Пушкарь Е.А. - Дифференциальные уравнения, страница 24

Всякое уравнениеdY = A(x) · Ydxс периодическими коэффициентами эквивалентно уравнениюс постоянными коэффициентамиdZ = B · Z,dx(13.7)13.1 Нормальная однородная система с периодическими коэффициентами193где B — постоянная матрица bij = const, bij ∈ C. Если вуравнении (13.1) матрица A(x) с периодом ω действительна, то это уравнение, рассматриваемое как периодическое спериодом 2ω, эквивалентно уравнениюdZ = B1 · Z,dxгде матрица B1 постоянна и действительна, причем матрица перехода S(x) от уравнения (13.1) к уравнению Ż = B1 · Zтакже действительна.dZ = B · Z — система однородныхЛемма 13.1.

Пустьdxлинейных уравнений с постоянными коэффициентами, записанная в матричной форме (B = const). Оказывается, матрица(13.8)Z = exBявляется решением уравнения (13.7).Доказательство леммы. Для доказательства того, чтофункция, определенная по формуле (13.8) есть решение уравнения (13.7), выпишем представление экспоненты от матрицы:x2 2 x3 3xn ne = E + xB + B + B + · · · + B + . . .2!3!n!Возьмем производную:232d xBx= B E + xB + B 2 + . .

. = B · exB ,edx2!xBчто и требовалось доказать.Доказательство теоремы Ляпунова.Пусть C — матрица монодромии некоторого решения уравнения (13.1) Y = Φ(x). Оказывается, для любой невырожденной матрицы A, detA = 0 существует перестановочная с A матрица B, такая что eB = A. Матрица B называется логарифмом19413Системы с периодическими коэффициентамиматрицы A : B = ln A. На основании этого свойства существует матрица B, удовлетворяющая условиюeωB = C.Здесь B — постоянная матрица, так как матрица C — постоянная.Докажем, что уравнение (13.1) и уравнениеdZ = BZdx(13.9)эквивалентны.Действительно, по лемме матрица Z = exB — решение уравнения (13.9).

Таким образом, если (13.9) рассматривать какуравнение с периодическими коэффициентами с периодом ω,то основная матрица (монодромии) решения Z = exB есть C,так какe(x+ω)B = exB · eωB = exB · C.Так как основные матрицы монодромии рассматриваемыхрешений уравнения (13.1) и (13.9) совпадают, то эти уравненияэквивалентны по теореме (13.2).Таким образом, первая часть теоремы Ляпунова доказана.Пусть теперь A(x) — действительная матрица, Φ(x) — действительное решение уравнения (13.1) и C — матрица монодромии:Φ(x + ω) = Φ(x) · C.(13.10)Так как Φ(x) — действительная матрица, значит C — такжедействительная матрица и из (13.10) следуетΦ(x + 2ω) = Φ(x + ω) · C = Φ(x) · C 2 ,(13.11)то есть матрица монодромии по периоду 2ω равна квадратуматрицы монодромии по периоду ω.

В матричном исчислениидоказывается, что если B — вещественная матрица, то B 2 имеет вещественный логарифм, то есть существует вещественнаяЗависимость решения дифференциального уравнения от параметров195матрица B1 , удовлетворяющая условию:e2ωB1 = C 2 .Докажем, что уравнение (13.1) и уравнениеdZ = B1 Z,dx(13.12)рассматриваемые как уравнения с периодом 2ω, эквивалентны.Действительно, матрица exB1 — решение (13.12).

Тогда, еслиуравнение (13.12) рассматривать как уравнение с периодическими коэффициентами с периодом 2ω, то основная матрицарешения Z = exB1 есть C 2 . Так как основные матрицы (матрицы монодромии) рассматриваемых решений уравнений (13.1)(с периодом 2ω) и (13.12) совпадают (см. (13.11)), эти уравнения эквивалентны. Теорема доказана.14. Зависимость решениядифференциального уравнения отпараметров и начальных данныхРассмотрим произвольную систему дифференциальных уравненийdydyi= fi (x, y1 , .., yn ) , i = 1, .

. . , n, ⇔= f (x, y) .dxdx(14.1)Всегда будем предполагать, что выполнены условия теоремы существования и единственности. Рассмотрим более общуюпостановку задачи, когда правая часть f (x, y) системы дифференциальных уравнений (14.1) зависит еще и от некоторогопараметра λ:dy= f (x, y, λ) ,(14.2)dx19614Зависимость решения от параметровпричем для любого значения λ выполняются условия теоремы существования и единственности. Тогда решение системы (14.2) y = y (x, λ, x0 , y0 ), удовлетворяющее начальнымусловиям y(x0 ) = y0 , есть некоторая функция параметра λ.Наша цель показать, что y(x, λ, x0 , y0 ) есть непрерывная идифференцируемая функция всех аргументов.Заметим, что зависимость от начальных данных сводитсяк зависимости от параметров.

Действительно, если имеютсяначальные условия yi (x0 ) = yi◦ , то после замены переменных(x, y) → (t, u):x = x0 + t,yi = yi◦ + ui ,для u получим систему уравнений:dui= fi (x0 + t, y1◦ + u1 , . . . , yn◦ + un ) , i = 1, . . . , n.(14.3)dtНачальные условия yi (x0 ) = yi◦ равносильны однородным(нулевым) начальным условиям ui (0) = 0, т.е. в системе (14.3)начальные условия фиксированы, однако правая часть зависитот исходных (ненулевых) начальных данных как от параметров.Для систем, зависящих от параметров, справедлива следующая теорема.14.1.

Теорема о зависимости решения отпараметраТеорема 14.1. Пусть правая часть f (x, y, λ) системыдифференциальных уравнений (14.2) непрерывна по всем аргументам в области R : {|x − x0 | a; |yi − yi◦ | b; |λ − λ0 | < Λ}и функция f (x, y, λ) удовлетворяет условию Липшица по y, аy = y (x, λ) — решение системы (14.2) с начальными условиями yi (x0 ) = yi◦ , определено при |x − x0 | h a и выполненоусловие |yi (x)−yi◦ | b, тогда решение y = y (x, λ) непрерывнозависит от λ.14.1 Теорема о зависимости решения от параметра19714.1.1. Интегральное неравенство.Докажем предварительно важную лемму.Лемма 14.1. (Лемма Гронуолла.)Если неотрицательная функция U (x) 0 удовлетворяетнеравенствуx(14.4)U (x) A + U (t) V (t) dt,x0где A 0, V (t) 0, тоxU (x) Aex0V (t)dt(14.5).Доказательство леммы.Рассмотрим вначале случай A > 0.Поделим неравенство (14.4) на правую часть и умножим наV (x) 0U (x) V (x) 1 · V (x) .xA + U (t) V (t) dtx0Полученное неравенство равносильно следующему: xd  ln A + U (t) V (t) dt V (x) .dxx0Проинтегрируем его в пределах от x0 до x.

Получимxxln A + U (t) V (t) dt − ln A V (x) dx.x0x019814Зависимость решения от параметровПеренося ln A направо, потенцируя и используя (14.4) получаемxxV (x)dxx0.U (x) A + U (t) V (t) dt Aex0Таким образом, интегральное неравенство (14.5)xU (x) Aex0V (x)dxдоказано.Случай A = 0 получается предельным переходом в неравенствеxU (x) ε + U (t) V (t) dt,x0которое верно при любом ε > 0, в том числе при ε → 0. Действительно, из доказанного выше неравенства (14.5)xU (x) εex0V (x)dxпри ε → 0 следует, что U (x) 0, значит U (x) ≡ 0.Доказательство теоремы о зависимости решения отпараметра.Придадим λ два значения λ1 и λ2 и рассмотрим два решенияy1 (x, λ1 ) и y2 (x, λ2 ), каждое из которых удовлетворяет своейсистеме уравненийdy2dy1= f (x, y1 , λ1 )= f (x, y2 , λ2 ) .и(14.6)dxdxи одинаковым начальным условиям yi (x0 ) = yi◦ , i = 1, .

. . , n.Правые части этих систем зависят от λ и, вообще говоря, несовпадают тождественно.Оценим разность функций y1 (x, λ1 ) − y2 (x, λ2 ), используядифференциальное соотношение, которое получается вычитанием первой и второй системы уравнений (14.6), которые после14.1 Теорема о зависимости решения от параметра199подстановки y1 (x, λ1 ) и y2 (x, λ2 ) выполнены тождественно:d(y1 (x, λ1 ) − y2 (x, λ2 )) ≡ f (x, y1 , λ1 ) − f (x, y2 , λ2 ) .

(14.7)dxДля этого распишем (14.7) по компонентам 1 2y1y1··y2 = y1 =   ,··yn1yn2и к i-той компоненте правой части уравнения (14.7) прибавими отнимем функцию fi (x, y1 , λ2 ). Получим3d 2 1yi (x, λ1 ) − yi2 (x, λ2 ) ≡ fi (x, y1 , λ1 ) − fi (x, y2 , λ2 ) +dx+fi (x, y1 , λ2 ) − fi (x, y1 , λ2 ) .Проинтегрируем последнее тождество, учитывая тот факт,что функции y1 (x, λ1 ) и y2 (x, λ2 ) удовлетворяют одинаковымначальным условиям, и перегруппируем слагаемые в правойчасти.

Получимxyi1 (x, λ1 ) − yi2 (x, λ2 ) = [fi (x, y1 , λ1 ) − fi (x, y1 , λ2 )] dx+x0x[fi (x, y1 , λ2 ) − fi (x, y2 , λ2 )] dx.+x0Оценим правую часть, используя условия теоремы:|yi1 (x, λ1 ) − yi2 (x, λ2 ) | max |fi (x, y1 , λ1 ) − fi (x, y1 , λ2 ) | · a+xx,y1 ∈RKy1 (x, λ1 ) − y2 (x, λ2 )dx,+x020014Зависимость решения от параметровгде второй интеграл оценен из условия Липшица (K — константа в условии Липшица), а под нормой .

понимается суммамодулей компонент вектор-функции y1 (x, λ1 ) − y2 (x, λ2 ).Суммируя по всем компонентам (по индексу i), получимy1 (x, λ1 ) − y2 (x, λ2 ) na max |fi (x, y1 , λ1 ) − fi (x, y1 , λ2 ) |+xx,y1 ∈Ry1 (x, λ1 ) − y2 (x, λ2 )dx.+nKx0Обозначив max |fi (x, y1 , λ1 ) − fi (x, y1 , λ2 ) | = δ (λ1 , λ2 ), поx,y1 ∈Rлучимy1 (x, λ1 ) − y2 (x, λ2 ) na · δ (λ1 , λ2 ) +x+ nKy1 (x, λ1 ) − y2 (x, λ2 )dx.x0По лемме Гронуолла (из интегрального неравенства) получаем окончательную оценкуy1 (x, λ1 ) − y2 (x, λ2 ) n · a · δ (λ1 , λ2 ) enKa .Из непрерывности функций fi (x, y, λ) по λ следует, чтоδ (λ1 , λ2 ) → 0, если λ1 → λ2 , откудаy1 (x, λ1 ) − y2 (x, λ2 ) → 0 при λ1 → λ2 ,следовательно|yi1 (x, λ1 ) − yi2 (x, λ2 ) | → 0 при λ1 → λ2 ,и, следовательно, решение y(x, λ) системы (14.2) непрерывнозависит от параметра λ.Аналогичная теорема имеет место и при зависимости правойчасти системы (14.2) от группы параметров.15Устойчивость по Ляпунову201Если правая часть системы дифференциальных уравнений (14.2) непрерывно дифференцируема по параметру, тосправедлива следующая теорема.14.2.