Диссертация (Задачи дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов)

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждениевысшего образования«ПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»На правах рукописиМоскалева Марина АлександровнаЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА СИСТЕМЕПРОИЗВОЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫХ ТЕЛ И ЭКРАНОВСпециальность 05.13.18(математическое моделирование, численные методы и комплексы программ)Диссертация на соискание ученой степени кандидатафизико-математических наукНаучный руководитель:д. ф.-м. н., профессорЮ.Г.

СмирновПенза - 2016СодержаниеВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………................4ГЛАВА 1 Свойства решений уравнений электрического поля…………….171.1 Постановка задачи дифракции электромагнитной волны насистеме произвольно расположенных тел и экранов………………..171.2 Существование и единственность решения задачи дифракции ……191.3 Сведение задачи дифракции электромагнитной волны на системетел и экранов к системе интегро-дифференциальныхуравнений………………………………………………………………......231.4 Фредгольмовость системы интегро-дифференциальныхуравнений…………………………………………………………………..26Краткие выводы главы 1……………………………………………………...28ГЛАВА 2 Численные методы………………………………………………...292.1Проекционные методы.

Метод Галеркина…………………………....292.2Базисные функции «rooftop» для экрана……………………………...312.3Базисные функции «крышки» для тела……………………………….312.4Сходимость метода Галеркина для базисных и тестовых функции«rooftop»………………………………………………………………...2.4.1.32Сходимость метода Галеркина в задаче дифракцииэлектромагнитных волн на плоском экране……………................322.4.2. Сходимость метода Галеркина в задаче дифракцииэлектромагнитных волн на системе, состоящей из тела иплоского экрана……………………………………………….........462.5 Вычислительные алгоритмы…………………………………….........482.5.1Дискретизация задачи на экране…………………………482.5.2Дискретизация задачи на теле……………………………522.5.3Дискретизация задачи на системе произвольнорасположенных тел и экранов……………………………..........53Субиерархический вычислительный алгоритм…………562.5.42Краткие выводы главы 2……………………………………………………...57ГЛАВА 3 Численные результаты решения задачи дифракции…………….583.1Численные результаты на неплоских экранах сложных форм……...583.2Численные результаты на теле………………………………………...693.3Численные результаты на системе произвольно расположенныхтел и экранов……………………………………………………………723.4Численные результаты на системе пересекающихся тел иэкранов……………………………………………………………..........97Краткие выводы главы 3……………………………………………………...110ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………..........111Список использованной литературы………………………………………...112Приложение 1………………………………………………………………….119Приложение 2………………………………………………………………….1403ВВЕДЕНИЕОбзор работ по теме диссертации.Настоящая работа посвящена численному исследованию векторныхэлектромагнитных задач дифракции на системе произвольно расположенныхтел и экранов.

Это - задачи дифракции стороннего электромагнитного поля насистеме произвольно расположенных тел и экранов.Подобные задачи составляют важный аспект электродинамики. Вот уженесколько веков ведется разработка физической теории дифракции. Следуетотметить ученых, сделавших значительный вклад в ее развитие: Х. Гюйгенс, О.Френель, Г. Гельмгольц, Г.Р. Кирхгоф и др.

Значительным шагом вперед сталиработы А. Пуанкаре и А. Зоммерфельда, на основании которых можно сделатьвывод, что задача дифракции электромагнитного поля сводится к решениюуравнений Максвелла с некими краевыми условиями и условиями сопряжения.Зоммерфельдом было получено первое аналитическое решение на идеальнопроводящей полуплоскости [11, 12]. Данный факт имел большое значение дляисследования задач дифракции электромагнитной волны, и позволил сделатьмного важных выводов о поведении электромагнитного поля в окрестностикрая экрана.Одним из методов решения задач дифракции электромагнитной волны наразличных экранах и телах является метод поверхностных токов.

Онзаключается в сведении исследуемой задачи к интегро-дифференциальномууравнению или к системе интегро-дифференциальных уравнений [46].Основоположником данного метода является Пуанкаре. А. Мауэ в 1949 годупервым описал сведение краевой задачи к интегро-дифференциальномууравнению для поверхностного тока в случае плоского экрана [58].При решении задачи дифракции электромагнитной волны методомповерхностных токов особое внимание следует обратить на выбор пространств,в которых решается задача.

Пространство следует выбирать таким образом,чтобы обеспечивалась фредгольмовость системы интегро-дифференциальных4уравнений. Также выбранное пространство должно содержать все физическидопустимые поля.Численные методы, такие как метод моментов, метод Галеркина, длярешения задач дифракции на экранах различных форм стали применяться вконце 60-х годов.

Толчком к их активному применению послужила работаHarrington R.F. [53] в 1968 году. Но следует отметить, что данные методы небыли математически обоснованы в достаточной степени, к примеру, не быладоказана фредгольмовость уравнений, к которым сводились исследуемыезадачи. Обоснование применения численных методов сводилось к анализу ихвнутренней сходимости и сравнению результатов с аналитическими решениямизадач.Несмотря на отсутствие достаточного математического обоснования, всфере численного решения задачи дифракции на тонких экранах полученонемало результатов. Численному исследованию задач дифракции на экранахразличных форм посвящены монографии [6,10,53,62,70]. Численные методыдля решения задач дифракции также развивались, важную роль в их развитиисыграли работы [7,8,40,60,61,63]. В основном для решения задач дифракциииспользовались такие методы как метод моментов, метод конечных разностей,метод Галеркина с простейшими базисными и тестовыми функциями.

В работе[49] подробно описано состояние численного исследования задач дифракции нанынешний день. Но, несмотря на накопленный опыт и большие наработки вэтой области, развитие численных методов для решения задачи дифракции покане достигло определенной завершенности. Например, задачи дифракции врезонансном диапазоне частот, то есть в случае, когда размер рассеивателейсоизмерим с длиной волны, сложно решить численными методами даже сиспользованием мощных ЭВМ.Следует особо отметить решение задач дифракции на поверхностяхвращения. Такие задачи представляют собой частный случай, так как вконечномитогеихрешениесводитсякрешениюодногоилипоследовательности одномерных уравнений (зависит от симметричности5возбуждения падающего поля).

Аналитическому и численному решениюподобных задач посвящены работы [6,9,10,47,64,69]. Однако для анализаповедения падающего поля на экранах произвольной формы в общем случаеполученные методы решения задач не подходят.Также, кроме строгого решения задач дифракции на тонком экране, сталиразвиваться приближенные методы решения, например, асимптотическиеметоды [1,2,12,41,44]. Несмотря на их широкое применение, у них естьнесколько существенных недостатков, например, не решен вопрос о точностирешения и границах применимости, в особенности это важно для решениязадач дифракции в резонансном диапазоне частот.Таким образом, к 90-м годам прошлого века сложилась такая ситуация,что, несмотря на немалый опыт в численном решении задач дифракции натонких экранах, а также некоторые известные аналитические решения ирешения частных случаев, математическая теория дифракции не была доведенадо определенной завершенности в том смысле, что не была построена общаятеория разрешимости.

То есть не были доказаны такие фундаментально важныетеоремы как теоремы о существовании и единственности решения, теоремы опредставимости решения краевой задачи в виде векторного потенциала и т.д.В начале 1990-х годов в работах Ю.Г. Смирнова [14,33-35], былапостроена теория разрешимости (трехмерных) векторных электродинамическихзадач на незамкнутых поверхностях.

Данные задачи исследовались при помощитеории псевдодифферециальных операторов, действующих в пространствеСоболева сечений векторных расслоений [15,28,31,42]. Для задачи дифракциистороннегоэлектродинамическогополянанезамкнутыхповерхностях(экранах) был получен ряд теорем:- теорема о существовании и единственности решений краевой задачи длясистемы уравнений Максвелла в соответствующих пространствах;- теоремы о разрешимости уравнения на многообразии в подходящихпространствах;6- теоремы о регулярности (о гладкости решений) и исследованиеасимптотического поведения решений в окрестности края и угловых точекмногообразия;- теоремы о «скачках» предельных значений для векторных потенциаловили других представлений решений краевой задачи,получено несколько утверждений:- утверждения о представимости решения задачи в виде векторногопотенциала;- утверждение о зависимости решения уравнения и краевой задачи отпараметров,и представлено сведение краевой задачи к уравнению на многообразии скраем.Также, кроме исследования задачи дифракции электромагнитной волнына тонком экране, имеет место большой интерес к исследованию трехмерныхвекторных задач дифракции на диэлектрических телах [57,66].

В работеСамохина А. Б. [32] краевая задача для системы уравнений Максвелла сведенаксистемеинтегро-дифференциальныхинтегральныхуравнений.Рассмотренылибосистемевопросысингулярныхсуществованияиединственности решения этих систем. Доказано, что при определенныхограничениях на параметры среды (точнее на диэлектрическую проницаемость 0 и магнитную проницаемость  0 ) в области неоднородности операторсистемы интегральных уравнений (интегро-дифференциальных уравнений)является фредгольмовым в пространстве L2  Q  . Также доказано, что задачаимеет единственное решение при выполнении одного из двух условий:а.Im  x   0 при x  Q ;б.  x  изменяется непрерывно при переходе через границу Q .В работах M. Costabel [50, 51] представлен математический выводобъемныхинтегральныхуравненийвслучае,когдадиэлектрическаяпроницаемость имеет разрыв при переходе границы области неоднородности.7Также установлены свойства отображения и корректность полученныхобъемных интегральных уравнений в пространствах стандартных функцийсвязанных с энергией электромагнитного поля.

Получены результаты осущественном спектре объемного интегрального оператора в пространствеL2  Q  , и, в частности, неравенству Гординга, что важно для устойчивостичисленных алгоритмов, основанных на методе Галеркина.Также в монографии Колтона и Кресса [18] получены важные результатыотеорииразрешимостинеограниченныхобластях,векторныхвтомэлектродинамическихчиследоказанызадачвсуществованиеиединственность решения прямой задачи рассеяния электромагнитных волн внеоднородной среде. Вычисление эффективной поверхности рассеяния дляконечного конуса при падении на него плоской волны вдоль оси симметриипредставлено в работе Сигеля [65].

Но следует отметить, что полученныерезультаты являются частным случаем и корректны лишь в том случае, когда вкачестве объемного тела исследуется острый конус. В статьях Келлера [54,55]задача дифракции электромагнитных волн на объемном теле, представляющемсобой конечный круговой конус с плоским основанием или с основанием в видесферического закругления, исследуется с помощью концепции дифракционныхлучей. Однако, в книге Уфимцева [44] показано, что полученные выражениянеприменимы вблизи некоторых направлений облучения и наблюдения, исделан вывод о невозможности полного вычисления характеристики рассеянияэлектромагнитной волны с помощью концепции дифракционных лучей. ВработеВ.А.Фока[45]представленосведениезадачидифракцииэлектромагнитной волны на трехмерных телах к векторному интегральномууравнению относительно поверхностной плотности электрического тока.К числу распространенных численных методов решения задач дифракцииэлектромагнитных волн на телах различных конфигураций следует отнестиметоды конечных элементов и конечно-разностные методы.