Курсовые АК3-41, 2014 (Огромное количество решённых курсовых), страница 7

Определить координаты тензоров S иR,полученные из тензорного поля Т соответственно опусканием иподниманием индексов. Определить ковариантные производные тензорови=0;=0;=0;=v;=;=u;=;=v;Решение:Вычислим коэффициенты линейной связности по формуле= ()(8)=0;=- ;=- ;=0;=- ;=0;=- ;Далее, вычислим значения ковариантной производной по формуле длятензоров 2 ранга:=(9)=0;=-1;=1;=0;=0;-+=0;=0;=1;=;Возьмём теперь тензорное произведение g и T и применим к немуоперацию свёртки.

Получим тензор S типа(2,0) ,координаты котороговычисляются по формуле =:=;Применим к тензору T операцию опускания индекса:==;Если опустить индексы у тензора S,должен получиться первоначальныйтензор Т.Выполним проверку:==0=0=0= .Возьмём ковариантные производные от тензоров=-+и=====0;=-==--===0;= ;= ;= ;;Выполним проверку:===;=Компоненты.являются компонентами тензора 4 ранга на поверхностиΣ, называемого тензором кривизны поверхности или тензором РиманаКристоффеля:=-+-,гдеКомпоненты тензорапомощью формулы:.кривизнывычисляютсяс=K, где К- гауссова кривизна,Остальные компоненты равны нулю.Полностью ковариантные компоненты тензора кривизны вычисляются поформуле=,Остальные=-,=0.Задание №7:Найдите компоненты3.итензора кривизны поверхности из задачиРешение:=;=;=;Остальные==0.=KdetgDetg==Остальные;=;=0.Задача №8:Вычислить тензор кривизны из задачи 6 и ковариантную производнуюэтого тензора в направлении поля Х.=Решение:E= ; G==;=K=;=-1;=Остальные==u,;.=,остальные=0;=v;Вычислим ковариантные производные найденных тензоров по формуле=+---:=0;=0;=0;=0;=0;=0;=0;=0;=0;=0;=0;=0;=0;=0;=0;=0;=0;=0;=0;=0;=0;=0;=0;=0;=0;=0;=0;=0;=0;=0;=0;=0.Cписок использованной литературы:1.Леви-Чивита Т.,Амальди У.

-Курс теоретической механики Том I,ОНТИ,1935,стр.297,2.Леви-Чивита Т., Амальди У. -Курс теоретической механики Том II,Изд-во ИЛ,1951,стр. 81,146,3.Методические указания к выполнению курсовой работыпо дифференциальной геометрии,4.Хорькова Н.Г., Чередниченко А.В.,-Элементы дифференциальнойгеометрии и топологии в пространствеИзд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана-2007,стр. 30-34,5.Дмитриенко Ю.И., Тензорное исчисление, Высшая школа,М.,2001.Министерство образования и науки Российской ФедерацииМосковский государственный технический университетИмени Н. Э.

БауманаАэрокосмический факультетКафедра: Вычислительная математикаи математическая физикаКУРСОВАЯ РАБОТАпо курсуДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯИ ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗАВыполнил: Зиневич М.Сгруппа:АК3-41Проверил:Щетинин А.Н.Москва – 2014ВведениеИстория науки.Дифференциальная геометрия — это один из разделов геометрии, в котором изучаются свойства кривых, поверхностей и других геометрических многообразий с помощью методов математического анализа, в частности— дифференциального исчисления. Возникла и развивалась дифференциальная геометрия вместе с математическим анализом, который сам в действительности базируется на геометрии. основные геометрические понятиялегли в основу соответствующий терминов анализа.

К примеру, понятие площади и объема предшествовалопонятию интеграл. Зародилась дифференциальная геометрия в XVIII веке. Ее появление связано с именамивыдающихся математиков того времени Эйлера и Монжа. Первое сводное сочинение по теории поверхностейбыла написано в 1795 году Монжем «Приложение анализа к геометрии». В 1827 Гаусс опубликовал работу«Общее исследование о кривых поверхностях», в которой изложил основы теории поверхностей в её современном виде. С этого момента дифференциальная геометрия получила официальный статус самостоятельнойотрасли математической науки.Научно-исследовательские работы по дифференциальной геометрии К.

Гаусса(1777 − 1855.), Г. Дарбу (1842 − 1917.), Л. Бианки (1856 − 1928.) и Л.Эйзенхарта (1876 − 1965.) были посвящены,главным образом, свойствам, проявляющимся в малой окрестности обычной точки многообразия. Предметэтих исследований стал сутью так называемой дифференциальной геометрии «в малом». Начиная с 1930-хгодов, исследования математиков были направлены, прежде всего, на изучение взаимосвязей между дифференциальной геометрией малых окрестностей и «глобальными» свойствами всего многообразия.

Эта теориюполучила название дифференциальной геометрией «в целом». Важную роль в развитии геометрии, и дифференциальной геометрии, в частности, сыграло открытие неевклидовой геометрии. В лекции «О гипотезах,лежащих в основаниях геометрии», прочитанной Риманом в 1854 году, были сформулированы основы новойгеометрии. впоследствии эта геометрия стала носить имя своего создателя. Сегодня риманова геометрия является наиболее развитой частью дифференциальной геометрии.Данная курсовая работа по дифференциальной геометрии , предназначена студентам группы АК3-41 специальности прикладная математика. Рассчитана на 4 семестр 2014 года. Так как курсовая работа проводитсяпараллельно с чтением курса, то в задание включены как стандартные задачи, так и задачи повышенной степени сложности.

Они отмечены специальным символом: ∗.В работе приведены минимальные теоретические сведения, необходимые для выполнения заданий, а такжепрактические расчеты.При выполнении заданий использовались математические и графические пакеты прикладных программ вычислительной системы Wolfram Alpha.1Задача №1. Найдите эволюту логарифмической спиралиr = eϕ .Теоретические сведения.Эволюта кривой — геометрическое место её центров кривизны.Координаты центра кривизны выражаются следующими формулами:ξ =x−ẋ2 + ẏ 2ẏ ,ẋÿ − ẍẏη=y+ẋ2 + ẏ 2ẋ.ẋÿ − ẍẏ(1)где x = x(t), y = y(t), t ∈ [a, b].Решение.Поскольку уравнение эволюты представлено в полярных координатах, необходимо перейти в равенствах (1) издекартовой в полярную систему координат.Связь декартовой системы координат с полярной:x = r cos ϕ,y = r sin ϕ.Учитывая что r = eϕ -уравнение логарифмической спирали , получим:x = eϕ cos ϕ,y = eϕ sin ϕ.По формулам (1) находим координаты центра кривизныξ = −eϕ sin ϕ = −y,η = eϕ cos ϕ = xВыполним преобразованиеπ+ ϕ)(2)2πππη = e(− 2 ) e( 2 +ϕ) sin( + ϕ)(3)2Из уравнений (2) и (3) следует, что эволюта логарифмической спирали r = eϕ , есть логарифмическая спираль, повернутая на угол ϕ0 = π2 .Сделаем рисунок.1—логарифмическая спираль: r = eϕ .2—эволюта исходной логарифмической спирали: r = eϕ .ππξ = e−( 2 ) e( 2 +ϕ) cos(2Задача №2.

Найдите натуральные уравнения кривой:x = 13et cos t,y = et (5 sin t + 12),z = et (12 sin t − 5).(4)Теоретические сведения.Пусть в пространстве задана криваяx = x(t),y = y(t),z = z(t),r = r(t),t ∈ [a, b].t ∈ [a, b].или в векторной формеКривизна k и кручение κ вычисляются по формулам:0000|r × r |,k=|r0 |300000(r , r , r )κ= 0.|r × r00 |2(5)Формулы k = k(s), κ = κ(s) , где s – натуральный параметр кривой(длина дуги ), называются натуральнымиуравнениями кривой.Решение.1) Вычисление производной.ẋ = 13et (cos t − sin t) ẏ = et (5 sin t + 5 cos t + 12) ż = et (12 sin t + 12 cos t − 5)ẍ = − 26et sin t...x = − 26et (sin t + cos t)ÿ = 2et (5 cos t + 6)z̈ = et (24 cos t − 5)...y = 2et (5 cos t − 5 sin t + 6) ...z = et (24 cos t − 24 sin t − 5)2) Нахождение натурального параметра.s=Z tp√ẋ2 + ẏ 2 + ż 2 dt = 13 3(et − 1).0Параметр s можно сдвигать .

Реализуем эту операцию.Тогда√s = 13 3etВычислив кривизну k и кручение κ по формулам (5) получим натуральное уравнение кривой:√21κ = κ(s) = − √k = k(s) = √ ,3s3s.Задача №3. Вычислите гауссову кривизну поверхности5x2 − 4xy + 2y 2 − z 2 = 24.Теоретические сведения.Если поверхность задана как график функции :z = z(x , y),3то гауссова кривизна вычисляется по следующей формуле:K=zxx zyy − z 2 xy.(1 + z 2 x + z 2 y )2(6)Гауссова кривизна характеризует тип точек на поверхности. При этом:• если K>0—точка на поверхности эллиптическая.• если K<0—точка на поверхности гиперболическая.• если K=0—точка на поверхности параболическая.Решение.5 − λ−2 −22 − λλ2 − 7λ + 6 = 0.λ1 = 6, λ2 = 1.Исходное уравнение примет вид:z 2 = 6x2 + y 2 − 24(7)Вычислим необходимые производные :zx = 6xzzy = yzx)zxx = 6(z−xzz2z−yzyzyy = z2zxy = −6xyz3Подставляя полученные значения производных в формулу (6) получим выражение для гауссовой кривизны:K=−144.(42x2 + 2y 2 − 24)2K<0, следовательно все точки поверхности -гиперболические.Пределы изменения гауссовой кривизны :K(0, 0) = −1≤K<0=limK(x, y)x→∞,y→∞4Задача №4Решение.Докажите, что геодезические на поверхностях с первой квадратичной формойds2 = (U (u) + V (v))(du2 + dv 2 )(эти поверхности называются поверхностями Лаувилля) находятся в квадратурах.Доказательство приведем по методу Якоби.4• Поверхностью Лаувилля называется поверхность ,которая допускает существование изотермической сети, образованной линиями двух биссекторно—геодезических полей.

Такая сеть называется сетью Лаувилля.• Изотермическая сеть — ортогональная сеть на поверхности евклидова пространства, малые четырёхугольники которой, образованные двумя парами линий из различных семейств, с точностью до бесконечно малых 1-го порядка являются квадратами. В параметрах изотермической сети линейный элементповерхности имеет вид:ds2 = (U (u) + V (v))(du2 + dv 2 ).(8)• Поле называется геодезически-биссекторным, если его вектор направлен по биссектрисе угла между векторами двух геодезических полей.Геодезический потенциал удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка в частных производных:4a = g ij ∂i a∂j a = 1(9)Для изотермических координат на поверхности с линейным элементом (8) уравнение (9) примет вид:(∂a∂a 2) + ( )2 = (U (u) + V (v))∂u∂v(10)а полный интеграл естественно искать в видеa = U1 (u) + V1 (v)Подставляя в (10),получим :00(U1 (u)) 2 − U (u) = V (v) − (V1 (v)) 2а вследствии независимости переменных это возможно только при условии:0U1 (u)) 2 − U (u) = c,0V (v) − (V1 (v)) 2 = c, c = constинтегрируя эти уравнения получим окончательноZ pZ pa=U (u) + c du ±V (v) − c dv.Дифференцируя по параметру c под знаками интегралов , получим искомое уравнение геодезическихZZdudvpp±= c1U (u) + cV (v) − cТаким образом, для нахождения конечного уравнения геодезических линий поверхности Лаувилля слинейным элементом (8) достаточно выполнить две квадратуры.Задача №5Вычислите коммутатор [X,Y] векторных полей X и Y.X : xy∂∂+x ,∂x∂y5Y : xy∂.∂yРешение.Коммутатор векторных полей X,Y вычисляется по следующей формуле:[X, Y ] = XY − Y X.(11)Отдельно вычислим:22∂∂∂∂∂∂∂XY = (xy ∂x+ x ∂y)(xy ∂y) = xy 2 ∂y+ x2 y 2 ∂x∂y+ x2 ∂y+ x2 y ∂y2.22∂∂∂∂∂∂Y X = (xy ∂y)(xy ∂x+ x ∂y) = x2 y ∂x+ x2 y 2 ∂x∂y+ x2 y ∂y2Подставляя полученные выражения в формулу (11) получим[X, Y ] = XY − Y X = (xy 2 + x2 )∂∂− x2 y .∂y∂xЗадача №6На сфере единичного радиуса с первой квадратичной формойds2 = du2 + cos2 u dv 2найти ковариантную производную ∇X T тензорного поля T типа (1,1) в направлении поля X.Определить координаты тензоров S и R ,полученные из тензорного поля T соответственно опусканием и подниманием индексов.Определить ковариантные производные ∇X S и ∇X R.v 012iξ = u,ξ = 0,T j=.0 0Решение.1) Определим метрическую матрицу и обратную к ней.110ijgij =g =0 cos2 u001cos2 u.2)∇X T = ξ 1 (∇1 T )i j + ξ 2 (∇2 T )i j .