Диссертация (Задачи дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов), страница 4

Из условий излучения СильераBМюллера получимψ =  (E 3  H 3  E 3  H 3 , n)ds = 2Re  (E 3  H 3 , n) ds =BB= 2Re  ((H 3  n  o(1 / r ))  H 3 , n) ds = 2Re  (( H 3  n)  H 3 , n) ds  o(1) =BB= 2Re  (H 3  n, H 3  n)ds  o(1) = 2  | H 3  n |2 ds  o(1) = 2  | H 3, |2 ds  o(1)BBBСложим равенства (1.7), (1.8) и (1.9):2|H|ds(Im3, E 2 , E 2 )dv  (Im e H 2 , H 2 )dv BQQ   (Im  e E l , E l )dv    (Im e H l , H l )dv = o(1).l =1,3Vl(1.10)l =1,3Vlи рассмотрим несколько случаев.cПусть сначала Im > 0 всюду в  . Из условий излучения СильераМюллера и (1.10) следует сразу, что E, H  0 во всем пространстве.Если Im  ( x) > 0 в Q и Im  e = 0 в свободном пространстве, то |HB3,|2 ds   (Im  E 2 , E 2 ) dv = o(1).QТак как оба слагаемых здесь неотрицательны, то |H3,|2 ds = o(1), R  ;B(Im  E2, E 2 ) dv = 0 .QВ силу леммы Реллиха (см.

[13] стр.146) из первого равенства заключаем,что E s , H s  0 вне рассеивателей; из второго равенства следует E 2 , H 2  0 в Q.Наконец, если диэлектрическая проницаемость всюду вещественна иположительна в R 3 \  , снова из леммы Реллиха (см. [13] стр.146) получаемE s , H s  0 вне рассеивателей; равенство E 2 , H 2  0 в Q также сохраняется.Доказательство завершено.221.3.Сведение задачи дифракции электромагнитной волны насистеме тел и экранов к системе интегро-дифференциальных уравненийВыведем систему интегро-дифференциальных уравнений электрическогополя для сформулированной задачи дифракции.Представим полное электрическое поле в видеE  E0  E1  E2E0  C   R 3 где  C  P(1.11)–поле, – поле, рассеянное экраном (см.

стр. 17,18); так, что E  E  E , E  C   Q     C  Q \   C  Q  E1  C1 Q  c >0\  C  Pпадающее >0\ 1s12cc2поле, рассеянное телом Q .Поле  E0 , H0  есть решение краевой задачи:rotH0  i eE0  j0, Eв R3 rotE0  ie H0(1.12)Поле  E1, H1  , рассеянное экраном есть решение краевой задачи rotH1  i eE1rotE1  ie H1в R3 \ (1.13)с условиями излучения Сильвера-Мюллера:E1 , H1 = o(1 / r ),Imk > 0,H1  er  E1 = o(1 / r ), E1  er  H1 = o(1 / r ) r  ,E1 , H1 = O(1 / r ),Imk = 0(1.14)с условиями сопряжения:E1,   H1,   0QQ(1.15)E   E  (1.16)и граничными условиями:1,0,0Поле E1 будем искать в виде векторного потенциала (см.

[14] стр. 54)23E1  x    grad div  ke2   G  x, y  u  y  ds y(1.17)где G  x, y  1 exp  ike x  y , div – операция поверхностной дивергенции, а4x yu – неизвестная поверхностная плотность тока на  , представляющая собойкасательное векторное поле: u  v  0 на  , v – единичный вектор нормали к  .Рассмотрим "новое" падающее поле E0 , H0    E0 , H0    E1 , H1 иперепишем систему (1.2) в видеrotH  i eE  jE;rotEiHe(1.18)ток jE имеет вид:jE  j0,E  j p ,E ,где j0,E – токи, отвечающие полю  E0 , H0  , а j p ,E – ток поляризации в областиQ:j p ,E  i  ( x)   e I E.Поле E представим в Q через векторный потенциалA E  x    G  x, y  jE  y  dy(1.19)Qпо известным формулам (см.

[32])E  ie A E 1i egrad div A E(1.20)Из определения полей E0 , E1 и равенств (1.11), (1.18)-(1.20) получиминтегро-дифференциальное уравнение электрического поля  y 2E  x   ke  grad div  G  x, y   I E  y  dy  eQ  k  grad div   G  x, y u  y  ds y  E0  x  , x  Q.(1.21)2eQСледующее равенство дает представление поля вне тела и экрана:24  y E  x    k  grad div   G  x, y   I E  y  dy  eQ2ek2e grad div   G  x, y u  y  ds y  E0  x  , x  R \ Q   ,3(1.22)Для получения второго уравнения перейдем в (1.22) к пределу, опускаяточку x на  и взяв касательные компоненты всех членов уравнения:  y 2 I E  y  dy    ke  grad div   G  x, y  eQ  ke2  grad div   G  x, y u  y  ds y   E0,  x  , x (1.23)где E0, касательная составляющая падающего поля на экране.1  x   x Введем замену  I  E  J,  I    и перепишем систему e eуравнений (1.21), (1.23) в токах, умножив для симметрии второе уравнениесистемы на минус единицу: J   ke2  grad div   G  x, y J  y  dy Q  ke2  grad div   G  x, y  u  y  ds y  E0  x  ,x  Q,2   ke  grad div   G  x, y J  y  dy Q(1.24)  ke2  grad div   G  x, y  u  y  ds y   E0,  x  , x Вданнойсистемеслагаемыеk2e grad div   G  x, y  u  y  ds yиk2e grad div   G  x, y J  y  dy являются гладкими и особенностей не имеют, такQкак в случаях   Q и Q   точки x, y в функции Грина не будут совпадать.

В25диагональныхблокахgrad div  G  x, y J  y  dyслагаемыеиQgrad div  G  x, y  u  y  ds y являются сингулярными интегралами.Таким образом, получена система интегро-дифференциальных уравненийзадачи дифракции на системе объемных тел и тонких экранов.1.4.Фредгольмовость системы интегро-дифференциальныхуравненийРассмотренная краевая задача сводится к операторному уравнениюLV  f .(1.25)  x Здесь V =  J,u  , J   I  E – неизвестный вектор тока поляризации eв Q . Правая часть есть вектор f  (E0,Q , E0, ) , где E0,Q – сужение падающегополя на Q .Матричный оператор L имеет вид    A 0  0L = L1  L2 = K0S  2K1 ;0 (1.26)Операторы A, S и K i определяются равенствамиAJ :=  J ( x)  ( ke2  graddiv) G ( x, y ) J ( y ) dy,QSu :=  (ke2  graddiv) G ( x, y )u( y )ds y  ,K1u := (ke2  graddiv) G ( x, y )u( y )ds y ,K 2 J :=  (ke2  graddiv) G ( x, y ) J ( y )dy  .Qи рассматриваются как отображения в следующих пространствахAJ := L2 (Q)  L2 (Q) ,Su := W ()  W () ,K1u := W ()  L2 (Q) ,26K 2 J := L2 (Q )  W () .Пространство W = W () сечений векторных расслоений было введено вмонографии [14] (стр.

47) как замыкание пространства C0 () по норме 2uW = uЗдесь u21/221/2 divu21/2W:.обозначает норму в пространстве Соболева H 1/2 () , пространствоW  = W () – антидвойственное кW , т.е. пространство антилинейныхнепрерывных функционалов над W (см. [14] стр. 52). Решение уравнения (1.25)– пара (J , u)  L2 (Q)  W () .В данной системе интегральные операторы K1 и K 2 имеют гладкие ядра,так как в случаях   Q и Q   точки x, y в функции Грина не будутсовпадать. A и S являются интегро-дифференциальными сингулярнымиоператорами.Теорема 1.2.

([5] стр. 95) Оператор L : L2  Q   W     L2  Q   W    является обратимым.Доказательство.Всилуограничений, наложенных на тензордиэлектрической проницаемости оператор A является фредгольмовым в L2 (Q )(см. [3] стр. 510). Оператор S :W ()  W () фредгольмов, так как всюду внеэкрана выполнено условие ke  0 (см. [14]).

Следовательно, L1 – фредгольмов.Оператор L2 компактен, так как тело и экран непересекаются и, следовательно,ядра обоих операторов K1 и K 2 являются бесконечно дифференцируемыми.  Таким образом, L = L1  L2 – фредгольмов оператор выбранных пространствах.Теорема доказана.Покажемпредположениютеперь,чторешениеsupp( j0,E )  (  Q) =  ;(1.25)являетсяследовательно,гладким.E0,Q  C  (Q)ПоиssE0,  C  () . Из эллиптичности оператора A : H comp(Q)  H loc(Q) (см. [3]) игладкости K1u в Q (так как   Q =  ) следует, что J  C  (Q).

Аналогично,27эллиптичность оператора S (см. [14]) влечет гладкость u в . Таким образом,верноУтверждение 1.1. Если f  C   Q    и решение (J , u)  L2 (Q)  W ()системы (1.25) существует, то J и u бесконечно дифференцируемы вовнутренних точках Q и  , соответственно.Краткие выводы главы 1Таким образом, в первой главе была описана постановка задачидифракциинасистемепроизвольнорасположенныхтелиэкранов.Перечислены основные свойства решений уравнений электрического поля(1.25).

Сформулированы и доказаны теорема 1.1 о единственности и теорема1.2 о существовании решения задачи дифракции на системе произвольнорасположенных тел и экранов. Сформулирована и исследована системаинтегро-дифференциальных уравнений для задач дифракции электромагнитныхволн на системе произвольно расположенных тел и экранов.28ГЛАВА 2 Численные методы2.2.1.Проекционные методы. Метод ГалеркинаДля того чтобы перейти от системы интегро-дифференциальныхуравнений (1.25) к СЛАУ можно использовать проекционные методы, сутькоторыхзаключаетсявпроецированиинеизвестноговекторанаподпространства, имеющие конечную размерность.Ниже все операторы полагаются линейными.ПустьXгильбертово-пространство,операторL: X  X-ограниченный инъективный оператор.

Обозначим X n  X последовательностьподпространств размерности n , Pn : X  X n последовательность проекционныхоператоров. В соответствии с проекционным методом рассмотрим точноеуравнениеLu  f , u  X , f  X(2.1)И отвечающее ему приближенное уравнениеPn Lun  Pn f , un  X n(2.2)Этот проекционный метод называется сходящимся для оператора L , еслисуществует число N такое, что для каждого f  Im L ( Im L – образ оператораL ) приближенное уравнение (2.2) имеет единственное решение un  X n длявсех n  N , и если эти решения сходятся un  u (по норме пространства X )при n  к единственному решению u уравнения (2.1).В общем случае сходимость метода Галеркина будет только в случаевыполнениясвойствааппроксимации,тоестьтолькотогда,когдаподпространства X n предельно плотны в X :inf   u X nX 0, n  (2.3)для всех u  X (произвольный элемент из X может быть аппроксимированэлементами из подпространств X n с любой точностью в норме X ) .

Здесь ивсюду нижеX.29Если проекционный метод сходится, то верна оценка скоростисходимости (см. [51], [56]) n    M inf    X n(2.4)для некоторой константы M . Оценка (2.4) называется квазиоптимальной.В данной работе в качестве проекционного метода для решенияоператорных уравнений в гильбертовых пространствах будем использоватьметод Галеркина.Пусть Pn : X  X n - последовательность ортопроекторов, тогда un  X nбудет приближенным решением уравнения Lu  f тогда и только тогда когда Lun , g    f , g  g  X n ,(2.5)где ,  есть скалярное произведение в X .Определение 2.1.

Оператор L : X  X называется коэрцитивным, еслисуществует такая константа C , что выполняется следующее условие Lu, u   Cu2u  X .(2.6)Следует отметить, что если выполняется условиеRe  Lu, u   C u2u  X ,(2.7)Im  Lu, u   C u2u  X ,(2.8)или условието справедливо и (2.6), следовательно, оператор также является коэрцитивным.Определение 2.2.