Пушкарь Е.А. - Дифференциальные уравнения, страница 30

Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка: общее решение, метод изоклин. Простейшие обыкновенные дифференциальные уравнения и методы их интегрирования (уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные).2. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующиймножитель.3.

Уравнения, не разрешенные относительно производной.Особое решение. Огибающая.4. Теорема существования и единственности для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Метод последовательных приближений (метод Пикара).5. Сеточные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Эйлера для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и нормальных систем. Сходимость метода.6.

Метод Рунге-Кутта решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.7. Численное решение краевой задачи для уравнения второго порядка методом прогонки.8. Решение линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений n-ого порядка. Теорема о структуре общего решения. Формула Остроградского-Лиувилля.9. Теорема о структуре неоднородного линейного обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод вариации произвольных постоянных.10. Линейные однородные обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.11. Применение обыкновенных дифференциальных уравнений для исследования задач о механических и электрическихколебаниях.248Вопросы к экзамену12.

Линейные обыкновенные дифференциальные уравнениявторого порядка с переменными коэффициентами. ТеоремыШтурма, критерий Кнезера.13. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.Нормальная форма системы. Векторная запись. Теорема существования и единственности.14. Системы линейных обыкновенных дифференциальныхуравнений.

Общая теория однородных систем. Теорема о структуре общего решения. Формула Остроградского-Лиувилля.15. Линейные неоднородные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Формула Коши.16. Линейные системы обыкновенных дифференциальныхуравнений с постоянными коэффициентами. Теорема о структуре общего решения.17. Нормальные однородные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.Эквивалентные системы. Теорема Ляпунова.18. Теорема о зависимости решения обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров.

Лемма Гронуолла.Дифференцируемость решения по параметру.19. Устойчивость по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Лемма Ляпунова.20. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости линейной автономной системы и о неустойчивости.21. Особые точки системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений: узел, седло.22. Особые точки системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений: дикритический узел, особый узел, фокус,центр. Связь между типом особой точки и устойчивостью.Литература249ЛИТЕРАТУРА1.

Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1984.2. Зубков В. Г., Ляховский В. А., Мартыненко А. И., Миносцев В. Б. Под редакцией В. Б. Миносцева. Курс высшейматематики. Ч. 2 — М.: МГИУ, 2004.3. Калиткин Н.Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978.4. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

— М.: Наука, 1970.5. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1984.6. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. —М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1953.7. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальнымуравнениям. — М.: Интеграл-Пресс, 1998.8. Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. Краткий курсвысшей математики. Т. 2.

— М.: Высшая школа, 1978.Оглавление1. Введение2. Обыкновенные дифференциальные уравнения.Общие понятия2.1. Эволюционные процессы2.2. Определения, примеры2.3. Геометрическая интерпретация. Обобщениезадачи2.4. Метод изоклин3. Простейшие дифференциальные уравненияdy= f (x)3.1. Уравнения вида dxdy= f (y)3.2. Уравнения вида dx3.3. Уравнения с разделяющимися переменными3.4. Однородные уравнения3.5. Линейные уравнения3.6. Уравнение Бернулли3.7. Уравнение в полных дифференциалах.Интегрирующий множитель4. Общая теория.

Численные методы4.1. Ломаные Эйлера4.2. Метод последовательных приближений (методПикара)4.3. Сеточные методы решения задачи Коши4.4. Метод ломаных (Метод Эйлера)4.5. Метод Рунге-Кутта5. Уравнения, не разрешенные относительнопроизводной5.1. Основная теорема о решении уравнения,2513557914171720222426282839404452545964252Оглавлениене разрешенного относительно производной 645.2. Решение дифференциальных уравнений впараметрической форме665.3. Особые точки и особые линии685.4. Особое решение695.5. Огибающая755.6. О поведении интегральных кривых в целом ипредельных циклах796.

Дифференциальные уравнения высших порядков826.1. Основные понятия дифференциальныхуравнений высших порядков826.2. Дифференциальные уравнения, допускающиепонижение порядка856.3. Линейные дифференциальные уравнения n-гопорядка886.4. Общая теория линейных однородных уравнений 907.

Неоднородные линейные уравнения1027.1. Общие свойства1027.2. Метод вариации произвольных постоянных1048. Сопряженное уравнение1088.1. Множитель дифференциального выражения 1089. Линейные дифференциальные уравнения спостоянными коэффициентами1119.1. Однородные линейные уравнения спостоянными коэффициентами1119.2. Переход к вещественным функциям1199.3. Линейные неоднородные уравнения спостоянными коэффициентами1219.4. Приложение линейных дифференциальныхуравнений второго порядка к изучениюмеханических и электрических колебаний 12610. Линейные уравнения второго порядка спеременными коэффициентами135Оглавление10.1.253Общие свойства решения линейных уравненийвторого порядка13510.2.Решение краевой задачи длядифференциального уравнения второгопорядка методом прогонки14311. Системы обыкновенных дифференциальныхуравнений14911.1.

Нормальная форма системыдифференциальных уравнений14911.2. Векторная запись системы15311.3. Системы линейных дифференциальныхуравнений15511.4. Свойства линейных однородных систем.15611.5. Линейные неоднородные системы16311.6. Формула Коши для неоднородной системы16512. Линейные системы с постояннымикоэффициентами16712.1. Преобразование системы уравнений16712.2.

Интегрирование однородной системы вжордановой форме16912.3. Метод исключения17812.4. Применение к однородному линейномудифференциальному уравнению n-гопорядка18713. Однородные системы с периодическимикоэффициентами18914. Зависимость решения дифференциальногоуравнения от параметров и начальных данных19514.1. Теорема о зависимости решения от параметра 19614.2. Дифференцируемость решения по параметру 20115. Теория устойчивости (Устойчивость по Ляпунову) 20115.1. Асимптотическая устойчивость20215.2. Сведение к рассмотрению нулевого решения 203254Оглавление15.3.

Устойчивость линейных однородных систем 20415.4. Лемма Ляпунова20715.5. Нелинейные автономные системы21116. Особые точки на плоскости21916.1. Классификация особых точек на плоскости22016.2. Связь типа особой точки с устойчивостьюстационарного решения x = 0, y = 0.23317.Приближенные методы решениядифференциальных уравнений23717.1. Интегрирование дифференциальныхуравнений с помощью рядов23717.2. Численные методы решения задачи Коши длясистем дифференциальных уравнений243Учебное изданиеЕвгений Александрович ПушкарьДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯУчебнoе пособиеРедактор К.В.

ШматОформление обложки А.М. ГришинойСанитарно-эпидемиологическое заключение№ 77.99.02.953.Д.002624.03.06 от 30.03.2006Подписано в печать 09.02.2007Формат бум. 60х84/16. Изд. № 1-01/07Усл. печ. л. 16,0 Уч.-изд. л. 17,0 Тираж 1000 Заказ № 164Издательство МГИУ, 115280, Москва, Автозаводская, 16По вопросам приобретения продукциииздательства МГИУ обращаться по адресу:115280, Москва, Автозаводская, 16www.izdat.msiu.ru; e-mail: izdat@msiu.ru; тел.: (495) 677-23-15Отпечатано в типографии издательства МГИУ115280, Россия, г.Москва, ул.Автозаводская, 16тел./факс: (495) 674-62-50, 677-21-82, 677-24-92, 677-23-15WWW.IZDAT.MSIU.RU, e-mail: izdat@msiu.ruПРЕДЛАГАЕМ ВАШЕМУ ВНИМАНИЮ КНИГИПушкарь Е.А.Дифференциальные уравнения в задачах и примерах: Учебнометодическое пособие.

– М.: МГИУ, 2007. – 158 с.В учебно-методическом пособии рассматриваются методы и приемы решения обыкновенных дифференцированных уравнений.Предназначено для студентов высших учебных заведений направления «Прикладная математика и информатика» (010500) испециальности «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» (010503).Будет полезно студентам инженерных специальностей, желающих самостоятельно научиться решать дифференциальные уравнения, а также студентам дистанционной формы обучения.Миносцев В.Б.Курс высшей математики: Учебное пособие. Ч.