Диссертация (Задачи дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов), страница 8

Конечными элементами (или элементарнымиячейками)телаявляютсяпрямоугольныетрехиндексную нумерацию на теле:параллелепипеды.Введемj  ( j1 , j2 , j3 ) . Элементарные ячейки нателе определяются следующим образом: j1 , j2 , j3   x   x1 , x2 , x3  , jk hk  xk   jk  1 hk , k  1,2,3 ,где jk  0,..., n  1 .Далее введем базисные функции для аппроксимации решения.Базисные функции определяются на одном или нескольких конечныхэлементах. Совокупность конечных элементов  h , на которых определенабазисная функция  , называется носителем supp   h .

Носители базисныхhфункций на теле представлены на рисунке 2.8.52Рисунок 2.8 Примеры носителей базисных функций на теле каноническойформыКоличество носителей на теле Q составляет 3(n  1)n2 .2.5.3. Дискретизация задачи на системе произвольно расположенных тели экрановДля решения задачи методом Галеркина построим равномернуюрасчетную сетку на системе тел и экранов. Пусть рассматриваемая системасостоит из экрана  канонической формы, описанного выше и тела Q ,канонической формы, описанного выше. Разобьем экрани тело наэлементарные ячейки – конечные элементы. Элементарные ячейки на экране ителе и носители базисных функций определяются, как описано выше.Общее количество носителей составляет N  N1  N 2 , где N1  18 n  1 nколичество носителей на экране  , а N2  3(n  1)n2 количество носителей нателе Q .Применяя метод Галеркина к системе (1.25), приходим к решениюматричного уравненияLV = f .Здесь V – столбец неизвестных коэффициентов при базисных функциях,L – основная матрица СЛАУ, f – столбец правой части.Основная матрица имеет блочный вид53 L11 L12 .L   2122 LLБлочные матрицы, расположенные на главной диагонали, соответствуютрешению задачи дифракции только на теле и только на экране.

Матрицыявляютсякомплексносимметричными,нонесамосопряженными.Внедиагональные блочные матрицы являются транспонированными друг кдругу.Элементыматрицы,соответствующиерешениюзадачинателе,получаются путем вычисления трех- и шестикратных интеграловL11ij    ( x) ψ j ( x) ψ i ( x) dx    ke2  grad x div x   G  x, y ψ j ( y ) dyψ i ( x) dx .QQQЭлементы матрицы, соответствующие решению задачи на экране,получаются путем вычисления четырехкратных интеграловL22ij      ke2  grad x div , x   G  x, y  φ j ( y)ds y  φi ( x)dsx .1221Блоки Lij и Lij матрицы отвечают за взаимодействие полей на теле иэкране; элементы матрицы в данных блоках получаются путем вычисленияпятикратных интегралов по объему и поверхности122L12ij   A12ij  B ij     ke  grad x div , x   G  x, y  φ j ( y )ds y ψ i ( x ) dxQL21ij   Aij21  Bij21      ke2  grad x div x   G  x, y  ψ j ( y )dx  φi ( x)ds y .QЭлементы правой части f   f 1, f 2 Tматричного уравнения задаютсяформуламиfi1   E0 ( x)ψ i ( x)dx,Qfi2   E0, ( x)φi ( x) ds x .QВ блоках L11 и L22 интегралы являются слабосингулярными в случаяхнепустого пересечения носителей базисных функций; процедура избавления от54особенности изложена в [24, 26, 27].

Остальные элементы матрицы Lвыражаются через собственные интегралы Римана.Покажем, что блоки на побочной диагонали матрицы являютсятранспонированными по отношению друг к другу, т.е.L12ij = L21ji .Преобразуемвыражениядляматричныхэлементов,содержащиеоперации grad div , используя возможность внесения производных любогопорядка под знак интеграла.

Так как в рассматриваемой задаче экран является плоским и перпендикулярным оси x3 , то при вычислении касательныхкомпонент векторов следует учитывать только их первые и вторые координаты.То же верно и при вычислении операций касательного градиента идивергенции: f f u ugrad'x f : grad , x f  ,,0  , div , x u  1  2x1 x2 x1 x2 Применяя формулу интегрирования по частям и учитывая свойствабазисных функций, получимB12ij    grad x div , x G ( x, y )φ j ( y )ds y  ψ i ( x)dx =    div , x G ( x, y )φ j ( y )ds y  div x ψ i ( x)dxQQ=     grad'x G ( x, y )φ j ( y )ds y  div x ψ i ( x) dx =   grad' x G ( x, y )φ j ( y )div x ψ i ( x) ds y dx.QQАналогично,55Bij21    grad x div x G ( x, y ) ψ j ( y ) dy  φi ( x) ds x =   grad x  grad x G ( x, y) ψ j ( y ) dy  φi ( x) ds xQQ=    grad'x  grad y G ( x, y ) ψ j ( y )dy  φi ( x)ds x =   grad' x G ( x, y )div y ψ j ( y )dy  φi ( x)ds xQQ=    grad'x G ( x, y )div y ψ j ( y )dy  φi ( x)dsx =  grad' x G ( x, y )div y ψ j ( y )φi ( x) ds x dy QQ=  grad' y G ( y, x)div x ψ j ( x)φi ( y )ds y dx =   grad' x G ( x, y )div x ψ j ( x)φi ( y ) ds y dx.QQНаконец, из очевидного равенства2221A12ij   ke  G  x, y  φ j ( y )ds y ψ i ( x ) dx   k e  G  x, y  ψ i ( y )dxφ j ( x ) ds y  A jiQQ1221следует Lij = L ji .2.5.4.

Субиерархический вычислительный алгоритмДля решения задачи дифракции электромагнитной волны на системе тели экранов сложной формы будем использовать субиерархический метод [23,26]. Преимущество данного метода заключается в экономии вычислительныхресурсов при решении серии задач на телах и экранах различной формы,поскольку в этом случае используется матрица СЛАУ, полученная прирешении задачи дифракции на системе тел и экранов канонической формы.Опишем суть данного метода. Сначала решается задача дифракции наканонической системе тел и экранов. Затем, для задания геометрии системы G ,вводится вектор геометрии W , длина которого равна количеству носителей,которые могут быть построены на сетке для канонической системы.Заполним элементы вектора геометрии W нулевыми или единичнымизначениями: нуль, если шаблон носителей не определен на новой системе, иединица, если определен.

Новая система состоит из частичного объединенияносителей системы канонической формы.56Рисунок 2.9 Применение субиерархического методаНа рисунке 2.9 показано применение субиерархического метода в случаесистемы, состоящей из одного плоского экрана (фигура канонической формы).Здесь серым цветом показана новая фигура, а новая матрица СЛАУ являетсяподматрицей матрицы, полученной при решении задачи дифракции на фигуреканонической формы, с вырезанными столбцами и строками.В процессе решения СЛАУ итерационным методом, при умноженииматрицы A на вектор B поэлементно перемножаем полученный вектор U навектор геометрии W . U1,...,1   U1,...,1  W1,...,1  UUW1,...,21,...,21,...,2  ...

 ... UUW1, supp f...,q ,... G, ...,q 1,...    ...,q 1,... ...,q 1,...  W...,q,...U  U...,q ,......,q ,...  W ..., q ,...0, supp f...,q ,... G.  U ...,q 1,...   U ...,q 1,...  W...,q 1,...  ...  ... U  UW n ,...,n   n ,...,n n,...,n Согласно алгоритму, описанному выше, можно получить решение задачидифракции на системе произвольно расположенных тел и экранов, состоящейиз тел и экранов произвольных форм.Краткие выводы главы 2Вовторойглавебылописаналгоритмрешенияуравненияэлектрического поля для системы, состоящей из тел и экранов произвольныхформ.

Выбраны конечномерные подпространства и построен проекционныйметод Галеркина в выбранных подпространствах. Доказана теорема 2.6 о57сходимости метода Галеркина для задачи дифракции электромагнитных волнна системе, состоящей из плоского экрана и тела. Описаны вычислительныеалгоритмы для решения уравнения электрического поля. Описано применениесубиерархического метода для решения задачи дифракции электромагнитнойволны на системе произвольно расположенных тел и экранов произвольныхформ.583.3.1.ГЛАВА 3 Численные результатыЧисленные результаты на неплоских экранах сложных формРассмотрим значения модулей решения интегрального уравнения,полученных на фигуре сложной формы, представленной на рисунке 3.1.Рисунок.3.1 Экран крестообразной формыДанная фигура состоит из двух плоских экранов 1 и  2 , расположенныхперпендикулярно друг другу [29].

Экран 1 расположен в плоскости Ox1 x2 ,экран  2 расположен в плоскости Ox2 x3 . Размер экрана 1 равен размеруэкрана  2 и равен    . Волновое число k  2 . Падающая поле есть плоскаяволна, направляющий вектор которой расположен вдоль оси Ox2 . Размер сетки,построенной на фигуре, равен 32 вдоль каждой из осей.На рисунке 3.2 представлены значения модулей решения на плоскостиOx1 x2 вдоль оси Ox1 .59Рисунок 3.2 Значения модулей решения на плоскостиOx1 x2 вдоль оси Ox1В соответствии с теорией, нормальная компонента поверхностных токов,расположенная вдоль оси Ox2 , стремится к нулю, касательная компонентаповерхностных токов, расположенная вдоль оси Ox1 , неограниченно возрастает.На рисунке 3.3 представлены значения модулей решения на плоскостиOx1 x2 вдоль оси Ox2 .Рисунок 3.3 Значения модулей решения на плоскостиOx1 x2 вдоль оси Ox2В соответствии с теорией, нормальная компонента поверхностных токов,расположенная вдоль оси Ox1 , стремится к нулю, касательная компонентаповерхностныхтоков,расположеннаявдольосиOx2 ,неограниченновозрастает.На рисунке 3.4 представлены значения модулей решения на плоскостиOx2 x3 вдоль оси Ox2 .60Рисунок 3.4 Значения модулей решения на плоскостиOx2 x3 вдоль оси Ox2В соответствии с теорией, нормальная компонента поверхностных токов,расположенная вдоль оси Ox3 , стремится к нулю, касательная компонентаповерхностныхтоков,расположеннаявдольосиOx2 ,неограниченновозрастает.На рисунке 3.5 представлены значения модулей решения на плоскостиOx2 x3 вдоль оси Ox3 .Рисунок 3.5 Значения модулей решения на плоскостиOx2 x3 вдоль осиВ соответствии с теорией, нормальная компонента поверхностных токов,расположенная вдоль оси Ox2 , стремится к нулю, касательная компонентаповерхностныхтоков,расположеннаявдольосиOx3 ,неограниченновозрастает.61Рассмотрим значения модулей решения интегрального уравнения,полученных на фигуре сложной формы, представленной на рисунке 3.6.Рисунок.3.6 Уголковый отражательДанная фигура представляет собой уголковый отражатель.