Диссертация (Задачи дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов), страница 7

Так как вложение Lp     H   составляющая к ребру функциинепрерывноgпри4 p23то[25],g1/2g  Lp    .C g p,Но1pp mes  g C , если g  C    . Поэтому для векторной функции u1pu W  C  mes  u11p2C u22C divu C 3 mes   max u1 C , u2 C , divuCC212.1pПоложим C1 : 2C 3 mes  . В силу оценок (2.35) и (2.36) получаемf  NW  h h  f h h   h h  f h h  C1   f1; 1 , 2     f 2 ; 1 , 2     1 ; 1 , 2     2 ; 1 , 2   2 2 x 2 2  y 2 2    2 2 C2  h1  h2  ,так как f любое число раз непрерывно дифференцируема в  .В качестве C2 можно взять C2 : C1 max max Dk f j ,   1, 2  k , :1 k  2 M j:1 j  2kмультииндекс D  1  2 ,   k .

Тогда окончательно можно выбратьx ykC0  1  C 2 . Из теорем 2.1-2.4 получаем сходимость метода Галеркина (2.5) дляоператора T : W  W с базисными функциями «rooftop» с квазиоптимальнойоценкой скорости сходимости. Точнее, верна45h1h M и 2  M для некоторого M . Тогда методh2h1Теорема 2.5. ПустьГалеркина (2.5) для уравнения электрического поля (2.12) сходится с выборомбазисных функций «rooftop» и справедлива оценка скорости сходимостиu  uNW C0 inf   u X NW,(2.38)где u , u N - точное и приближенные решения, а константа C0 не зависит от h1 иh2 .Следует отметить, что при реализации метода Галеркина с выборомбазисных и тестовых функций «rooftop», нет необходимости знать элемент f 0 .Можно вычислять f ,n  L   вместо2остаетсясправедливымдля f0 ,n W .

Также, результат о сходимостилюбогоплоскогоограниченногоэкрана,построенного на прямоугольной сетке.2.4.2. Сходимость метода Галеркина в задаче дифракцииэлектромагнитных волн на системе, состоящей из тела и плоского экранаРассмотрим сходимость метода Галеркина для решения системы интегродифференциальныхуравнений,отвечающейзадачедифракцииэлектромагнитных волн системе, состоящей из плоского экрана и тела.Предполагаем, что тело и экран не пересекаются.

Постановка задачи описана впункте 1.1 главы 1. Система интегро-дифференциальных уравнений для даннойзадачи в операторном виде имеет вид (1.25). В качестве базисных функций наэкране и на теле будем использовать базисные функции «rooftop» и базисныефункции «крышки», соответственно, описанные выше.

Имеет место следующаятеорема [30].Теорема 2.6. Для оператора L  L при Im ke  0 метод Галеркина (2.2) длясистемы уравнений (1.25) сходится.Доказательство.1. Покажем сначала, что в выбранных пространствах выполняется условиеаппроксимации.ПодпространствоXnпредставимоввидепрямого46произведенияX n  span1,..., n  span1,...,n  . Так как для базисныхфункций  i и  j условие аппроксимации выполняется в пространствахL2 (Q ) [17] и W () [22] соответственно, то подпространства X n являютсяпредельно плотными в X .2. Теперь достаточно показать, что оператор L является обратимымэллиптическим оператором.2.1.

Рассмотрим оператор S разложения (1.26). Согласно [25], будемназывать данный операторS : X  Xкоэрцитивным, если существуетконстанта C   0 , такая, что выполняется условие:S ,  C 2для любого   X . Оператор S : X  X  будем называть эллиптическим, еслисущетсвует компактный оператор K : X  X  , такой что S  K - коэрцитивный.В [25, 14] показано, что при Im ke  0 оператор S является эллиптическимобратимым оператором в W   , а метод Галеркина для него являетсясходящимся.Оператор A является эллиптическим в L2  Q  [4] при следующихусловиях:det  εˆ  I   0, x  Q ,3  x   det  I  σˆ  ε  I     cos  i cos  j ij  0,  ij   ij  x  , x  Q .i , j 1Таким образом, оператор L1 : P  P является эллиптическим оператором.2.2.

Так как тела и экраны не имеют общих точек (точнее, Q     ), тоядра операторов K1 и K 2 являются бесконечно гладкими ограниченнымифункциями в Q   и, следовательно, эти операторы компактны. Имеем,оператор L2 : P  P ' компактен. Из эллиптичности L1 и компактности L2следует эллиптичность оператора L .47Более того, он является непрерывно обратимым.

Действительно, операторL фредгольмов. Покажем, что он инъективен. Рассмотрим однородноеуравнение LV  0 . Оно имеет лишь тривиальное решение, так как однородноеинтегро-дифференциальное уравнение (1.25) эквивалентно однородной краевойзадаче для системы уравнений Максвелла, а последняя имеет (см. [68]) толькотрививальное решение.Окончательно получим, что L : P  P – эллиптический непрерывнообратимый оператор, для которого метод Галеркина с выбранными базиснымифункциями сходится. Теорема доказана.2.5.Вычислительные алгоритмыРазработанный метод позволяет рассчитывать поверхностные токи наплоском ограниченном, бесконечно тонком и идеально проводящем экране ителе. В данном параграфе описывается алгоритм вычисления поверхностныхтоков.

В первом разделе выполнено построение сетки для экрана сложнойформы, во втором – для тела вида прямоугольного параллелепипеда.2.5.1. Дискретизация задачи на экранеРазработаем алгоритм численного решения интегрального уравнения. Дляудобства будем использовать фигуру канонической формы (при этом нарешение уравнения не накладываются дополнительные ограничения). Подфигурой канонической формы мы понимаем фигуру, на которой удобностроить расчетную сетку и которую удобно описывать граничными условиямикраевой задачи.

В двумерном случае это прямоугольник [19,20]. Длярассматриваемойзадачиканоническаяфигура–этопрямоугольныйпараллелепипед.Рассмотрим фигуру канонической формы, представленную на рисунке2.5.48Рисунок 2.5 Экран канонической формыДанная фигура является «открытой» и состоит из пустых элементарныхпрямоугольныхпараллелепипедов,укоторыхотсутствуютграни,принадлежащие лицевым (внешним) сторонам фигуры.Построим на данной фигуре канонической формы расчетную сетку  .Данная расчетная сетка состоит из элементарных ячеек вида: x : ki h1  xi  (ki  1)h1 , i  1,2,.., n  y : ki h2  yi  (ki  1)h2 , i  1,2,.., n 0 x : ki h1  xi  (ki  1)h1 , i  1,2,.., n 0 z : k h  z  (k  1)h , i  1,2,.., n i3 i 3 i0 y : ki h2  yi  (ki  1)h2 , i  1,2,.., n  z : k h  z  (k  1)h , i  1,2,.., n i3 i 3 iгде k i - целые числа, h1 , h2 , h3  0 - шаги расчетной сетки по осям Ox1 , Ox2 , Ox3соответственно, n – количество элементарных ячеек вдоль координатной оси.49Подобные элементарные ячейки будем называть конечными элементамирасчетной сетки.

Таким образом, размер конечного элемента определяется как  .n nВершины элементарных ячеек сетки назовем узлами сетки.Расчетную сетку, шаги которой h1  h2  h3  const , будем называтьравномерной расчетной сеткой.Далее введем базисные функции для аппроксимации решения.Базисные функции определяются на одном или нескольких конечныхэлементах. Совокупность конечных элементов h , на которых определенабазисная функция  , называется носителем supp   h .hНосители в такой сетке h занумерованы следующим образом.

Сначаланумеруются ребра носителей, лежащие в плоскости, параллельной оси Ox,затем ребра, принадлежащие плоскости, параллельной оси Oy, затем – вплоскости, параллельной оси Oz. Каждому ребру соответствуют шесть типовносителей.Таким образом, количество ребер в расчетной секте равно 3n( n  1) , аколичество носителей в сетке равно 18n(n  1) , количество типов носителейравно 18.Совокупность всевозможных типов носителей базисных функций будемназывать шаблоном носителей.Направление в базисных функциях выбрано так, как показано на рисунке2.6.50Рисунок 2.6 Примеры носителей базисных функций на экранеканонической формыПрименяя метод Галеркина, приходим к решению матричного уравнения( Aun , v )  ( f , v ) .

Каждый элемент матрицы получается путем вычислениячетырехкратного интегралаlij    G ( x, y )divi ( x)  div  j ( y )ds  k 2  G ( x, y )i ( x)  j ( y )ds,имеющего особенность в области интегрирования. Здесь x  ( x1 , x2 ), y  ( y1 , y2 ) ,а G ( x, y ) - известная функция G ( x, y ) exp(ik x  y ). В качестве базисныхx yфункций i ( x ) и тестовых  j ( y) выберем функции «rooftop», описанные выше.Для учета особенности интеграла применим следующую технологиюсчета: в процессе интегрирования разнесем точки интегрирования, то есть дляодного носителя точность интегрирования зададим равной числу ip , другому -ip +1.512.5.2. Дискретизация задачи на телеДля решения задачи дифракции на теле под канонической фигурой будемпонимать тело Q , имеющее форму прямоугольного параллелепипеда (рисунок2.7).Рисунок 2.7 Тело канонической формы.Для решения задачи методом Галеркина построим равномернуюрасчетную сетку на теле Q .