Курсовые АК3-41, 2014 (Огромное количество решённых курсовых), страница 5

1. Эволюта31 − cos t· a(1 − cos t) = a(1 − cos t) −Рис. 2. ЭвольвентаЗадача №2.Найти натуральные уравнения кривой.Кривая задана в пространстве следующими уравнениями:x = et (3 cos t − 4),y = 5et sin t,z = et (4 cos t + 3)или в векторной форме:r(t) = (et (3 cos t − 4), 5et sin t, et (4 cos t + 3))Кривизна k и кручение κ кривой вычисляются по формулам:k=|ṙ × r̈|3 ,|ṙ|(ṙ, r̈, r̈)κ=2.|ṙ × r̈|ṙ = (et (3 cos t − 3 sin t − 4), 5et (sin t + cos t), et (4 cos t − 4 sin t + 3))r̈ = (−2et (2 + 3 sin t), 10et cos t, et (3 − 8 sin t))...r = (−2et (2 + 3(cos t + sin t)), 10et (cos t − sin t), et (3 − 8(cos t + sin t)))⃗iṙ × r̈ = et (3 cos t − 3 sin t − 4) −2et (2 + 3 sin t)tt5e (sin t + cos t) e (4 cos t − 4 sin t + 3) = e2t · [(15(sin t − cos t) − 40) · i − (25(cos t +10et cos tet (3 − 8 sin t)sin t)) · j + (30 + 20(sin t − cos t)) · k]⃗j⃗k4|ṙ × r̈| =√25 6e2t|ṙ| =(e2t )2 · ((15(sin t − cos t) − 40)2 + (25(cos t + sin t))2 + (30 + 20(sin t − cos t))2 ) =(et (3 cos t − 3 sin t − 4))2 + (5et (sin t + cos t))2 + (et (4 cos t − 4 sin t + 3))2 =√√25 6e2t2√k==· e−t15375 3e3tk=2· e−t152|ṙ × r̈| = 3750e4t t e (3 cos t − 3 sin t − 4)...(ṙ, r̈, r ) = −2et (2 + 3 sin t)−2et (2 + 3(cos t + sin t))250e3tκ=3750e4t1=15et (4 cos t − 4 sin t + 3) = 250e3ttt10e cos te (3 − 8 sin t)tt10e (cos t − sin t) e (3 − 8(cos t + sin t))5et (sin t + cos t)· e−t1κ=15· e−tНайдем натуральный параметр s:ts=t √√ t√|r (u)| du = 5 3eu du = 5 3eu  = 5 3et .′000√s = 5 3etset = √5 3Тогда получим следующие натуральные уравнения:√k=κ=s·s·52√31√33125 + 625e2t =√3750e2t =√e2t (9 + 16 + 25 + 9) = 5 3et√3|ṙ| = 375 3e3t√√Задача №3.Вычислить гауссову кривизну поверхности5x2 = 4xy + 2y 2 − 48z = 24Найти пределы изменения гауссовой кривизны и точки, в которых гауссова кривизна принимает экстремальныезначения.Приведем наше уравнение к каноническому виду:−2  = λ2 − 7λ + 10 − 4 = λ2 − 7λ + 62 − λ5 − λ −2λ2 − 7λ + 10 − 4 = λ2 − 7λ + 6 = 0λ1 = 1,λ2 = 6x2 + 6y 2 − 48z = 24x224y2+− 2z = 1 - уравнение эллиптического параболоида4Гауссова кривизна находится по следующей формуле:K=2zxx zyy − zxy(1 + zx2 + zy2 )y2x2z=48+81−2xzx =24y,zy =41zxx =241,zyy =4zxy = zyx = 01K=24 · 4x257622 =y2 1++576 1696 · (576 +Так как K > 0, все точки этой поверхности эллиптические.Исследуем функцию 576 + x2 + 36y 2 на экстремумы:f (x, y) = 576 + x2 + 36y 2 = 0∂f (x, y)∂x∂f (x, y)∂y= 2x= 72y6x23456+36y 2 )2=(576 + x2 + 36y 2 )2 2x = 0⇒ точка M0 (0, 0) - критическая точка72y = 0∂ f (x, y)A= =2∂x2 M02∂ f (x, y)C= = 72∂y 2 M02∂ f (x, y)B= =0∂x∂y 2M0∆ = AC − B 2 = 144 > 0,A>0⇒ В точке M0 функция 576 + x2 + 36y 2 достигает своего минимума,⇒ Гауссова кривизна достигает своего максимума в точке M0 (0, 0).1Пределы изменения гауссовой кривизны: 0 < K <Задача №4.Докажите, что поверхность с первой квадратичной формойds2 =du2 + dv 2(u2 + v 2 + c2 )2имеет постоянную гауссову кривизну.Составим метрическую и обратную к ней матрицы:222 2(u+v+c)0g ij = 222 20(u + v + c )10 (u2 + v 2 + c2 )2gij = 10(u2 + v 2 + c2 )2x1 = u, x2 = vВычислим символы Кристоффеля:1∂gki ∂gkj ∂gijmkΓm−)( j +ij = g2∂x∂xi∂xk1∂g11 ∂g11 ∂g112uΓ111 = g 11 (+−)=− 22∂u∂u∂u(u + v 2 + c2 )1∂g11 ∂g12 ∂g122vΓ112 = g 11 (+−)=− 22∂v∂u∂u(u + v 2 + c2 )7961∂g12 ∂g11 ∂g212vΓ121 = g 11 (+−)=− 22∂u∂v∂u(u + v 2 + c2 )1∂g12 ∂g12 ∂g222uΓ122 = g 11 (+−)= 22∂v∂v∂u(u + v 2 + c2 )∂g12 ∂g21 ∂g112v1Γ211 = g 22 (+−)= 22∂u∂u∂v(u + v 2 + c2 )1∂g12 ∂g22 ∂g112uΓ212 = g 22 (+−)=− 22∂v∂u∂v(u + v 2 + c2 )∂g22 ∂g21 ∂g212u1Γ221 = g 22 (+−)=− 22∂u∂v∂v(u + v 2 + c2 )1∂g22 ∂g22 ∂g222vΓ222 = g 22 (+−)=− 22∂v∂v∂v(u + v 2 + c2 )Вычислим компоненты тензора кривизны, используя следующее свойство симметрии тензора кривизны:iiRqkl= −RqlkТогда:11R112= −R12111R221= −R21222R112= −R12122R221= −R212iRqkl=1R111=1R112=1R1211R211∂xk∂Γ111∂u∂Γ112−−∂Γiqk∂xl∂Γ111+ Γipk · Γpql − Γipl · Γpqk∂u∂Γ111+ Γ111 Γ111 + Γ121 Γ211 − Γ111 Γ111 − Γ121 Γ211 = 0−+ Γ111 Γ112 + Γ121 Γ212 − Γ112 Γ111 − Γ122 Γ211 = 0∂u∂v1= −R112=0=∂Γ121∂u∂Γ112−∂Γ121∂u∂Γ112+ Γ111 Γ121 + Γ121 Γ221 − Γ111 Γ121 − Γ121 Γ221 = 0−+ Γ112 Γ112 + Γ122 Γ212 − Γ112 Γ112 − Γ122 Γ212 = 0∂v∂v2(u2 + v 2 + c2 ) − 2u(2u)∂Γ122∂Γ1212(u2 + v 2 + c2 ) − 2v(2v)=−+ Γ111 Γ122 + Γ121 Γ222 − Γ112 Γ121 − Γ122 Γ221 =+=∂u∂v(u2 + v 2 + c2 )2(u2 + v 2 + c2 )21R122=1R212∂Γiql4[(u2 + v 2 + c2 ) − u2 − v 2 ](u2 + v 2 + c2 )211R221= −R2121R221=1=R2222R111=2R1124[u2 + v 2 − (u2 + v 2 + c2 )](u2 + v 2 + c2 )2∂Γ122∂v∂Γ211−∂Γ122∂v∂Γ211+ Γ112 Γ122 + Γ122 Γ222 − Γ112 Γ122 − Γ122 Γ222 = 0−+ Γ211 Γ111 + Γ221 Γ211 − Γ211 Γ111 − Γ221 Γ211 = 0∂u∂u∂Γ2112(u2 + v 2 + c2 ) − 2u(2u)2(u2 + v 2 + c2 ) − 2v(2v)∂Γ21221222122=−+ Γ11 Γ12 + Γ21 Γ12 − Γ12 Γ11 − Γ22 Γ11 = −−=∂u∂v(u2 + v 2 + c2 )2(u2 + v 2 + c2 )284[u2 + v 2 − (u2 + v 2 + c2 )](u2 + v 2 + c2 )22R1212R2112R1222R2122R221=2−R112∂Γ2214[(u2 + v 2 + c2 ) − u2 − v 2 ]=(u2 + v 2 + c2 )2∂Γ221+ Γ211 Γ121 + Γ221 Γ221 − Γ211 Γ121 − Γ221 Γ221 = 0∂u∂u∂Γ212 ∂Γ212−+ Γ212 Γ112 + Γ222 Γ212 − Γ212 Γ112 − Γ222 Γ212 = 0=∂v∂v∂Γ222 ∂Γ221=−+ Γ211 Γ122 + Γ221 Γ222 − Γ212 Γ121 − Γ222 Γ221 = 0∂u∂v2= −R212=02=R222−∂Γ222∂v−∂Γ222∂v+ Γ212 Γ122 + Γ222 Γ222 − Γ212 Γ122 − Γ222 Γ222 = 0Скалярной кривизной называется следующий тензор Риччи:iR = g lq RqilТак как:g 12 = g 21 = 0и111111222222R111= R112= R121= R211= R122= R222= R111= R211= R122= R221= R212= R222=01R221=1R2124c24[u2 + v 2 − (u2 + v 2 + c2 )](u2 + v 2 + c2 )2=−(u2 + v 2 + c2 )24[(u2 + v 2 + c2 ) − u2 − v 2 ]=2R112=2R121=(u2 + v 2 + c2 )24c2=(u2 + v 2 + c2 )24[u2 + v 2 − (u2 + v 2 + c2 )](u2 + v 2 + c2 )24c2=−(u2 + v 2 + c2 )24[(u2 + v 2 + c2 ) − u2 − v 2 ](u2 + v 2 + c2 )24c2=(u2 + v 2 + c2 )2получаем:21=R = g 11 R121+ g 22 R2124c2 (u2 + v 2 + c2 )2(u2 + v 2 + c2 )24c2 (u2 + v 2 + c2 )2+(u2 + v 2 + c2 )2= 8c2Скалярная кривизна совпадает с удвоенной гауссовой кривизной:RR = 2K ⇒ K =2RK=2= 4c2 > 0 ⇒ кривизна положительна и постоянна, что и требовалось доказать.9Задача №5.Вычислите коммутатор [X, Y ] векторных полей X и Y .X = x∂x + y∂y ,Y = y∂xКоммутатор [X, Y ] вычисляется по следующей формуле:[X, Y ]f = (XY − Y X)fНайдем XY :∂2∂yXY = (x∂x + y∂y )(y∂x ) = x∂x+ xy∂y ∂∂∂2∂2∂222+y+y+y=xy+y∂x2∂y ∂x∂y∂x∂x2∂x∂y∂xНайдем Y X:+ xy∂∂2∂2∂∂222+y+y+y−y+xy=0∂x2∂x∂y∂x∂x∂x2∂x∂y∂[X, Y ] = xy∂x ∂x∂y ∂∂2∂2∂∂222+y+y+y=y+xy∂x2∂x ∂y∂x∂y∂x∂x2∂x∂y∂2∂x ∂Y X = (y∂x )(x∂x + y∂y ) = y2[X, Y ] = 0Задача №6.На сфере единичного радиуса с первой квадратичной формойds2 = du2 + cos2 udv 2найти ковариантную производную ∇X T тензорного поля Т типа (1, 1) в направлении векторного поля Х .

Определить координаты тензоров S и R, полученные из тензорного поля Т соответственно опусканием и подниманиеминдексов. Определить ковариантные производные ∇X S и ∇X R.ξ1 = 0ξ2 = vx1 = ux2 = vT =0v001gij = 0g ij1=00cos2 u01cos2 u10Вычислим символы Кристоффеля:∂gki ∂gkj ∂gij1mkΓm−)( j +ij = g2∂x∂xi∂xk1∂g12 ∂g11 ∂g21−)=Γ121 = g 11 ( 1 +2∂x∂x2∂x11∂g12 ∂g12 ∂g22−)=Γ122 = g 11 ( 2 +2∂x∂x2∂x11∂g22 ∂g21 ∂g21−)=Γ221 = g 22 ( 1 +2∂x∂x2∂x2∂g22 ∂g22 ∂g221−)=Γ222 = g 22 ( 2 +2∂x∂x2∂x212121· 1 · (0 + 0 − 0) = 0· 1 · (0 + 0 − 2 · (− cos u · sin u)) = cos u · sin u1·· ((− cos u · sin u) + 0 − 0) = −tgu2 cos2 u11·· (0 + 0 − 0) = 02 cos2 uНайдем ковариантную производную ∇X T :(∇X T )ij = ξ2 (∇2 T )ij∂Tji(∇X T )ij =(∇2 T )11(∇2 T )12(∇2 T )21===(∇2 T )22 =i+ Γikα Tjα − Γαkj Tα∂xk∂T11∂x2∂T21∂x2∂T12∂x2∂T22∂x2+ Γ121 T11 + Γ122 T12 − Γ121 T11 − Γ221 T21 = 0 + 0 · 0 + cos u · sin u · 0 − 0 · 0 − (−tgu) · v = v · tgu+ Γ121 T21 + Γ122 T22 − Γ122 T11 − Γ222 T21 = 1 + 0 · v + cos u · sin u · 0 − cos u · sin u · 0 − 0 · v = 1+ Γ221 T11 + Γ122 T12 − Γ121 T12 − Γ221 T22 = 0 + (−tgu) · 0 + 0 · 0 − 0 · 0 − (−tgu) · 0 = 0+ Γ221 T21 + Γ222 T22 − Γ122 T12 − Γ222 T22 = 0 + (−tgu) · v + 0 · 0 − cos u · sin u · 0 − 0 · 0 = −vtgu(∇X T )ij = ξ2 (∇2 T )ij = v · vtgu0v 2 tguv=−vtgu0−v @ tgu1Определим координаты Тензора S:Sij = gαi · TjαS11 = g11 · T11 + g21 · T12 = 1 · 0 + 0 · 0 = 0S12 = g11 · T21 + g21 · T22 = 1 · v + 0 · 0 = vS21 = g12 · T11 + g22 · T12 = 0 · 0 + cos2 u · 0 = 0S22 = g12 · T21 + g22 · T22 = 0 · v + cos2 u · 0 = 0Определим ковариантные производные (∇X S)ij :(∇X S)ij = ξ2 (∇2 S)ij(∇X S)ij =(∇2 S)11 =(∇2 S)12 =(∇2 S)21 =∂Sij∂xk∂S11∂x2∂S12∂x2∂S21∂x2α− Γαki Sαj − Γkj Siα− Γ121 S11 − Γ221 S21 − Γ121 S11 − Γ221 S12 = 0 − 0 · 0 − (−tgu) · 0 − 0 · 0 − (−tgu) · v = vtgu− Γ121 S12 − Γ221 S22 − Γ122 S11 − Γ222 S12 = 1 − 0 · 0 − (−tgu) · 0 − cos u · sin u · 0 − 0 · v = 1− Γ122 S11 − Γ222 S21 − Γ121 S11 − Γ221 S22 = 0 − cos u · sin u · 0 − 0 · 0 − 0 · 0 − (−tgu) · 0 = 011(∇2 S)22 =∂S22∂x2− Γ122 S12 − Γ222 S22 − Γ122 S21 − Γ222 S22 = 0 − cos u · sin u · v − 0 · 0 − cos u · sin u · 0 − 0 · 0 = −v · cos u · sin u vtgu1v 2 tguv=(∇X S)ij = ξ2 (∇2 S)ij = v · 20−v · cos u · sin u0−v · cos u · sin uВыполним проверку для (∇X S)ij :(∇X S)ij = giα · (∇X T )αj(∇X S)11 = g11 · (∇X T )11 + g12 · (∇X T )21 = 1 · v 2 tgu + 0 · 0 = v 2 tgu(∇X S)12 = g11 · (∇X T )12 + g12 · (∇X T )22 = 1 · v + 0 · (−vtgu) = v(∇X S)21 = g21 · (∇X T )11 + g22 · (∇X T )21 = 0 · v 2 tgu + cos2 u · 0 = 0(∇X S)22 = g21 · (∇X T )12 + g22 · (∇X T )22 = 0 · v + cos2 u · (−v 2 tgu) = −v 2 cos u · sin uv 2 tguv(∇X S)ij = 0−v 2 cos u · sin uОпределим координаты Тензора R:Rij = g αi · TαjR11 = g 11 · T11 + g 21 · T21 = 1 · 0 + 0 · v = 0R12 = g 11 · T12 + g 21 · T22 = 1 · 0 + 0 · 0 = 0v1R21 = g 12 · T11 + g 22 · T21 = 0 · 0 +cos2 u1R22 = g 12 · T12 + g 22 · T22 = 0 · 0 +·v =cos2 u·0=0cos2 uОпределим ковариантные производные (∇X R)ij :(∇X R)ij = ξ2 (∇2 R)ij∂Rijij(∇X R) =(∇X R)11(∇X R)12∂xk+ Γikα Rαj + Γjkα Riα∂R11=∂x2∂R12=(∇X R)21 =(∇X R)22 =∂x2∂R21∂x2∂R22∂x2+ Γ121 R11 + Γ122 R22 + Γ121 R11 + Γ122 R12 = 0 + 0 · 0 + cos u · sin u ·vcos2 u+ 0 · 0 + cos u · sin u · 0 = vtgu+ Γ121 R112 + Γ122 R22 + Γ221 R22 + Γ221 R11 = 0 + 0 · 0 + cos u · sin u · 0 + (−tgu) · 0 + (−tgu) · 0 = 0+ Γ221 R11 + Γ222 R21 + Γ121 R21 + Γ122 R22 =1vcos2 u+ (−tgu) · 0 + 0 ·+ Γ221 R12 + Γ222 R21 + Γ221 R21 + Γ222 R22 = 0 + (−tgu) · 0 + 0 ·(∇X R)ij = ξ2 (∇2 R)ij = v · vtgu01−cos2 uijВыполним проверку для (∇X R) =v · tgu cos2 u:(∇X R)ij = g iα · (∇X T )jα(∇X R)11 = g 11 · (∇X T )11 + g 12 · (∇X T )12 = 1 · v 2 tgu + 0 · v = v 2 tgu(∇X R)12 = g 11 · (∇X T )21 + g 12 · (∇X T )22 = 1 · 0 + 0 · (−v 2 tgu) = 0(∇X R)21 = g 21 · (∇X T )11 + g 22 · (∇X T )12 = 0 · v 2 tgu +1cos2vu·v =12cos2 uvcos2 u+0·1cos2 uvcos2+ sin u · cos u · 0 =v · tguvu+ (−tgu) ·v 2 tgu0vcos2 u−cos2v 2 · tgucos2 ucos2 uu+0·0=−cos2 u1v 2 · tgu2(∇X R)22 = g 21 · (∇X T )21 + g 22 · (∇X T )22 = 0 · 0 +·(−v·tgu)=−cos2 ucos2 uv 2 tgu0ij(∇X R) = 2 vv · tgu−cos2 ucos2 uЗадача №7.lНайдите компоненты Rijkи Rlijk Тензора кривизны поверхности из задачи 3.Для решения докажем соотношение:22g11 g12R211R212=K ·11R121R122g21 g22Пусть поверхность задается уравнениями x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), где x,y,z - евклидовы координаты пространства и (u, v) = (z 1 , z 2 ) - координаты на поверхности.