Пушкарь Е.А. - Дифференциальные уравнения (1092384), страница 28
Текст из файла (страница 28)
16.6. Особый узелузла, исследованного в случае (1) тем, что там одна интегральная кривая имела касательную, отличную от всех остальных ибыла трансверсальна всем интегральным кривым. В плоскости(x, y) особый узел имеет вид, изображенный на рис. 16.7.yxРис. 16.7. Особый узел в плоскости (x, y)4) Комплексные собственные значения λ1,2 = α ± iβ, β = 0.Собственному значению λ1 соответствует собственный вектор u + iv, а собственному значению λ2 — собственный векторu − iv, где v1u1;v=.u=u2v2Здесь векторы u и v линейно независимы (можно доказатьот противного).23016Сделаем заменуОсобые точки на плоскостиx = u1 ξ + v1 η,y = u2 ξ + v2 η.(16.9)В плоскости (ξ, η) вектору (1, 0) соответствует вектор u вплоскости (x, y), а, соответственно, вектору (0, 1) соответствуетвектор v.
Найдем вид уравнения после преобразования (16.9).Пусть преобразованная система имеет вид: dξ = b11 ξ + b12 η,bb1112dtB=dηb21 b22 = b21 ξ + b22 η.dtМатрица B имеет такие же собственные числа λ1,2 = α ± iβ,как и матрица A, а ее собственные векторы имеют вид (1, 0) и(0, 1). По свойству собственных векторов Bh = λh имеем: 1010b11 b12+i= (α + iβ)+i, (16.10)b21 b220101поскольку выражения в квадратных скобках также есть собственные векторы. Можно сказать и иначе: это комплексноеуравнение с суммой векторов (1, 0) + i(0, 1) равносильно двумотдельным уравнениям для векторов (1, 0) и (0, 1).Запишем (16.10) в виде системы уравнений:b11 + ib12 = α + iβ,b21 + ib22 = −β + iα,отсюда b11 = α, b12 = β, b21 = −β, b22 = α.Таким образом, получаем систему уравнений: dξ = αξ + βη,dtdη = −βξ + αη.dt16.1 Классификация особых точек на плоскости231Перейдем от этой системы к одному уравнениюαξ + βηdξ=,dη−βξ + αηкоторое является однородным уравнением.Проинтегрируем это уравнение.
Преобразуем его по свойству пропорций(−βξ + αη)dξ = (αξ + βη)dηи соберем слагаемые с коэффициентами α и βα(ηdξ − ξdη) = β(ξdξ + ηdη).Умножим обе части последнего уравнения на интегрирую1щий множитель 2. Получимξ + η2ηdξ − ξdηβd(ξ 2 + η 2 ),α 2=ξ + η22(ξ 2 + η 2 )откудаβξ= d ln(ξ 2 + η 2 ).η2Интегрируя это равенство, потенцируя его и меняя правуюи левую части местами, получаемαd arctg2αξ 2 + η2 = C 2e βarctgξη.(16.11)Перейдем к полярным координатам. Для этого сделаем замену переменных ξ = r sin ϕ, η = r cos ϕ. В полярных координатах r, ϕ интеграл (16.11) принимает вид2αr2 = C 2e β ϕ,или, после извлечения корня, получаем общее решение в случаекомплексных собственных значений λ1,2 = α ± iβαr = Ce β ϕ .(16.12)Полученное общее решение (16.12) имеет качественно различный характер в двух случаях:23216Особые точки на плоскости(1) Если α = 0, то мы имеем общее решение в виде r = C, тоесть интегральные кривые в плоскости (ξ, η) есть концентрические окружности с центром в начале координат, а в плоскости (x, y) мы имеем семейство эллипсов.Через саму особую точку не проходит ни одной интегральной кривой.Это особая точка типа центр (рис.
16.8).hyxxРис. 16.8. Особая точка типа центрα(2) Если α = 0, то общее решение r = Ce β ϕ представляетсобой семейство логарифмических спиралей в плоскости(x, y) с асимптотической точкой в начале координат. Всеинтегральные кривые приближаются к началу координат, но без определенной предельной касательной. Ониделают около точки (0, 0) бесконечное количество оборотов, “наматываясь” на начало координат.Это особая точка типа фокус (рис. 16.9).hyxРис. 16.9. Особая точка типа фокусx16.2 Связь типа особой точки с устойчивостью стационарного решения23316.2. Связь типа особой точки сустойчивостью стационарного решенияx = 0, y = 0.Рассмотрим возможные типы особых точек и выясним связьтипа особой точки с устойчивостью стационарного решенияx = 0, y = 0.1.
Особая точка — узел. В этом случае собственные значенияматрицы A — λ1 , λ2 — вещественные, одного знака.yxРис. 16.10. Особая точка — устойчивый узелВозможны две ситуации:(1) Если собственные значения отрицательные λ1 < 0 иλ2 < 0, то решение асимптотически устойчиво (по теореме Ляпунова). В плоскости (x, y) интегральные кривые в параметрической форму описываются следующейсистемой уравненийx = γ11 eλ1 t + γ12 eλ2 ty = γ21 eλ1 t + γ22 eλ2 tи имеют вид, изображенный на рис. 16.10.
Все интегральные кривые входят в особую точку при t → +∞.(2) Если λ1 > 0, λ2 > 0, то решение неустойчиво (по теореме Ляпунова о неустойчивости).23416Особые точки на плоскости2. Особая точка — седло. В этом случае собственные значения λ1 , λ2 матрицы A — вещественные, разных знаков, поэтому по одной из сепаратрис при росте t движение происходитв направлении начала координат, а по другой — из начала координат (рис. 16.11).
Движение вдоль остальных кривых приросте t происходит в соответствии со стрелками на рис. 16.11.yxРис. 16.11. Особая точка седло — неустойчивое положе-ние равновесияЕсли взять любую ε-окрестность седловой особой точки, товсегда существует решение, которое выходит из нее, так какλ1 , λ2 — разных знаков. Поэтому положение равновесия в седловой особой точке — неустойчивое.3. Кратные собственные значения λ1 = λ2 = λ.ydy= ·a) Дикритический узел:dx xИмеем систему: dx = λx,dtdy = λy,dtрешение которой имеет вид:x(t) = x0 eλt ,y(t) = y0 eλt .16.2 Связь типа особой точки с устойчивостью стационарного решения235Если λ < 0, то решение асимптотически устойчиво.
Еслиλ > 0, то решение неустойчиво. Интегральные кривые представляют собой полупрямые, начинающиеся (при λ > 0) илизаканчивающиеся (при λ < 0) в начале координат, причем этиполупрямые имеют произвольных наклон (рис. 16.5).b) Особый узел.Решение в этом случае имеет видx = (γ11 t + δ11 )eλt ,y = (γ11 t + δ11 )eλt .Если λ < 0, то решение асимптотически устойчиво, так чтоx → 0 и y → 0 при t → ∞, а если λ > 0 — то решениенеустойчиво и x → ∞ и y → ∞ при t → ∞ (рис. 16.12).yyxxРис. 16.12. Особый узел — устойчивое и неустойчивоеположения равновесия (λ < 0 и λ > 0)4. Комплексные собственные значения λ1,2 = α ± iβ.a) Особая точка — центр: α = 0.В этом случае общее решение имеет видx(t) = (γ11 cos βt + γ12 sin βt),y(t) = (γ21 cos βt + γ22 sin βt),и имеет место так называемая нейтральная устойчивость: движение происходит по эллипсам с центром в начале координат(рис.
16.13).23617Приближенные методы решенияyxРис. 16.13. Особая точка центр: нейтральная устойчивостьb) Особая точка — фокус: α = 0 (рис. 16.14).В этом случае общее решение имеет видx(t) = (γ11 cos βt + γ12 sin βt)eαt ,y(t) = (γ21 cos βt + γ22 sin βt)eαt .yyxxРис. 16.14.
Фокус: устойчивое и неустойчивое положе-ния равновесияЕсли α < 0, то решение асимптотически устойчиво, приα > 0 — неустойчиво (левая и правая картинки на рис. 16.14,соответственно).17.1 Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов23717. Приближенные методы решениядифференциальных уравнений17.1. Интегрирование дифференциальныхуравнений с помощью рядовВо многих случаях приближенное решение дифференциального уравнения может быть представлено в виде степенного ряда, сходящегося на некотором интервале. Коэффициенты этогоряда можно найти методом, основанным на применении рядаТейлора.
Этот метод пригоден для приближенного определения частного решения дифференциальных уравнений любогопорядка (задача Коши):F (x, y, y , y , . . . , y (n−1) , y (n) ) = 0,(17.1)y(x0 ) = y0 , y (x0 ) = y0 , y (x0 ) = y0 , . . . , y (n−1) (x0 ) = y0.(17.2)Подставляя заданные начальные условия в дифференциальное уравнение, получим соотношение(n−1)F (x0 , y0 , y0 , y0 , . . . , y0(n−1)(n), y0 ) = 0,из которого можно определить значение n-й производнойy0 = f (x0 , y0 , y0 , y0 , . . . , y0(n)(n−1))(17.3)в точке x = x0 .Дифференцируя уравнение (17.1), в котором y = y(x), получим уравнение, которое, помимо x, y, y , y , . . .
, y (n) , будет содержать производную (n + 1)-го порядка y (n+1) :F1 (x, y, y , y , . . . , y (n) , y (n+1) ) = 0.(17.4)Подставляя в (17.4) значения начальных условий (17.2) и(n)значение y0 из (17.3), получим уравнениеF1 (x0 , y0 , y0 , y0 , . . . , y0 , y0(n)(n+1)) = 0,23817Приближенные методы решения(n+1)из которого можно найти значение y0.Продолжая этот процесс дальше, можно найти значениявсех производных высших порядков в точке x = x0 .Решение y = y(x) исходного дифференциального уравнения(17.1) можно представить в виде ряда (ряда Тейлора):x − x0(x − x0 )2+ y (x0 )+ ...y(x) = y(x0 ) + y (x0 )1!2!(x − x0 )n(n).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
