Диссертация (Задачи дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов), страница 6

[43] стр. 551), заключаем, чтооператор Tk : W  W компактен.Утверждение 2.4. Если Im  0 , то оператор T0 : W  W , порождаемыйформой t0  u,  , является коэрцитивным, иIm T0u , u   Im   u2W.37Пусть        , где  ,   - вещественная и мнимая части числа  . Таккак   1, то  2   2  1 . Далее имеемIm t0  u, u       3 212uˆ   d    2  2  1  11  uˆ   d 2  uˆ   d    u W .22Из утверждений 2.3 и 2.4 получаетсяТеорема 2.1. Если Im  0 , то оператор T  : W  W , порождаемыйформой t  u,  , является эллиптическим.Рассмотрим полуторалинейную формуt  u ,  : 1 a   uˆ     d    a     uˆ         d(2.26)с символом a   , определенным формулой (2.17).Теорема 2.2.

Если Im  0 , то оператор T : W  W , порождаемый формойt  u,  , является инъективным.Пусть Tu  0 . ТогдаTu, u W  t u, u   0 .Используя (2.18) и (2.26),отделим вещественную и мнимую части квадратичной формы t  u, u  иприравняем их к нулю:Re t  u , u               uˆ   d           uˆ   d  0 , (2.27)22Im t  u , u              uˆ   d           uˆ   d  0 , (2.28)22где  : Re   2  : Im  2   2 1/22 1/2 2   2  Re  2   2 2 2 22  2 2 2, 2   2  Re  2   2 .Если    0 , то из уравнения (2.28) сразу получаем, что u  0 .

Далеебудем считать, что    0 . Разделив уравнение (2.27) на   , а уравнение (2.28)на   , получим:38   2 2    uˆ    1d     2  2 2  uˆ    1d  0 ,(2.29) 2 2    uˆ    1d    2  2 2  uˆ    1d  0(2.30)222222где :  2   2  Re  2   2  ,  : 2  2   2 Вычитая из (2.30) уравнение (2.29) и деля на 2, имеем   uˆ     2  1  2 2  uˆ    1d  022(2.31)Пользуясь тождеством   uˆ     2 uˆ       uˆ   ,   :  2 , 1  ,222и формулой2 2 1  2 2   4 2 1   2    2  1  2 2  ,2из (2.31) находим     uˆ  2222 1  2 2   4 2 1   2  uˆ    1d  0 ,(2.32)откуда получаем u  0 .Поскольку формулы (2.13) и (2.15) определяют один и тот же оператор A(на  ), формы (2.26) и (2.24) также определяют один и тот же оператор,поэтому T  T  .Далее, для f  C    ,   C0    существуют следующие оценки f , L 2 fL2   L2    Cf L2    Cf 1/2 Cf W,для некоторого C f  0 , откуда следует ограниченность антилинейной формыf   :  f ,  L   на пространстве W .

Тогда по теореме Рисса [17] найдется2элемент f 0 W , такой, что f   :  f0 , W для всех  W . Поэтому уравнение(2.12) с учетом определения 2.3 можно записать какTu  f 0 , u W ,f 0 W .(2.33)Имеет место следующая теорема39Теорема 2.3.

При Im  0 оператор T : W  W непрерывно обратим.Следствие 2.1. При Im  0 обобщенное решение u W уравнения (2.33)существует и единственно при любой правой части f 0 W (в частности, приf  C     ).Рассмотрим вопрос об аппроксимации непрерывно – дифференцируемой(векторной)f  x, y    f1  x, y  , f 2  x, y   ,функцииf  C01     f1  C01    , f 2  C01    в : 0, a  0, b .прямоугольникеДокажем сходимость метода Галеркина с базисными и тестовыми функциямитипа «rooftop».

Выберем в прямоугольнике  равномерную прямоугольнуюсеткусшагамиh1иh2поосямxM ij  xi , y j  , xi  ih1 , y  jh2 , i  0,..., N1 , j  0,..., N 2 , h1 исyузламиab, h2 .N1N2Функции «rooftop» ассоциированы с ребрами, то есть каждому ребрусоответствует одна функция, которая отлична от нуля только в двухпрямоугольниках, имеющих это ребро своей стороной. Пусть прямоугольники   i и  i имеют общую сторону – ребро с номером i , а x1 , y1 , x2 , y2iiii-середины граней прямоугольников  i и  i , не имеющих точек пересечения сребром i , расположенные параллельно данному ребру (рисунок 2.3).Рисунок 2.3 Носитель базисной функции «rooftop»Базисную функцию i  x, y  , отвечающую ребру i , определим по правилу40li j(xx,0)1Si i ( x, y )  ( x j   x,0) li 2Si j  li(0, y  y1 ) S i i ( x, y )  (0, y  j   y ) li2Siв  iв  i ,(2.34)вiв  i ,где li является длиной ребра i , Si  и Si  есть площади  i и  i соответственно.Вне прямоугольников  i и  i функция i  x, y   0 .Нормирование функций i  x, y  выполнено так, что нормальная (к ребру)составляющая этих функций в середине ребра Ci с номером i равна 1, т.е.i n  Ci   1.У функций i  x, y  есть важное свойство: их нормальныесоставляющие i  n i0награнице iносителяi  i  iравнынулю,.Пусть  x, y    j j  x, y  ,   x, y   1  x, y  ,2  x, y   .Тогдаjкоэффициент  j равен нормальной составляющей функции  в серединеребра:  j   j  C j   n .

Будем аппроксимировать функцию f  x, y  функцией  x, y  , выбирая коэффициенты  x, y    f n  C j   j  x , y  .jОценимизусловияразностьf n  C j   n  C j  , т.е.fi  x, y   i  x, y вjпрямоугольнике  ; i  1,2 . Пусть Ck середина вертикального ребра с номеромk ближайшая к точке  x, y   . Если точка Ck не единственная ближайшая, томожно взять любую из них.Обозначим через   g , ,  модуль непрерывности функцииgвпрямоугольнике  [37]:  g ,  ,  : sup  g  x ', y '   g  x '', y ''  : x ' x ''   , y ' y ''  41Рассмотрим один из прямоугольников  сетки, например PQRT , гдеP  x1, y1  , R  x2 , y2  , Q  x3 , y3  , T  x4 , y4  причем, x3  x1  h , y3  y1  h , x2  x1 ,y2  y1  h2 , x4  x1  h , y4  y1 .

Пусть ребра PR , PT , QT , RQ имеют номера i ,j , k , l соответственно, а точки Ai , B j , Ck , Dl - середины этих ребер (рис. 2.4)Рисунок. 2.4 Возможные варианты носителейОценим разность функций f и  в точке  x, y  при условии, что онапринадлежит прямоугольнику PRQT . Тогдаf  x, y     x, y   f  x, y  ( f1  Ai i  x, y  f 2  B j   j  x, y  f1  Ck k  x, y  f 2  Dl l  x, y )Здесьf1  Ai i  x, y   f1  Ai   x2  x,0  h11Tf 2  B j  j  x, y   f 2  B j   0, y2  y  h21Tf1  Ck k  x, y   f1  Ck   x  x1 ,0  h11Tf 2  Dl l  x, y   f 2  Dl   0, y  y1  h21T42откуда покоординатно имеем:f1  x, y   1  x, y   f1  x, y   f1  Ai   x2  x  h11  f1 Ck   x  x1  h11 ,f 2  x, y   2  x, y   f 2  x, y   f 2  B j   y2  y  h21  f 2  Dl   y  y1  h21Введем обозначения, 1 :x  x1y  y1, 2 :, 0  1  1 , 0  2  1 . Тогдаh1h2f1  x, y   1  x, y   f1  x, y   1  1  f1  Ai   1 f1 Ck f 2  x, y   2  x, y   f 2  x, y   1  2  f 2  B j   2 f 2  Dl Учитывая, что непрерывная в T функция достигает любого своегопромежуточного значения в некоторой точке из T , получаем, что h h f1  x, y   1  x, y     f1; 1 , 2  2 2 h h f 2  x, y   2  x, y     f 2 ; 1 , 2 2 2Легко получить более грубую оценку: h h  h h f m  x, y   m  x, y     f1 , 1 , 2     f 2 ; 1 , 2  , m  1,22 2 2 2Заметим, что в силу условия f1 x0  f1 xa  0 , f 2ребраввышеприведенныхоценкахy 0фигурируют f2y bлишь(2.35) 0 , граничныеформальноскоэффициентом 0 перед соответствующей базисной функцией.Случай принадлежности точки  x, y  одному из ребер PR , PT , QT , RQтакже не исключается.

Таким образом, в силу произвольности выбора точки x, y  и равномерности оценки (2.35), оценка (2.35) имеет место для всехточек  x, y   .Пусть снова x, y   PRQT .Оценим разность функций div f и div  ,пользуясь полученными результатами. Имеемdiv f  div   div f  h11 f1  Ai   h11 f1  Ck   h11 f 2  B j   h21 f 2  Dl или43divf  div f  C   f1  Ai  f 2 f 2f1 f1 1 kx x Ckh1y yDlf 2yDlf 2  Dl   f 2  B j h2Далее находим, учитывая непрерывную дифференцируемость функций f1и f2 в  : f h h  fh  f h h  f h div f  div    1 ; 1 , 2     1 ; 1 ,0     2 ; 1 , 2     2 ;0, 2  .2 x 2 2  x 2  y 2 2  yОтсюда легко получить более грубую оценку  f h h  f h h  div f  div   2    1 ; 1 , 2     2 ; 1 , 2   , y 2 2    x 2 2 которая равномерна и имеет место для всехпрямоугольникарасположенногов(2.36) x, y   .пространствеиначеДля любогодоказательствопроводится аналогично.Имеет место теорема об аппроксимации элементов  W базиснымифункциямиi .РассмотримконечномерноеподпространствоX N  span 1,...,N , являющееся линейной оболочкой базисных функций  i ,i  1,..., N , где N - количество внутренних ребер сетки.

Нетрудно проверить, чтоi W    , X N  W . Имеет местоТеорема 2.4. (см. [38]) Пустьh1h M и 2  M для некоторого M . Тогдаh2h1для любого  W имеемinf    X NW 0, N   .2Если дополнительно  W  C    , то верна оценкаinf    X NW C0 C 2   h1  h2  ,(2.37)где C0 не зависит от  , h1 , h2 .Доказательство:44Так как C0    плотно в W    , выбираем элемент f  C0    такой, что fW  ,  : h1  h2 . Тогда   NW  fW f  NW   f  NW, где N - функция, аппроксимирующая f . Выберем  N следующим образом:N   f n  C j  j , где C j - серединаNj - го ребра,- нормальнаяfnj 11/2f .