Диссертация (Задачи дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов), страница 5

Оператор L : X  X называется эллиптическим, еслисуществует компактный оператор K : X  X , такой что оператор K  Lявляется коэрцитивным.Утверждение 2.1.[25] Пусть L : X  X – инъективный эллиптическийоператор и подпространства X n  X обладают свойством аппроксимации: длялюбого u  Xinf   u  0, n   . X nТогда метод Галеркина (2.5) сходится.30Таким образом, для сходимости метода Галеркина для уравнения синъективным эллиптическим операторомдостаточно выполнение условияаппроксимации.2.2.Базисные функции «rooftop» для экранаРассмотрим равномерную прямоугольную сетку на экране.

В качествебазисных функций будем использовать функции «rooftop» [52], которыеопределяются на носителе - паре смежных прямоугольников сетки, имеющихобщее ребро (рисунок 2.1).Рисунок 2.1 К определению базисной функции «rooftop»Каждомуребруiсоответствуетноситель,состоящийиздвухпрямоугольников, имеющих общее ребро i . Данная функция i ( x1 , x2 , x3 ) ,отвечающая ребру i , определяется по правилуli( x1  x1,i 1 , x2  x2,i 1 , x3  x3,i 1 ) S  в Piii ( x1 , x2 , x3 )  ( x  x , x  x , x  x ) li в P  ,i 1,i 1 1 2,i 1 2 3,i 1 3 Siгде li является длиной ребра i , Si и Si есть площади Pi  и Pi  , соответственно.Функции i ( x1 , x2 , x3 ) являются кусочно-постоянными, нормированиевыполнено таким образом, что функция в середине ребра равна единице, а награнице носителя нормальные (к границе) составляющие функции i ( x1 , x2 , x3 )равны нулю.2.3.Базисные функции «крышки» для телаОпределим сеточные базисные функции на теле как функции «крышки»(см.

[39] стр. 2264). Для этого зададим носители базисных функций - пары31соседних элементарных параллелепипедов, принадлежащих телу и имеющихобщую грань, расположенных вдоль одной из координатных осей (рисунок 2.2).Рисунок 2.2 К определению базисной функции «крышка»Пусть hi :| xi ,n  xi ,n1 |-шагсеткипонаправлениюi (i  1,2,3) ;i.

Для i  1xi ,n  xi ,0  (n  1)hi Определим функции  klm1  1 | x  x |, h1 1 1,k1 klm ( x1 , x2 , x3 )  0,x1,k  h1 < x1  x1,k  h1 ,x2,l  h 2 < x2  x2,l ,x3,m  h3 < x3  x3,m ,(2.9)иначе23Аналогично определяются функции  klmи  klm. Данные функции являютсякусочно-постоянными по двум направлениям и кусочно-линейными потретьему направлению.2.4.Сходимость метода Галеркина для базисных и тестовыхфункции «rooftop»2.4.1.

Сходимость метода Галеркина в задаче дифракцииэлектромагнитных волн на плоском экранеРассмотрим сходимость метода Галеркина для базисных функций«rooftop» в случае решения системы интегро-дифференциальных уравнений длязадачи дифракции электромагнитной волны на плоском экране.В случае плоского экрана задача дифракции электромагнитной волнысводится к интегро-дифференциальному уравнению [20,23]32gradA(divu)  k 2Au  f , x  ,(2.10)где A - интегральный оператор видаexp(ik x  y )u ( y )ds,x yAu  (2.11)где u  u  x    u1 , u2  , x   x1 , x2  , а операции «поверхностной дивергенции иTградиента» определены по формуламdiv u grad g u1 u2x1 x2gge1 e2x1x22e1 , e2 – орты декартовой системы координат в R .Пустьk  0.преобразованиеДляудобствапеременныхисследованияx1 : k x1 ,уравненияx2 : k x2 ,  k /k.выполнимРазделимуравнение (2.10) на   0 и, опуская штрих и сохраняя прежние обозначениядля переменной и правой части, получим1gradA(div u )   Au  f , x  (2.12)i x  yeAu  u  y  dy .x y(2.13)Будем считать, что f  C0    .

Это условие выполняется в случае, еслиисточники падающего поля расположены вне поверхности экрана.Для изучения задачи дифракции на плоском экране введемпространство векторных распределений W (см. [14] стр. 47). Для любоговещественного s положим:H s () : u  : u  H s  R 2  ,H s () : u  H s  R 2  :supp u   ,где u  - сужение u из R 2 на  .33Скалярное произведение и норма в H s  R 2  определяется обычнымобразом u, v s   2s_____uˆ   vˆ   d ,u s   u, u s ; : 1  22 1/2. 2  12  22Через û обозначено преобразование Фурье распределения u .

Здесь ивсюду ниже, где не указана область интегрирования, подразумевается интегралпоH s   R2 .индуцированнымиявляется(замкнутым)скалярнымподпространствомпроизведениемиH s  R2 нормой.сДалее,H s     H s  R 2  / H    ; в H s    вводится скалярное произведение и нормаsфакторпространства. Пространства H  s   и H    антидвойственны друг кsдругу при всех s  R ; H    можно получить замыканием C0    впространстве H s  R 2  (см. [16] стр.

210).В дальнейшем нас будут интересовать главным образом пространствавектор-функций,поэтомучерезu, vбудемобозначатьвекторыu   u1, u2  , v   v1, v2  и т.д. При этом в записи u  H s , H s уже понимается какTTдекартово произведение двух экземпляров пространства H s со скалярнымпроизведением и нормой u, v s   u1, v1 s   u2 , v2 s   u s  u1 s  u2 s   2222s2s_____uˆ    vˆ   d ,uˆ   d .2Сохраним те же обозначения для пространств в векторном случае, так какво всех ситуациях из контекста ясно, о каком пространстве идет речь.Определим гильбертово пространство W  W   как пополнение C0   по норме34u W 221uˆ   d  12  uˆ   dсо скалярным произведением u, v W  1_____uˆ    vˆ  d  1  _____  ˆ   u      vˆ    d . Норма в W может быть записана в видеu2W u divu1/2221/2Умножим уравнение (2.12) на произвольную функцию v  C0 () ипроинтегрируем по  , получим вариационное соотношение1 A  div u  ,div v W   Au , v W  ( f , v) L2   (2.14)Определение 2.3.

Элемент u W будем называть обобщенным решениемуравнения (2.12), если для любых v  C0    выполняется вариационноесоотношение (2.14)Исследуем уравнение (2.12) в пространстве W : u W , f  C    . Дляудобства определим оператор A на C    в видеAu   x xe 0 2  1  x x0u  x  dx eu  x  dx x  x02  x x ei x  x0e 0  2  1  x x0   x  x  exxxx200u  x  dx,(2.15)где   t   1 при t  diam   ,   t   0 при t  t0  2diam   - бесконечнодифференцируемая «функция - срезка».

Очевидно, что формулы (2.13) и (2.15)порождают один и тот же оператор (при x   - ограничение A на  ) и егоопределение не зависит от выбора функции  .Также будем рассматривать оператор A как псевдодифференциальныйоператор (ПДО)Au   a   uˆ   eix d , x (2.16)35с символом a  a   1 2(2.17)2Пусть Im  0 . Тогда будем использовать следующую ветвь квадратного корня1 22 2   2  Re  2   2   i sgn  Re    2   2  Re  2   2 2 2 2. (2.18)Представим символ ПДО (2.16) какa    b    2 12 b   ,(2.19) g   ,(2.20)13 ei x e x  2  1  x  g    F   x  e  xx2(2.21)где Fu есть преобразование Фурье элемента u .

Для функции g    C   R 2 верна следующая оценка (см [14])g    C 7/2(2.22)Следует отметить, что символы a   и a   соответствуют одному и тому жеоператору A (на  ).Пусть t  u, v  ограниченная полуторалинейная форма на (комплексном)пространствеW : t  u, v   C u W v W .

Тогда она однозначно определяетлинейный ограниченный оператор T : W  W по формуле [16]t  u, v   Tu, v W , v W .(2.23)Ограниченность формы достаточно проверять на C0    , посколькуC0    плотно в W . Саму форму t  u, v  также достаточно определять толькона C0    . Очевидно, что полуторалинейная формаu, Wпорождаетединичный оператор I : W  W . Рассмотрим полуторалинейную форму36t  u ,  : 1a   uˆ     d    a     uˆ        d(2.24)С символом a   , определенным по формулам (2.19)-(2.21).

Имеет местоследующее утверждение [14].Утверждение 2.2. Форма (2.24) определяет линейный ограниченныйоператор T  : W  W по формуле (2.23)Представим форму (2.23) в видеt (u, )  t0 (u, )  tk (u, ) ,(2.25)гдеt0 (u, ) : 11   uˆ     d1 2 123   uˆ        dУтверждение 2.3. Оператор Tk : W  W , порождаемый формой tk  u,  ,является ограниченным и компактным.Из оценки (2.22) и представления (2.25) получаем, чтоtk  u,   Tk u, W  C Tk u1/21.Полагая в этой оценке   Tk u , находим, чтоTk u2W C Tk u1/2Tk u1 C Tk uWTk u1,откуда имеемTk u W  C Tk u1.Учитывая непрерывность вложения W  H 1/2 () (см. [43] стр. 331) икомпактность вложения H 1/2 ()  H 1 () (см.