормальная однородная система с периодическими коэффициентами18913. Однородные системы спериодическими коэффициентамиСреди линейных уравнений с переменными коэффициентами особенно важную роль играют уравнения с периодическимикоэффициентами. В излагаемом материале основную роль играет теорема Ляпунова.

Ее доказательство опирается на матричное исчисление.Итак, пустьd(Y ) = A(x)Y(13.1)dxнормальная линейная однородная система, записанная в матричной форме. Здесь Y — матрица (n × n), определитель которой detY = 0. Например, Y является фундаментальной матрицей решений однородной линейной системы ẏ = A(t)y, еслиdet Y = 0.Отметим, что если Y = Φ(x) и Y = Φ̂(x) — два решенияматричного уравнения (13.1), то существует постоянная матрица P , (pij ) = const, такая чтоΦ̂(x) = Φ(x) · P.(13.2)Это доказывается переходом к покомпонентной записи иозначает, что две фундаментальные системы линейно выражаются друг через друга.Будем предполагать, что коэффициенты системы (13.1) —периодические функции от x с периодом ω, т.е.A(x + ω) = A(x).Теорема 13.1.(1) Для всякого (матричного) решенияY = Φ(x)(13.3)уравнения (13.1) существует такая постоянная (невырожденная) матрица C, чтоΦ(x + ω) = Φ(x) · C.19013Системы с периодическими коэффициентамиМатрица C называется основной для решения (13.3)или матрицей монодромии.(2) Если Y = Φ̂(x) — некоторое другое решение (13.1), а Ĉего матрица монодромии, тоĈ = P −1 · C · P,(13.4)где det P = 0, pij = const, то есть матрицы монодромии подобны друг другу.Доказательство.

Очевидно, что если Φ(x) — решениеуравнения (13.1), то Φ(x+ω) — так же решение. ДействительноdΦ (x + ω) = A(x + ω) · Φ(x + ω) = A(x) · Φ(x + ω),dxтак как Φx (x) = A(x) · Φ(x) совпадают с точностью до подстановки x̃ = x + ω.Однако по формуле (13.2) существует постоянная матрицаC : cij = const, такая чтоΦ(x + ω) = Φ(x) · C.Для доказательства формулы (13.4) воспользуемся формулой (13.2). Так как Φ̂(x) — решение (13.1), тоΦ̂(x) = Φ(x) · P ⇐⇒ Φ̂(x) · P −1 = Φ(x) ⇒Φ̂(x + ω) = Φ(x + ω) · P = Φ(x) · C · P = Φ̂(x) · P −1 · C · P,что и дает формулу (13.4): Ĉ = P −1 · C · P .Определение.

Уравнение (13.1) и уравнениеdZ = B(x) · Z(13.5)dxс периодической матрицей B(x) с тем же периодом ω :B(x + ω) = B(x) называются эквивалентными, если существует линейное преобразованиеZ = S(x) · Y13.1 Нормальная однородная система с периодическими коэффициентами191с периодической матрицей S(x) с периодом ω, переводящееуравнение (13.1) в уравнение (13.5).Теорема 13.2. Уравнения (13.1) и (13.5) эквивалентнытогда и только тогда, когда существуют решения Y = Φ(x)и Z = Ψ(x) этих уравнений с одной и той же матрицей монодромии.Доказательство.Необходимость. Предположим, что дифференциальныеуравнения (13.1) и (13.5) эквивалентны. Пусть Y = Φ(x) —произвольное решение уравнения (13.1) с основной матрицейC, тогдаZ = Ψ(x) = S(x) · Φ(x)является решением (13.5).Для него получим:Ψ(x + ω) = S(x + ω) · Φ(x + ω) = S(x) · Φ(x + ω) == S(x) · Φ(x) · C = Ψ(x) · C.Следовательно, C — матрица монодромии так же и для Ψ(x).Достаточность.

Пусть существует решения Y = Φ(x) иZ = Ψ(x) уравнений (13.1) и (13.5) с одной и той же матрицеймонодромии C. Тогда, во-первых,Φ(x + ω) = Φ(x) · C ⇐⇒ Φ−1 (x + ω) = C −1 · Φ−1 (x),и во-вторых,Ψ(x + ω) = Ψ(x) · C.Поделим второе соотношение справа на первое. ПолучимΨ(x + ω) · Φ−1 (x + ω) = Ψ(x) · Φ−1 (x).Введем обозначениеΨ(x) · Φ−1 (x) = S(x).19213Системы с периодическими коэффициентамиВыполняя элементарные операции и используя введенноеобозначение, имеемΨ(x + ω) = S(x) · Φ(x + ω),откудаΨ(x) · C = S(x) · Φ(x) · C,и, умножая справа на C −1 , найдемΨ(x) = S(x) · Φ(x),(13.6)где S(x) = Ψ(x) · Φ−1 (x) — искомая периодическая матрицапреобразования с периодом ω.Так как каждое из решений Φ(x) и Ψ(x) однозначно определяет свое уравнение, то из выражения (13.6) следует что уравнение (13.5) получается из уравнения (13.1) путем преобразования с матрицей S(x).Из теорем (13.1) и (13.2) следует, что любому уравнению(13.1), рассматриваемую с точностью до эквивалентности (теорема (13.2)) соответствует матрица монодромии C, определенная с точностью до трансформации (подобия).Более того, совокупность всех инвариантов матрицы монодромии C относительно преобразований вида (13.4) составляетполную систему инвариантов уравнения (13.1), определенногос точностью до эквивалентности.Отметим, что теоремы (13.1) и (13.2) справедливы как длядействительных, так и для комплексных матриц.Теорема 13.3 (теорема Ляпунова).