Диссертация (Задачи дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов), страница 3

Третья главапосвящена реализации численного метода – вычислительного алгоритма длярешения задачи и анализу численных результатов.Впервойглаверассматриваетсяпостановказадачидифракцииэлектромагнитной волны на системе произвольно расположенных тел иэкранов. Далее перечисляются основные свойства решений уравненийэлектрического поля. Затем доказывается единственность решения задачидифракции, а далее приводится доказательство его существования.

Затем,применяя теорию потенциалов, сводим исследуемую задачу к системе интегродифференциальныхуравнений.Полученнаясистемапредставленав14операторном виде. Далее доказана фредгольмовость оператора в выбранныхпространствах.Вовторойглавеописываетсяалгоритмрешенияуравненияэлектрического поля для системы, состоящей из тел и экранов произвольныхформ. Производится выбор конечномерных подпространств и построениепроекционного метода Галеркина в выбранных подпространствах. В качествебазисных функций для метода Галеркина используются кусочно-линейныебазисные функции - «крышки» для тела и базисные функции «rooftop» дляэкрана. Введен новый вид базисных функций типа «rooftop», позволяющиймоделироватьповедениеэлектромагнитнойволнынакрестообразныхэлементах, например, уголковых отражателях.

Доказывается сходимостьметода Галеркина для случаев плоского экрана и системы, состоящей из тела иплоского экрана. Описываются дискретизация задачи на системе произвольнорасположенных тел и экранов, рассматриваются различные носители базисныхфункций.ПрименяяметодГалеркина,сводимсистемуинтегро-дифференциальных уравнений к системе линейных алгебраических уравнений.Перечисляются особенности блоков основной матрицы полученной СЛАУ.Также рассматривается субиерархический вычислительный алгоритм длярешения уравнения электрического поля.В третьей главе содержится описание численных результатов и сравнениеих с результатами, полученными в других работах. Сначала представленычисленные результаты на неплоских экранах следующих форм: экран крестообразной формы; уголковый отражатель; экран сложной формы; экран цилиндрической формы.Далеепредставленычисленныерезультатынателеформыпрямоугольного параллелепипеда.

Затем представлены численные результатына следующих системах непересекающихся тел и экранов:15 система, состоящая из тела, имеющего форму прямоугольногопараллелепипеда размером      и экрана прямоугольной формы   , где  - длина волны; система, состоящая из тела, имеющего форму прямоугольногопараллелепипеда размером  / 2   / 2   / 2 и экрана прямоугольнойформы    ; система, состоящая из тела внутри экрана цилиндрической формы; система, состоящая из тела и уголкового отражателя; система, состоящая из тела, окруженного уголковыми отражателями.Затем представлены численные результаты на системах пересекающихсятел и экранов: система, состоящая из тела, имеющего форму прямоугольногопараллелепипеда размером  / 2   / 2   / 2 и экрана прямоугольнойформы    , лежащего на верхней грани тела; система, состоящая из тела, имеющего форму прямоугольногопараллелепипеда размером  / 2   / 2   / 2 и экрана сложнойформы    , лежащего на верхней грани тела; система, состоящая из тела, имеющего форму прямоугольногопараллелепипеда размером  / 2   / 2   / 2 и экрана прямоугольнойформы    , пересекающего тело в середине одной из граней.Поведениепадающегополя,визуализированноеврезультатепроведенных расчетов, согласуется с теорией.16ГЛАВА 1 Свойства решений уравнений электрического поля1.1.1.Постановка задачи дифракции электромагнитной волны насистеме произвольно расположенных тел и экрановРассмотрим в пространстве R 3 задачу дифракции электромагнитныхволн на системе непересекающихся экранов  j и тел Qi ( j = 1,, J ; i = 1,, I ).Пусть =  j , i  j =  (i  j )jобъединение конечного числа связных ориентируемых незамкнутых инепересекающихся ограниченных поверхностей класса Cв R 3 .

Край j :=  j \  j поверхности  j есть кусочно-гладкая кривая, состоящая изконечного числа простых дуг классаC  без точек самопересечения,сходящихся под углами, отличных от нулевого;  :=  j . Предполагаем, чтоjэкраны являются идеально проводящими.Определим также трубчатые окрестности  края экрана: := {x  R 3 : dist ( x, ) <  } .Пусть Qi – ограниченные области. Границы Qi областей Qi являются кусочногладкими. А именно, следуя [37], предположим, что для каждой точки границыx0  Q2( Q : Qi , Q : Qi ) существует окрестность  (в R 3 ) и C-диффеоморфизм этой окрестности в R 3 , при котором точка x0 переходит вточку 0, а образом множества   Q является множество одного из следующихтипов (ниже x1, x2 x3 - декартовы; r,  , r  0 ,  S 2 - сферическиекоординаты в R 3 ).

Либо x1  0 ( x0 - точка гладкости границы); либо3x1  0, x2  0 ( x0 - точка на «выходящем» ребре); либо R x1  0, x2  0 ( x0 -точка на «входящем» ребре); либо r  0,   Q , где Q  S 2 - односвязнаяобласть с кусочно-гладкой границей Q ( x0 - вершина «конуса с ребрами»). В17частности, если Q - гладкая, то x0 - коническая точка; если Q образованадугами больших окружностей, то x0 - вершина многогранного угла.

Пусть Q ограниченная область, и каждая точка x Q принадлежит одному из этихтипов. Будем тогда говорить, что Q - область с кусочно-гладкой границей.Определим Q :=  Qi . Предполагаем, что Q   =  . Рассматриваемыеiтела могут быть диэлектрически неоднородными и анизотропными –неоднородность задачи описывается тензор-функцией  I, x  Q   c ( x) =  ex  Qi , i ( x),причем комплексные тензоры  i ( x ) симметричны, а их мнимые части –симметрические неотрицательные тензоры:  i =  iT , Im i  0.c3Введено обозначение M := R \ M , где M - некоторое множество.Свободное пространство однородно и изотропно c постоянными  e ,  e ,причем выполняются условия Im  e  0, Im e  0, Im ke  0, ke =   e e .Рассмотрим задачу дифракции электромагнитной волныE0 , H 0с itгармонической зависимостью от времени вида eна системе тел и экранов.Источником поля может быть, например, ток j0,E , локализованный внерассеивателей: supp( j0,E )  (  Q) = .Пусть P ( P   Pj ) - гладкая замкнутая ориентируемая поверхность,jсодержащая  ,   P , P , P – области, внешняя и внутренняя по отношениюк P.Требуется определить полное электромагнитное поле (E, H) :(E, H )  C1 (Q  )c C Qc\ C (Q)C (P >0\  ) C ( P \  ), (1.1) >0удовлетворяющее уравнениям Максвелла [13]18rotH = i E  j0,ErotE = ie Hусловиямнепрерывностикасательныхв (Q  )cкомпонентна(1.2)границеобластинеоднородности:[E ]|Q = [H ]|Q = 0,(1.3)(где  - касательный вектор к Q , E и H - касательные составляющиеэлектрического поля E 0 и магнитного поля H 0 , соответственно), краевымусловиям на поверхности экрана  (за исключением точек края экрана)E= 0,(1.4)условиям конечности энергии в любом ограниченном объеме пространства0E, H  L2,loc (R 3 ) = Hloc(R 3 )(1.5)и условиям Сильвера-Мюллера (см.

[18], стр 127)Es , H s = o(1 / r ),Imk > 0H s  er  Es = o(1 / r ), Es  er  H s = o(1 / r ) r  .Es , H s = O(1 / r ),Imk = 0,(1.6)для рассеянного поля Ε s  E  E 0 , H s  H  H 0 ( r  x , e r  x / r ).Определение 1.1. Решение E, H задачи (1.2)-(1.6), удовлетворяющееусловиям (1.1), будем называть квазиклассическим.1.2.Существование и единственность решения задачи дифракцииИмеет место следующая теорема [67].Теорема 1.1. Если задача (1.2)-(1.6) имеет решение, то оно единственно.Для того, чтобы доказать данную теорему, достаточно установить, чтооднородная краевая задача для рассеянного поля E s , H s может иметь лишьтривиальное решение.Сформулируем краевую задачу следующим образомrotH s = i Es,rotE=iHses[Es , ]|Q = [Hs , ]|Q = 0,19Es ,= 0.Также для E s , H s предполагаются выполненными условия излучения(1.6).Дополним экран  до произвольной кусочно-гладкой односвязнойзамкнутой ориентируемой поверхности V1 , охватывающей ограниченнуюобласть V1  R 3 и такой, что Q  V 1 = .Пусть B := BR (0) – шар достаточно большого радиуса R такой, чтоQ, V 1  B.

Пусть V2 = Q. Определим также области V3 := B \ (V 1  V 2 ) с границейV3 = B  V1  V2 и V4 =  B  .cДалее, un uобозначает производную u по направлению единичногоnвектора внешней нормали к рассматриваемой области.Рассматриваемую краевую задачу для рассеянного поля сведем к задачесопряжения в областях Vl (ниже приняты обозначения E l , H l для E s , H s в Vl ):= i eElrot H lrot El= ie H l rot H 2 rot E 2, l = 1,3,4;= i E 2= ie H 2E 2, |Q = E 3, |Q ;H 2, |Q = H 3, |Q ;E 3, |B = E 4, |B ;H 3, |B = H 4, |B ;E1, |V \ = E 3, |V \ ;11H 1, |V \ = H 3, |V \ ;11E1, | = E 3, | = 0;Условия Сильвера-Мюллера запишем следующим образом:20E 4 , H 4 = o(1 / r ),Imk > 0H 4  er  E 4 = o(1 / r ), E 4  er  H 4 = o(1 / r ) r  .E 4 , H 4 = O(1 / r ),Imk = 0,Применим лемму Лоренца (E  H  E  H, n)ds = ( j , H)  ( j , E)  ( j , H)  ( j , E)dVHVEHEVв ограниченных областях V1 ,V2 и V3 .Опишем подробно эту процедуру для неоднородной области V2 = Q.Вместе с исходной системой уравнений Максвелла rot H 2 = i E 2 rot E 2 = ie H 2рассмотрим также систему уравнений для комплексно-сопряженного поляE2 ,H 2 :rot H 2rot E 2= i E 2= i e H.2Заменяя E 2 на E 2 , получимrot H 2rot E 2В= i E 2= i e Hрезультате = i E 2  i (   )E 2= ie H 2  i ( e   e )H2примененияE = E 2 , H = H 2 , E = E2 , H = Hи22леммытокамЛоренцакполям jE  i E2 , jE = i(   )E 2 ,jH  ie H 2 , jH = i(e   e )H 2 , получим следующее равенство (EQ2  H 2  E 2  H 2 , n)ds =  i ((   )E 2 , E 2 ) dv  i (( e   e ) H 2 , H 2 ) dv .QQЗаменяя теперь E 2 на E 2 и учитывая свойства сред, получим (EQ2  H 2  E 2  H 2 , n) ds = i ((   )E 2 , E 2 ) dv.(1.7)QВ ограниченных областях V1 и V3 получаются аналогичные соотношения: (E  H1V1 \ 1 E 1  H 1, n)ds = i (( e   e )E 1, E 1 )dv,(1.8)V121(E3  H 3  E 3  H 3 , n)ds = i (( e   e )E 3 , E 3 )dv.QV1 \ B(1.9)V3Обозначим ψ   (E 3  H 3  E 3  H 3 , n)ds .