Курсовые АК3-41, 2014 (Огромное количество решённых курсовых), страница 2

Длякомпонент метрики на поверхности получимf  f 1, z  x ,  z 2  yz i z jg ij 0 , следовательно, всеP  (0, 0), все производныеz kg ij   ij В частности в точкесимволы Кристоффеля равны нулю. В такой точке имеем формулуiqklRГ qliz k 2 g qkГ qkiz l2 g2 g1  2 g  q il k  i l  q ik l  l qlk2  z zz z z z z z22221  g g g g R2121   1 212  1 121  1 221  2 112 2  z zz z z z z z 1z  x, z 2  yRiqklg11  1  zx2 , g12  g21  1  zx z y , g22  1  z 2y22 2 g112  g122  g 222z,zzz, 2 z xy2xyxx yyxy22yxyxТогда R2121  1  z xx z yy  z xy2  z xx z yy  z xy2  2 z xy2  2 z xy2   z xx z yy  z xy2  K , по определению2имеем, что K z xxz yxz xy, в точке P , где g ij   ij в выбранных координатах.z yyОднако гауссова кривизна K – это скаляр, R2121 - компонента тензора.

Ониравны лишь в выбранной системе координат, где det g ij  1  g . Легко видеть изопределения R , согласно которому R  g ql Rqili , чтоR  2det g ql R2121 2R2121  Rdet gijВ нашей системе координат g  1, R2121  K , поэтому в ней верно равенствоR  2K , так как R и K – скаляр, то это верно всегда. Тогда имеемR2121  Kg , Riqkl  gi Rqkl, R2121  g2 R121 Kg  g2 R121R121 Kg 2 g , g=(g11 g 22  g12 g 21 )1122R121 K ( g 21 )   R211,  R121 K ( g11 )  R211iii Rlkq Rqlk 0 , получаем, чтоИспользуя соотношение Rqkl1111R121 R211 R112 0  R11202222R121 R211 R112 0  R11201122Kg 2 g  R212,  R212 K ( g 22 )  R122, R212 K (  g12 )   R122iii Rlkq Rqlk 0 , получаем, чтоИспользуя соотношение Rqkl1111R212 R221 R122 0  R21102222R212 R221 R122 0  R2110iRqkl1111RГ qliz kГ qkiz l011Г111 Г111Г112 Г112Г 22Г 22Г 222 Г 222212 0, R111  0, R222  0, R222 0xxxxyyyyВ итоге получаем2 R211 1 R121222   R121R212 R122 g11K111R122 g 21   R211  R212 g12 g 22 Вернёмся к решению задачи: вычислим компоненты тензора кривизны поформулам2 R211 1 R1212221  z x2 z x z y    R121R212 R122 g11 g12  1K  K 21 1 R122 g 21 g 22    R211  R212  zx z y 1  z y R1122  R2211   R1212   R2121  K det gОстальные координаты равны нулю.Поверхность из задачи 3 задана уравнениемz  24  x 2  6 y 2zx  x24  x 2  6 y 2, zy  6y24  x 2  6 y 2Гауссова кривизна K из решения задачи 3 равнаK4(5 y  4) 22Вычислим элементы матрицы gij и её определительx224  6 y 2g11  1  z  1 24  x 2  6 y 2 24  x 2  6 y 26 xyg12  g 21  z x z y 24  x 2  6 y 22xg 22  1  z x2  1 36 y 224  x 2  30 y 224  x 2  6 y 224  x 2  6 y 21  z x2 z x z ydet g  (1  z x2 )(1  z y2 )  ( z x z y )2 2zx z y 1  z y2 24  6 y 2  24  x 2  30 y 2  6 xy24  30 y 222 22  22 24  x 2  6 y 2 24  x  6 y  24  x  6 y   24  x  6 y Вычислим компоненты тензора кривизны поверхности4(24  6 y 2 )R   R  K (1  z ) (5 y 2  4) 2 (24  x 2  6 y 2 )24 xy2121R212 R121  R122  R211 K ( zx z y ) 22(5 y  4) (24  x 2  6 y 2 )221121212x11R122  R212 K (1  z 2y ) R1122  R2211   R12124(24  x 2  30 y 2 )(5 y 2  4)2 (24  x 2  6 y 2 )4(24  30 y 2 )24  R2121  K det g 22222(5 y  4) (24  x  6 y ) (5 y  4)(24  x 2  6 y 2 )Задача 8.

Вычислите тензор кривизны из задачи 6 и ковариантнуюпроизводную этого тензора в направлении поля X .ds 2  du 2  cos 2 udv 2 - первая квадратичная формаT11  v, T12  0, T21  0, T22  0x1  u , x 2  v, 1  0,  2  v0  E1Решение. gij  2  0 cos u   F0 1Fij1 , g G0cos 2 u Вычислим координаты тензора кривизны по формуле2 R211 1 R121222   R121R212 R122 g11K111R122 g 21   R211  R212 g12 g 22 Остальные координаты равны нулю.Вычислим гауссову кривизну K по формуле ГауссаE Eu1KF Fu( EG  F 2 ) 2G Gu1Kcos 4 uEvEv Ev Ev  Fu   Fv  Gu    2 EG  F 2  EG  F 2 v  EG  F 2 u 1100000cos 2 u  sin 2u 01    sin 2u     10  2cos u   cos u u Находим координаты тензора кривизны2211R211  R121 1, R122  R212  cos 2 uВычислим производную тензора кривизны по формулеllll  x R ijk  m  m R ijk  1  1R ijk  2  2 R ijkl  m R  ijk dRijkldxm  lm Rijk mi Rl jk  mj Ril k  mk Riljl1  1R ijk  0 , т.к.

1  0(используем для вычисления производной символы Кристоффеля,полученные в задаче 6)1R111aaaa1 12 a R111  21Ra111   21R11a1   21R11a  02xR 22a222  a21Ra211   a21R12a1   a21R112 a   21R211  221R121 2 R 111  1112  22a R111x (tgu )(1  1)  01  2 R 111 1R112aaaa12121 12 a R112  21Ra112   21R11a 2   22R11a   21 R212   21 R122 2x ( tgu )(cos 2 u  cos 2 u )  01  2 R 112 2R112aaaa  22 a R112  21Ra212   21R12a 2   22R112 a  02x1R1211aaaa221R 12 a R121  21Ra1 21   22R11a1   21R121 a  122 R121  21R122 2 1212x sin u cos u  (tgu )(  cos 2 u )  02  2 R 112 2  2 R 121 2R121aaaa  22 a R121  21Ra221   22R12a1   21R122 a  0x 21R122a 12 a R122  a21 Ra1 22   a22 R11a 2   a22 R121 a  02xR 22aaaa212  21Ra222   22R12a 2   22R122 a   21R122 122 R121  2 R 122  1222   22 a R122x ( tgu )(  cos 2 u )  sin u cos u  01  2 R 122 1R211aaa11221  22Ra111   21R21a1   a21 R21  2 R 211  2  12 a R211a   22 R211   21 R212 x sin u cos u ( 1)  ( tgu ) cos 2 u  012R211aaaa2  22 a R211  22Ra211   21R22a1   21R21a  02x1R2121aaaa1R 12 a R212  22Ra112   21R21a 2   22R21 2 212a 02x2R2122aaaa212R  22 a R212  22Ra212   21R22a 2   22R212 a   21R212 122 R211 2 2122x tgu cos 2 u  sin u cos u ( 1)  02  2 R 211 1R221aaaa1 12 a R221  22Ra1 21   22R21a1   21R22a 02x2R2212aaaa22R  22 a R221  22Ra221   22R22a1  21R222 a  122 R121 122 R211 2 2212x  sin u cos u (1  (1))  01  2 R 221 1R222aaaa11111 12 a R222  22Ra1 22   22R21a 2   22R22a    22 R122   22 R212 x 2  sin u cos u (  cos 2 u  cos 2 u )  01  2 R 222 2  2 R 222 2R222aaa  22 a R222  22Ra222   22R22a 2   a22 R222 a  02xll 1  0,  2 R ijk  0    x R ijk  0 - производная тензора кривизна равна нулюСписок литературы1.

П. К. Рашевский – Курс дифференциальной геометрии – М.-Л.: ГИТТЛ, 19502. А. И. Погорелов – Дифференциальная геометрия – М.: Наука, 19743. Ю. И. Димитриенко – Тензорное исчисление – М.: Высшая школа, 20014. А. Н. Щетинин, Е. А. Губарева – Основы тензорного анализа – М.: Изд-воМГТУ, 2012Министерство образования и науки Российской ФедерацииМосковский государственный технический университетИмени Н. Э. БауманаАэрокосмический факультетКафедра Вычислительная математикаи математическая физикаКУРСОВАЯ РАБОТАпо курсуДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯГЕОМЕТРИЯИ ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГОАНАЛИЗАВыполнил:студент 2-го курсаБаланин А.С.Преподаватель:к.ф.-м.н., доц.Щетинин А.Н.Реутов – 2014Задача 1.

Найти эволюту трактрисы.tx = −a ln tg + cos t ,2y = a sin t.Если кривая задана параметрическими уравнениями, то координаты (ξ, η) центракруга кривизны выражаются формулами:ẋ2 + ẏ 2ẏ,ẋÿ − ẍẏξ =x−η=y+ẋ2 + ẏ 2ẋ.ẋÿ − ẍẏГеометрическое место центров кривизны данной кривой называется ее эволютой. Найдем ее уравнение :! 2 cos t11−sint=−a;−sint=−aẋ = −asin tsin t2 tg 2t cos2 2tẍ = −a=a−2(cos t) sin2 t − cos3 tsin2 t=a2 cos t sin2 t + cos t(1 − sin2 t)sin2 t=cos t(2 sin2 t − sin2 t + 1)cos t(sin2 t + 1)=a;sin2 tsin2 tÿ = −a sin t.ẏ = a cos t;tξ = −a ln tg + cos t −2a!!4costa2+ a2 cos2 t a cos t2sin t!!=cos2 tsin2 t + 1a sin t − a cos ta cos tsin tsin2 tcos t (cos4 t + cos2 t (1 − cos2 t))t == −a ln tg + cos t − a2cos2 t sin2 t − cos2 t sin2 t + 1tcos ttt= −a ln tg + cos t − a= −a ln tg − a cos t + a cos t = −a ln tg .22222sin t − sin t − 1a2η = a sin t +a= a sin t +cos4 tsin2 t!+ a2 cos2 t!cos2 ta sin t − a cos tsin t!(−a)sin2 t + 1a cos tsin2 tcos2 t=sin tcos4 t + cos2 t(1 − cos2 t)cos2 tcos2 ta(−a)=asint+a=.2222sin tsin tsin tsin t cos t − cos t(sin t + 1)Мы получили, что координаты центра кривизны равны:taξ = −a ln tg; η=.2sin t1Видно, что если применить к ξ функцию ch (), то получим: t −1t +explntgexplntg− a ln tg22ξtch = ch= ch ln tg==aa22! t1 t1 − cos t 1 1 − cos tsin t1 = tg == tg ++==2 2sin t 2sin t1 − cos tt 2tg2!!221−2cost+cost+sint1−cost111== 2=2sin t(1 − cos t)2sin t(1 − cos t)sin tt2–что в свою очередь равноη.aПолучаем, что :η = a chξ– уравнение эволюты трактрисы.aЗадача 2.

Найти натуральные уравнения кривой.Кривая задана в пространстве уравнениями:x = 3 ch t + 4t,z = 4 ch t − 3ty = 5 sh t,(a 6 t 6 b)или в векторной форме:r(t) = (3 ch t + 4t, 5 sh t, 4 ch t − 3t)(a 6 t 6 b).Формулыk = k(s),κ = κ(s)где k и κ – кривизна и кручение кривой, а s – натуральный параметр (длина дуги)называются натуральными уравнениями кривой.Для нахождения натуральных уравнений кривой вначале вычислим ее кривизну икручение, которые находятся по формулам:|r0 × r00 |k=,|r0 |3(r0 , r00 , r000 )κ=.|r0 × r00 |2r0 (t) = (3 sh t + 4, 5 ch t, 4 sh t − 3) ;r00 (t) = (3 ch t, 5 sh t, 4 ch t) ;r000 (t) = (3 sh t, 5 ch t, 4 sh t) .2~k~i~j000r × r = 3 sh t + 4 5 ch t 4 sh t − 3 = 3 ch t5 sh t4 ch t ~i(20 ch2 t − 20 sh2 t + 15 ch t) − ~j(12 sh t ch t + 16 ch t − 12 sh t ch t + 9 ch t) ++ ~k(15 sh2 t + 20 sh t − 15 ch2 t) = ~i(20 + 15 sh t) + ~j(−25 ch t) + ~k(20 sh t − 15);p2t + 625 ch2 t + 400 sh2 t − 600 sh t + 225 =|r0 p× r00 | = 400 + 600 sh t + 225 shp√= 625 + 625 ch2 t + 625 sh2 t = 25 ch2 t − sh2 t + ch2 t + sh2 t = 25 2 ch t;p|r0 |p= 9 sh2 t + 24 sh t + 16 + 25 ch2 t + 16 sh2 t − 24 sh t + 9 =√= 25 sh2 t + 25 ch2 t + 25 ch2 t − 25 sh2 t = 5 2 ch t;√|r0 |3 = 250 2 ch3 t;Подставляем все это в формулу для k:√25 2 ch t1√k==3250 2 ch t 10 ch2 t3 sh t + 4 5 ch t 4 sh t − 35 sh t4 ch t = −125;(r0 , r00 , r000 ) = 3 ch t 3 sh t5 ch t4 sh t (Результат смешанного произведения векторов был получен на сайтеWolframAlpha(перейти по ссылке));|r0 × r00 |2 = 625 · 2 ch2 t;Подставляем все это в формулу для κ:κ=− 125225 · 25 · 2 ch t=−1.10 ch2 tПолучилось, что кривизна k и кручение κ равны:k = −κ =110 ch2 tНайдем натуральный параметр s:Zts=Zt √t√√0|r (u)| du = 5 2 ch u du = 5 2 sh u = 5 2 sh t.000Так как ch2 t = sh2 t + 1, то из формул для k и κ получаем натуральные уравнения:k = −κ =s235+ 50Задача 3.

Вычислить гауссову кривизну поверхности.Поверхность задана уравнением F (x, y, z) = 0:5x2 − 4xy + 2y 2 + 6z 2 − 24 = 0Произведение главных кривизн поверхности K = k1 k2 называется гауссовой кривизной поверхности и вычисляется по формуле :K=2zxx zyy − zxy.(1 + zx2 + zy2 )2Прежде чем вычислять искомую гауссову кривизну, приведем поверхность к каноническому виду, для этого найдем ее собственные числа:5 − λ −2 −2 2 − λ = (5 − λ)(2 − λ) − 4 = 0λ2 − 7λ + 6 = 0 ⇒ λ1 = 1, λ2 = 6.Уравнение данной поверхности в новой системе координат:x2 y 2 z 2+ + = 1– уравнение эллипсоида.2444Вычислим гауссову кривизну в общем виде:rx2 y 2 z 2x2 y 2++=1–уравнениеэллипсоидавобщемвиде⇒z=c1−− .a2 b 2 c 2a2 b 2Вычисляя частные производные и подставляя их в формулу для гауссовой кривизны,получаем результат:1K=a2 b 2 c 2x2 y 2 z 2+ +a4 b 4 c 4!2 ·В нашем случае a2 = 24, b2 = 4, c2 = 4, подставляем и получаем:1K=224 · 4 · 422!2 =xyz++576 16 16576 · 576384 (36z 2 + x2 +36y 2 )2=864(36z 2 + x2 + 36y 2 )2·То есть:K=864(36z 2 + x2 + 36y 2 )2Так как исходная поверхность является эллипсоидом, то гауссова √кривизна будет достигать предельные значения на его концах, а именно в точках (± 24; 0; 0), (0; ±2; 0),13и (0; 0; ±2) ⇒ K меняется в пределах отдо .242То есть:136K62424Задача 5.