2 часть (Ефимов А.В., Поспелов А.С. - Сборник задач по математике для втузов), страница 6

ТеоремыТеоремаоРоллсреднем[а, Ь], дифференг^ируемакрайнейТочки,пооднаf'(x)которыхвЛагТеорема[а, Ь]отрезкекрайнейраноднамеренанепрерывнаfib),=тоотрезкесуществует/'(С)чтотакая,называются0.—точкамистационарнымиКош[а, 6],отрезке(а,G/(а)(а,£/'(£)=•дифференцируемы6),д(х)6)и(а,ехприпосуществует(формулаа)—f(x)крайнейпосуществуеттотоот-нанепрерывнаЬ),чтотакая,функции£Ъши.Ь)(Ь(а,Ехпри£f(x)функцияЕслиа.жточка—ТеоремамереЛагранжа).#'(:r)^однаот-нанепрерывныw^лл0£тючкавсехЬ)(а,Gчтотакая,6.316.вточкахдвухПоказать,условиямэтойточкифункции.6.318.можетДоказать,иметь6.320*.х1=6.321*.[а, Ь]-мере(fix)однунаотрезке£.f(a))ibстационарнуюа)1что(/(ft)-на31++х0,=всеf(x)Да))на(а, Ь), тоа) имеет(а, Ь).f(x)-интерваледляфункции@,мо-имеющееко-1)соответствующееот-нанепрерывна(хнеинтервалекорней.интервале-интервале2—0=надействительныхфункцияЛагранжанайти1]стационарныеДоказать,64х—другихточкуформулу3).[—1,отрезкекорнейна-[0, 1],16ж4имеетесличтонавсе—ехдифференцируема-Записав6.322.Зж(проверьте!),и2)(х—уравнениенеДоказать,отрезкеF(x)что1—НайтиуравнениедействительныхразличныхДоказать,1)(хза0 действительны.—чтодвух1).кореньf'{x)уравнениякорнях2—Ролля.—нулюзаключениянарушенияfix)х(х—равна1]расположенныхпричинатеоремыf{x)Пусть6.319*.крайнейf'{x)производнаяфункциячтоудовлетворяет@,Каковаотрезка.[—1,отрезка(проверьте!),±vH)—концахнаРолля?6.317.триимеет^—Еехэтогопределамитеоремых^——(проверьте!).значениятолько5f{x)Функцияравныезначение£дифференцируемаиf(b)+—иf(x).функциих£0,точка(а, Ь)(а, Ь)£хпримереf(x)/(а)функцияЕслия.77функциях.дифференцируемыхТейлораФормулаоТейлораФормулафункциях.дифференцируемыхофункциякрай-по=\/За;3-Ь78Гл.равнанулюДифференциальное6.6.323.Доказать,что6),(а,f'(x)f(x)функциятоинтервале.6.324.Ь),(а,наэтом(а,Ь),Доказать,функциятоf (x)если/(х)если(а,£х-2КШ,еДоказать,что(а,интервалеМ.6.326*.(а,интервалеip(x)Ь)есличтоЗаписавх24Л-неопределенностейтипаха,=иметьможетпределпределаэтогоНахождениеспособовточки2х3^т(Ьнаинтер-тоf(x)иусло-Ъх4-а),—1+гдед(х)и—неопределеннос-f(x)функцииаТогдаиip(x)онобесконеопресобойпредставляетОднако—.обеотношениеихчтоговорят,ооэтоотношениеооточкехконечныйа,раскрытием—называетсятипаоснованноеНахо-бесконечный.илиОднимнеопределенности.неопределенностейЛопиталя-Бернулли,и-0пра-ооследующейнаявляется—носящейтеореме,имя.Теорема.функции6),удовлетворяет—соответственноили0раскрытияК,£.большие.-в->случае0типанеопределенностьхприэтомви(а,/(а)]—значениебесконечнообеилиf(x)f(x)длянайтиПустьооточкевнанаконстантойсРаскрытие—.0малыенечнои-определеноКоши[0, 2],[f(b)тоЛопиталя-Бернулли.Правило2.[а, Ь],наотрезкеf(x)функциятоipn(x)=функцияеслиформулунаМ,слагаемое.f'(x).infинтерваледифференцируемыf f(x)линейноеЛагранжа6.328.ихубывает)наЛипшицадваждыесличтоДоказать,теоремы=(р(х)ина6.327.вилоинтервалечто=условиюПустьf(x)Доказать,Ь).0,>f (x)supудовлетворяетотличаютсяусловиямизнаЬ).а<ж<6=0)<ЛипшицаусловиюКтакоех\,6.325.травэтомна(монотонновозрастаетудовлетворяетсуществуетлюбыхравной{ff{x)0>монотоннотождественнопостояннаинтервале.Функциядлячтоf(x)переменнойоднойпроизводнаяеслиинтерваленафункцийисчислениеf(x)хв некоторойПустьдифференцируемы<р{х)ииа,=являютсяодновременношимиприх~>пустьалибоипри<р'(х)Ф0вбесконечноэтомUокрестностивсюду,U.Еслифункциималыми,существуеттонких—быть,можеткроме,пределлибоf(x)бесконечноотношенияиафунксамой(р(х)явля-боль——у'(х)Теоремы§ 3.дифференцируемыхопроизводныхихотношенияи1.Используяе2хе2хБнекоторыхнеопределенностьраскрыть2е2х.иlimх->оA/A->1 при—-—1 -Ь25ж^25х2))+ж0.->5'-5>0неопределенностейраскрытиеслучаяхпотребоватьможет(т.V е.-arctgЪх1/получаем:=~>пределиоо.=а2_—-A),*->опосколькуе2хz->oarctg5xформулуlimкогдаслучае,втакжесуществует79причемlimНайти-).типа<3функции,применимоПримертогдатоа,самих——Правило~>хприТейлораФормулафункциях.неоднократноготипаО—ооЛопиталя-Бер-правилапримененияооили-нулли.2.ПримерНайтиlim(т.\ е.——х6ж->+оораскрытьнеопределенность00\типа—.оо/<]ПрименяяIn2limх5Наа2=In.lim-32ж=—r-31/ж,.lim-ж*5ж->+ооотношениеЗж^следуетпреобразова-толщественнымиэто0.=—zх->+ооЛопиталя-Бернуллиправилаприменениякомбинироватьтакжевычисленияполучаем:3xiJупрощающимипреобразованиями,справилолюбымидругимиприемамипределов.ность-.схт/(т.\ е.раскрытьнеопределен-A):формулуtgxsinX6).Используемlim\limх->0типаx->oНайти3.Пример<3——-—этапекаждомпользоватьсяx/x2 In,lim=——+A),формулудважды—sinж.=x6limз-»оA/cos2—х)3xz—1cosx*=-3lim1——cos3х—>80Гл.Дифференциальное6.Освободимдробизнаменатель1 припределосвободим3 причислитель—»хПосле1 -fупрощенийэтихtghmхtgхsin—x1hm=-вновьcos—6.335.lim2xxnсхах—афЬ,-,.r->0lnsinte';lim6.339..x->0x->+oAt9—:ос.liralim6.336.limlim2limlim(X—36.344..t->i-o1(х3)In(xv-„.3) ;,^З/д;оо|__—.111lim6.346.1 +x+lim6.342.•ar—aicsin3.7;ж->0—cosх,.6.334.6.340..lim6.345.0Xiz56от-D>ОСилиж—>^7*lim6.343.-Жa;tg—^-fUm6.341.sin—XSin—2xокончательный6.338.Xxсnsmaxж->0-—■—.тфп,,CLn—sinhmполучаем63306.330.lim6.337.пределЛопиталя-Бернулли.типаcosxlimlimx,и.X2Sin2.Tlim6.333.имеющегох/предел,правилукхх—>а6.332.кубовx=x->0прибегаяInlira6.331.6.348.cos—.т-»0неопределенности6.329.лhm0DРаскрыть6.347.1Л=X6неужехзамечательныйпервый1/2,sinX6x->0ответcos2x4cosимеетонA):сноваhmИспользуяпосколькуразностьж,числителеполучаем—ж->0Применяемвпеременнойоднойcos2множителястоящуюсомнояштеляот0.отРазвернем0.—»хфункцийисчислениеA+^topX)4In'/'lim—~,limЩЩ.AIn>m—x)0.Теоремы§3.дифференцируемыхоРаскрытиенеопределенностейх-)абольшаяконечно—>хприпреобразоватьследуетили00/кпользоватьПример,.(ч1//(х)/)Лопиталя-Бернулли.*-нsin(x•tg—27ГХ*1)f(x)limвыше.рассмотреннуютипаооИмеем:<\ис-[xcos/(х)где1,=limтоI,——:—-ф 1,-——f[x)получаем(хlim—бесконечно——оо),неопре-(fix)lim-vx->aIn3(раскрытьx)ip(x))='типанеопределенность—следуетраскрытьтоD>—.—оозатем27гх9sin"</?(х)итипаx-*a!1)—=гос•0.неопределенностьоо).(хlimх~>Такдалее<->,( 1ЕслиНайти5.;-Gr/2)(l/sin2Grx/2))lim—f(x)виду—•f(x)х~>а—сю),-неопределен-cos(x--l)lim=(^(x)),00жеПример2неопределенностиктипатт-тЕсли0и(раскрыть—x->i—(раскрытиеаразностьоо.——»л:неопределенностьtg•г—;(/(ж)limx—>aпреобразоватьбос--\—.lim—вычисленияпри-°°'2большие(неопределенностьVl/ip(x)типа—=Для-~~~твидуДля—оо.типаооsin(x-l)^->ictgGrx/2)тгх1) ;—оокр{х)анеопределенностинеопределенность^limималая,81оо).•ч(xsinбесконечно—кж->10Имеем:lim(раскрытие,.Найти4.типа<]ац>(х)видуправилоностьf(x)произведение0\-гдеТейлора0-оотипаf(x)tp(x),limвычислениятипаФормулафункциях.>+ооIn3-х)lim=(хVх>+оо1--^Xкак1п3.тlim=3limж—>+oo31п2х-A/х),lim=о—21nx(l/x)^-^1In,.lim=6ж->+оо\п2хЛlim3——-1ж=6nlim(x-Inж)limx—>+ooл:TOx>+oo,=+oo.\lx-^~n=161Лlim-=0.Гл.82Дифференциальное6.Раскрытьx{ellxlim6.349.ж>ооlim6.351.0типанеопределенности1).-•xne~x.lim6.356.limsin-.жlimInlimестьввбольшая,жвычислениебесконечновавслучаетретьемслучаевопервыхВовторомвсехх,случае—предел,являетсяслучаяхбольшой.бесконечно—1°°.имеющаядвухЛогарифмируяобразом.ж(/(ж))^функция,—вctg2предварительноу,получаемравенствоInпределlni/B)силувраскрытия6.i/,после^Iп/(х)=чегоB)находитсяипределкоторойизложенВовсехтрехслу-(проверьте!),0-оовыше.(limНайтиу.типанеопределенностьюявляется(раскрыть1H—уж->+ооXнеопределенность1°°).Введем=хнаходимтипается1).-выражениямалая,<р(х)же-оо°,0°,пределаслучаетретьемследующимПример</типа1п2/метод(жIn•( Дгlirn6-363.Функциямалой,(/(х))^ижxcosвидупервомединице.случаяхIn1).-12имеетсяПоступаем=I)ctg7r(a;xнеопределенностейслучаях2) ctgx.-lim6.360.Inx\ctga;Раскрытиебесконечноe'x-lim6.358.1равныйx.ж>1+06.359.бесконечноX)+(xж->1ж->оо/(ж)(exЖ—>0ж->0гдеV--In3xlim6.354.6.355.трехctgz\оо:—ж->ооlimGr-a:)tg|.6.357.(lim6.352.ооилиж->0ж-»оо6.353.ооlim6.350.переменнойоднойфункцийисчислениеобозначениенеопределенностьюу([I—\типа+оо-\ 2хxj j•0.2х).ТогдаПреобразуя\пу=2х\п([\выражение1 -\—In1\х) )j/кявля-виду§Теоремы3.понаходим>+ooу83Лопиталя-БернуллиправилуInlimТейлораФормулафункциях.дифференцируемыхо-^A/Alim2=1/х))A/.х)+L~Ji——1lim2=—\JX1,т->+оо2.=1 -fx->+oo1/XСледовательно,/limу'£-»+ooРаскрытьlim=1-fж—>+оо^sinx.lim6.364.(тг-2д:)СО8Х.(lim6.367.lim6.369.limx—>+oo{xж—»-foo(ctgrrI/1.lim6.370.I00:>+ж1^.limx->+0t>oc°,0/206.368.e2.=6.365.lim6.366.)0°,типанеопределенностиJxу2.F4j-lim6.371.x->tt/2-02x)l/x.(tgzJa;-\+16.372.limx1/^-1).6.373.6.374.Iim(cos2zK/x2.6.375.lim6.376.lim6.377.limB6.378.VФормула3.до=^tg^.-—Если6}точкиува,тодля{e—}{х)имеетнекоторойпроизводныеUs (a)окрестностивсякогох£Us(a)—справедливап)(порядкаТейлораф-ормулафункциявключительнопорядка<ZI 1 +-x/Тейлора.1)-го(nа\{х | \х-fжlimгде(остаточныйТейлорасуммычленпорядкамногочленаформевпозволяетпп-йЛагранжа).представитьстепенииостаточногоТакимфункциючлена.образом,у—формулаf(x)ввиде84Гл.6.Вчастности,Дифференциальноеaпридвучлена2х3Для6.380.2-гоТейлорах4порядкаточкевнайтиизначенияма)Р'@)Р(х)2, Р'"B)ПустьР"B)О,-и5х+-Р"A).Длязаданных6.382.у=ех.6.384.у=cos4х24-1+степенямпоразложитьх1.=0;б)0,функцийжРB)24.-Р'B)Р(-1),-1,=ВычислитьМаклоренаформулунаписатьв2.=степени,P(IV>B)-12,членследующимв)1;=4-й-остаточныйсоответствующеехТей-формулунаписатьЗаписать=многочлен—34-х—aзначениеаргумента:6.381.Зх2—многочленаЛагранжаформеимеем1.+хпеременнойоднойМаклорена).Многочлен6.379.0=(формулаО<0<1функцийисчисление=n-гопо-порядка:6.386*.у6.388*.6.391.уих/(хее=1)—у=многочленаееНаписать6.396.у=1/у/хвсзначениевычислитьнепревосходящей0.2-й—+х)а.aполученныеу2.1.3-й^8=уsin-оста-у.х2.+порядкаграфики2-годляфункциифункциидляфункцииданнойпорядкафункциейданнойграфики3-гопорядкадляданнойграфикиТейлораеефункциифункциии3-гопорядкафункциидляданнойграфикифункцииееистепени.используетсяизвестновточкеxqзначениесзначенийвычисленииприПусть,точности.f(x)если(без6.390.x.3-гоПостроитьширокое,у6.382-задачахстепени.степеньюфункцииsin2Тейлораформулузаданной=ТейлораПостроить0.==вМаклоренастепени.Построить3-йaх).степени.Тейлораточкеж.формулыфункций:членов=формулуточкеТейлораФормулаA3-йТейлорамногочленафункцииaaвуТейлораПостроитьНаписать6.395.arcsinx6.387.х2).Тейлорамногочлена+формулуформулуточкевA-ТейлораНаписатьtgxIn6.392.+точкевмногочлена6.394.уDIn=у=6.389*.Написать6.393.=е-*2!2.=sin6.385.следующихдляу=ппервыечлена)уМаклорена,формулынаписатьостаточногоуarctgx.=Используя6.387,х.6.383.требуетсянапример,абсолютнойэтойвы-погрешностью,функциииеепроиз-§Теоремы3.вводныхточкепоИза./(.то)гдедифференцируемыхоf'(n)Да)«Ш(хо+минимальный—Тейлораформулыf(n°Un)+номеровдляп,\Rn+l{x0)\ПримерВычислить7.ПрименяяМаклореиаабсолютнойсзначениеп,непогрешностью,f(x)функциик0в <<1, равноп0удовлетворяющееeT,=получаем6.397.^Вычислить0,001,a) sinl;б) у/е\в)Выяснить6.398.приближенных1 +«-х-Zб) s/TT^1 +~-оОстаточный\х\<1;-х2,У\х\<1,абсолютныепредельныеих-х2,охжчленПеанопревосходя-равенств:погрешности.Тейлораформулев0,001,^33.г)1,05;1)!чисел:следующихпроисхождениеа) Ч/ГТ^найтиIn-fнепогрешностью,значения<-г(пl+абсолютнойсприближенныепревосходящейусловиюСледовательно,6.=lиее°еНаименьшеегде<£.числоформулуа)п°,~которых0,001.превосходящей<3^-^Г1^+..85чтоследует,-п)изТейлораФормулафункциях.бытьможетзаписанформевRn+l(x)=o(\x-a\n),которойиспользованиеПримерУ<Такукак1—8.полезно]^limНайтиcos3х=limж->оAЪх2-————-^Ъх^7х3+cos.t)A—1XCOS■—:——г.х->о+cos3х7Xcos1#—-fпределов.вычисленииприlim.т->о+x3Acos2-—:bxzх),Ъх2аcost).+7х3~5х2,тоГл.86Дифференциальное6.Заменяяcosо(х2),-fегохl-cos3xhmЪх2х2поскольку=———ж->о-7х3+3,,5~cosxПо9.х21=-fBхsin2)-(Зд:sinх-+\хОтбрасывая—1—1 -f—в3)sinBтsin(Зх-.1)—2^—(г—v,Л—пПт——1h'3)—4(хж-»1высших1)—порядков,бесконечноэквивалентнымкх13(ДГ1, 1Ко{\х-1\).=малыезнаменателе——,1!-бесконечнои2)-;2(хСледовательно,т-sinBx1-sir-hmх->о3.x->ix-l+sinCx-3)Тейлораформулех2/2,.-Окончательно0.—>ххhmНайти3=5l~cos3x,.ттг,У-х2при—о(х2)+х->о,.ПримерУх2/2hmх2о(х2)-f—числителепеременнойполучаем,.<Маклоренаформулепоразложениемоднойфункцийисчисление+о(|хт.е.—1|)числи-впереходямалым0,—>хприполучаем1х-.6.399._J_оПоказать,sinфункцийзаписатьв+эквивалентныо(\х\)вычислитьчтои1формуле0(и,х=—->хпри<у(х)I 1'Vexarctgx,малой1ИспользуяразложениеМаклорена+ ж)1пAивседляможнофункцииэтиэквиэквива-Маклорена,формулепо4следовательно,собой).между6.400.ДI1>тпоarcsinx,хвиде-(ж-1)г1лразложениечтоtga;,ж,2)-Ч т(1 riбесконечноэквивалентныBZsin-I•вычи-пределы:a)ч\/1,.lim+хж->0§1.4.(соответственнох—;XИсследованиеиубывание<гдеХ2,f{x\)a?i,>1hmX'2иx2[убывающей)G (а,6),—cosx—тж~>0Ж3+т~;вследуетв)—sina;tg.xlimЖ3ж->0=Ж44-^—•графиковпостроениеЭкстремум.функции.возрастающейХ\б)функцийВозрастаниеназываетсянеравенствау/\—Функцияинтерваленеравенство(а,у6),/(zi)/(.т)=еслииз<не-§Если/(х)функциявсехпри(а,Gхвсех0 приВ простейших<разбитьЬ),Ь),случаяхчислоконечное0—всякой/'(.т)фх/(.то)f(x)(или(максимума)минимума(максимумом)называютсяее.тонкокрестности(хоговоря,условиясамойэтой1) Пусть5, .То+5)—Еслиf'(x)экстремума,при(хоGх5, хо)—Еслиминимума.тоточкаточкехо2) Пустьже}—-—.—05,то0<точка—примини-знак,сохраняетхо,О<}'(х)хофхэкс-f'(x)иS)+xqточка--еслидифференцируема/"(хо)требуются0,>0,<тохоточ-тоxqточка—дополнительныеточка—минимума.исследования.монотонностиинтервалыкритическойв/"(хо)Еслиточкииэкстремумах/производную:-2прих£прих(-оо,2-хПриравниваяее(сточками=0,тех1,=4-сс).точек,ХзОни2.=0>топриf[x)хGвозрастает(-оо,образом,областьразбивают0)нлUA.интервалах2)0),(О,иf'\x)критическимисуществует)не(—оо,е1),+ос).Таким2.=A,0)U@,производнаягдемонотонности:интервалаf'(x)хполучаемнулю,учетомХ2четыреB,5),+хоS),+хоxqможет,(xq,и6, х0)-а(хо,G—окрест-экстремума.——Uнепрерывнойнекоторойтомаксимума,(хо—-какт.е.<5, хо)—(.т0GхприхприеслихXiэкс-бытьзнаки,дваждытоточка--существует,исключением,(хоокрестности.Найти1.Находим0,заинтервалахточкаG/(х),/"(хо)fix)функции</(х)=невхо,вточкойееПример0хявляетсяфункцииЕслифункцииxq/'(.то)илиэкстремума>хоприфункциямаксимумаминимумоммаксимумадифференцируема—>некоторойв>мини---Если0=этомf'(x)то/'(т)нехоиижеипротивоположные5),/'(х)+хоJ(xq)числоэкстремума.}(х)приесли(хо,f(x)точкойминимуматочкиимеетпричем,G,тався-дляневерно.функциякритическойточки.производнаяин-которыхчто.то,называетсяфункции.этойвообщеи.точки.tq/(х),=/'(.то)тоточкаицизрнеравенствоточкаТочкиусловие/(.т),критическаяуможноэкстремума.ДостаточныефтоуточкамиОбратное,Uo(xq)выполняетсяфункциифункции.функции—f(x)=Каждыйточками,окрестность/(.то)),Необходимоеэкстремумаумонотонности.окрестности<этой<существует.этой.ТоО>/;(.т)жеинтервале.критическимитакаясуществуетточки/'(х)иеслифункцииинтерваловнеэтомопределенияограниченилиЕслинаЬ):(а,наубываетЬ)(а,интервалевозрастаетобластьS7графиковпостроениена/(л;)/(.?:)томонотонностиf'(x)идифференцируемафункциято(а,Gхнаинтервалов>функцийИсследование4.являются:определения1),(-ос,2)A,<0при0)иН-оо).B,иGхA,2),/(х)наТак@,убывает1)U88Гл.наинтервалахДифференциальное6.(/B)1/4),=(О,1)вточкеаудобнорезультаты-foo),B,ихчсвеститочкев1=атз2=таблицу:переменноймаксимумадостигает(/A)минимума—следующуюводнойфункцииисчисление0).=ПолученныеТаблица(-X,0)-oofix)+fix)условиечтопозволяетопределитьВ6.401*.ДоказатьизимеетравныхИсследовать6.403*.фкгДе/^(жо)<нечетное—xqточкойявляетсяxqкточке0,иточ-число,NЕиточкев(р(х)непрерывнаf(x)функциюxqточкевхо,=причемПусть=О,f(x)функциячтоимеетневхимеетточкиточкевХоэкстремума,найтиинтервалыэкстремума:6.404.у=6.405.у=6.407.у=жVI2х2х--2 sinж.6.406.у=-—.6.408.утх=О,=хточкефункцийуказанныхив0.д(х)ДлятожеО,убывания/(ж),функциифункцииеслиэкстремум/(*)Доказать,функциядостаточноготочкаЕслиточкев\>нет.нахо)/с</?(х),неприменимовторогомаксимума,хоусло-даннойпроизводная.число,0.<00точекэтой>\достаточноеусловиеперваячетное/^(xq)точкев0первоекритическихизпроизводных—1>сущ.+oo),4критическая—B2Лобобщениехоточкойминимума,ф,0)не2)(i,примерекеслиэкстремума(х<0Еслипричем—сущ.нулюк.6.402.0следующеенеэкстремума,—\Пустьпорядокточкойтоточкеэкстремума.перваяOOкаждойхарактердостаточноевтороенесуществуетвремяэтойв1рассматриваемомвжетокактакусловияинеЗаметим,функции.,г*2,0>@,1)04.1х-2Ых.=0.xq—0минимум,ахотявозрастанияиубы-§4.Исследование6.409.у6.411.?/In—я;arctgx.—(наименьшее)[а, Ь]отрезкеэтого6.410.у=ех6.412.у=ch3cos.т.1.+жиликритическихвf(x)функциинепрерывнойзначениедостигается89графиковпостроениеилиточках,након-наотрезка.Определитьна6.413.у-Зж46х2;+1;у=6.418.y=6.419.у=[-2,еслиследууказан.ноотрезокarctg—^;1Доказать11 +>f^f^;=[0, 4].in.