Курсовые АК3-41, 2014 (Огромное количество решённых курсовых), страница 3

Вычислить коммутатор [X, Y ] векторных полей X и Y .X : x∂x − y∂y ,Y : x∂x .Коммутатор векторных полей x и Y вычисляется из соотношения:[X, Y ] = ∂X (∂Y f ) − ∂Y (∂X f ) .Имеем:!!!∂∂f∂∂f∂f∂x−xx −y=x −y∂x∂y∂x∂x∂x∂y∂f∂ 2f∂f∂ 2f∂ 2f∂ 2f2x + x2−x−x= 0.−xy+xy∂x∂x2∂x∂y∂x∂x2∂x∂yИтак:[X, Y ] = 0Задача 6. В плоскости Лобачевского с заданной метрикой :А) Найти ковариантную производную ∇X T тензорного поля T типа (1, 1) в направлении векторного поля X;B) Определить координаты тензоров S и R, полученные из тензорного поля T соответственно опусканием и подниманием индексов;C) Определить ковариантные производные ∇X S и ∇X R.Дано:du2 + dv 2ds =,v2211222X = ξ X + ξ X = vX ,Tji=0 0.v 0А) Прежде чем находить ковариантную производную тензорного поля T определимкоэффициенты линейной связности (так называемые символы Кристоффеля), вычисляемые по формуле:!1∂g∂g∂giaijajΓlij = g la+−.2∂xi∂xj∂xaВ свою очередь примем: 2v −2 0v12ijx = u, x = v, (gij ) =, (g ) =0 v −20Вычисляем их:!1∂g∂g∂ga11a11Γl11 = g la+−;2∂u∂u∂xa!1∂g∂g∂g1∂g11a11a11Γ111 = g 1a+−= g 11+a2∂u∂u∂x2∂u50.v2!∂g11 ∂g111−+ g 121∂u∂x2∂g21 ∂g12 ∂g11+−∂u∂u∂x2!== 0;1= g 212!∂g11 ∂g11 ∂g111 22+−+g∂u∂u∂x12∂g21 ∂g12 ∂g11+−∂u∂u∂x2!!∂ga2 ∂g1a ∂g12+−;∂u∂v∂xa!∂ga2 ∂g1a ∂g121+−= g 11a∂u∂v∂x2!∂g12 ∂g11 ∂g121+−+ g 121∂u∂v∂x2∂g22 ∂g12 ∂g12+−∂u∂v∂x2!1 211v (−2) 3 = − ;2vv!1∂g∂g∂g1 21a21a12Γ212 = g 2a+−=g2∂u∂v∂xa2!∂g12 ∂g11 ∂g121 22+−+g∂u∂v∂x12∂g22 ∂g12 ∂g12+−∂u∂v∂x2!!∂ga1 ∂g2a ∂g21+−;∂v∂u∂xa!∂ga1 ∂g2a ∂g211 11+−=g∂v∂u∂xa2!∂g11 ∂g21 ∂g211 12+−+g∂v∂u∂x12∂g21 ∂g22 ∂g21+−∂v∂u∂x2!1 211v (−2) 3 = − ;2vv!1∂g∂g∂g1a12a21Γ221 = g 2a+−= g 21a2∂v∂u∂x2!∂g11 ∂g21 ∂g211+−+ g 221∂v∂u∂x2∂g21 ∂g22 ∂g21+−∂v∂u∂x2!!∂g12 ∂g21 ∂g221+−+ g 121∂v∂v∂x2∂g22 ∂g22 ∂g22+−∂v∂v∂x2!!∂g12 ∂g21 ∂g221 22+−+g∂v∂v∂x12∂g22 ∂g22 ∂g22+−∂v∂v∂x2!Γ211=1= g 2a2∂ga1 ∂g1a ∂g11+−∂u∂u∂xa!=1 2 11v 2 3= ;2vvΓl121= g la2Γ1121= g 1a2==== 0;Γl211= g la2Γ1211= g 1a2==== 0;Γl221= g la2Γ1221= g 1a2!∂ga2 ∂g2a ∂g22+−;∂v∂v∂xa!∂ga2 ∂g2a ∂g221+−= g 11a∂v∂v∂x2== 0;Γ2221= g 2a2∂ga2 ∂g2a ∂g22+−∂v∂v∂xa!1= g 212111= v 2 (−2) 3 = − .2vvТаким образом символы Кристоффеля оказались равны:11Γ111 = Γ212 = Γ122 = Γ221 = 0; Γ112 = Γ121 = Γ222 = − ; Γ211 = .vvКовариантная производная ∇X T тензорного поля T типа (1, 1) в направлении векторного поля X вычисляется по формуле:6=(∇X T )ij = ξ 1 (∇1 T )ij + ξ 2 (∇2 T )ij = v (∇2 T )ij .В свою очередь:∂Tji(∇2 T )ij =+ Γi2a Tja − Γa2j Tai , x1 = u, x2 = v;∂x2По этой формуле вычисляем компоненты искомой производной:∂T111+ Γ12a T1a − Γa21 Ta1 = Γ121 T11 − Γ121 T11 + Γ122 T12 − Γ221 T21 = 0;(∇2 T )1 =∂v∂T211(∇2 T )2 =+ Γ12a T2a − Γa22 Ta1 = Γ121 T21 − Γ122 T11 + Γ122 T22 − Γ222 T21 = 0;∂v∂T121∂v1(∇2 T )21 =+ Γ22a T1a − Γa21 Ta2 =+ Γ221 T11 − Γ121 T12 + Γ222 T12 − Γ221 T22 = 1 + v − v = 1;∂v∂vvv2∂T2(∇2 T )22 =+ Γ22a T2a − Γa22 Ta2 = Γ221 T21 − Γ122 T12 + Γ222 T22 − Γ222 T22 = 0;∂v 0 0i(∇X T )j =.v 0B) Координаты тензораиз соотношения: Sjk = gaj Tka .

−2 S находятсяv0В свою очередь gij =.0 v −2S11 = ga1 T1a = g11 T11 + g21 T12 = 0; S12 = ga1 T2a = g11 T21 + g21 T22 = 0;1S21 = ga2 T1a = g12 T11 + g22 T12 = ; S22 = ga2 T2a = g12 T21 + g22 T22 = 0;v0 0(Sij ) =;v −1 0Координаты тензораиз соотношения:Rjk = g aj Tak .

2R находятсяv 0В свою очередь g ij =.0 v2R11 = g a1 Ta1 = g 11 T11 + g 21 T21 = 0;R12 = g a1 Ta2 = g 11 T12 + g 21 T22 = v 3 ;R21 = g a2 Ta1 = g 12 T11 + g 22 T21 = 0;R22 = g a2 Ta2 = g 12 T12 + g 22 T22 = 0;0 v3ij.(R ) =0 0C) Ковариантные производные ∇X S и ∇X R определяем аналогично пункту A).∂Sij(∇2 S)ij =− Γa2i Saj − Γa2j Sia ;∂x2∂S11(∇2 S)11 =− Γa21 Sa1 − Γa21 S1a = −Γ121 S11 − Γ121 S11 − Γ221 S21 − Γ221 S12 = 0;∂v∂S12− Γa21 Sa2 − Γa22 S1a = −Γ121 S12 − Γ122 S11 − Γ221 S22 − Γ222 S12 = 0;(∇2 S)12 =∂v1∂S21− Γa22 Sa1 − Γa21 S2a = − 2 − Γ122 S11 − Γ121 S21 − Γ222 S21 − Γ221 S22 =(∇2 S)21 =∂vv11 1 1 11− 2++= ;vv v v v v2∂S22(∇2 S)22 =− Γa22 Sa2 − Γa22 S2a = −Γ122 S12 − Γ122 S21 − Γ222 S22 − Γ222 S22 = 0;∂v7(∇X S)ij =0v −10;0Выполним проверку полученного ответа исходя из соотношения: (∇X S)ij = gki (∇X T )kj .(∇X S)11 = 0, gk1 (∇X T )k1 = g11 (∇X T )11 + g21 (∇X T )21 = 0;(∇X S)12 = 0, gk1 (∇X T )k2 = g11 (∇X T )12 + g21 (∇X T )22 = 0;111(∇X S)21 = , gk2 (∇X T )k1 = g12 (∇X T )11 + g22 (∇X T )21 = 2 v = ;vvv(∇X S)22 = 0, gk2 (∇X T )k2 = g12 (∇X T )12 + g22 (∇X T )22 = 0.Проверка выполнена успешно.∂Rij(∇2 R) =+ Γi2a Raj + Γj2a Ria ;2∂x∂R11(∇2 R)11 =+ Γ12a Ra1 + Γ12a R1a = Γ121 R11 + Γ121 R11 + Γ122 R21 + Γ122 R12 = 0;∂v∂R12(∇2 R)12 =+ Γ12a Ra2 + Γ22a R1a = 3v 2 + Γ121 R12 + Γ221 R11 + Γ122 R22 + Γ222 R12 =∂v113v 2 − v 3 − v 3 = v 2 ;vv21∂R(∇2 R)21 =+ Γ22a Ra1 + Γ12a R2a = Γ221 R11 + Γ121 R21 + Γ222 R21 + Γ122 R22 = 0;∂v∂R2222+ Γ22a Ra2 + Γ22a R2a = Γ221 R12 + Γ221 R21 + Γ222 R22 + Γ222 R22 = 0;(∇2 R) =∂v 0 v 3 ij(∇X R) =;0 0ijВыполним проверку полученного ответа исходя из соотношения:(∇X R)ij = g ki (∇X T )jk .(∇X R)11 = 0; g k1 (∇X T )1k = g 11 (∇X T )11 + g 21 (∇X T )12 = 0;(∇X R)12 = v 3 ; g k1 (∇X T )2k = g 11 (∇X T )21 + g 21 (∇X T )22 = v 2 v = v 3 ;(∇X R)21 = 0; g k2 (∇X T )1k = g 12 (∇X T )11 + g 22 (∇X T )12 = 0;(∇X R)22 = 0; g k2 (∇X T )2k = g 12 (∇X T )21 + g 22 (∇X T )22 = 0.Проверка выполнена успешно.lЗадача 7.

Найти компонентыRijkи Rlijk тензора кривизны поверхности из задачи3. Систему координат выбрать самостоятельно.Для решения докажем соотношение: 22R211 R212g11 g12=K·11R121R122g21 g22Пусть поверхность задается уравнениями x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), где x,y,z- евклидовы координаты пространства и (u, v) = (z 1 , z 2 ) - координаты на поверхности.Выберем в исследуемой точке P = (0, 0), где ось z нормальна к поверхности, в качествепараметров u = z 1 = x, v = z 2 = y. Тогда поверхность около точке P запишется уравнением z = f (x, y), где gradf |P = 0. Для компонент метрики на поверхности получим:8gij = δij +∂f ∂f 1, z = x, z 2 = y.ij∂z ∂z∂gij= 0.

Поэтому в этой точке Γkij = 0. В такойВ частности, в точке P = (0, 0) все∂z kточке имеем формулуiRqklRiqkl1=2R2121∂Γiql ∂Γiqk=−,∂z k∂z l∂ 2 gil∂ 2 gqk∂ 2 gik∂ 2 gql+−−∂z q ∂z k ∂z i ∂z l ∂z q ∂z l ∂z i ∂z k!.1 ∂ 2 g21∂ 2 g12∂ 2 g11∂ 2 g22= ( 1 2 + 2 1 − 2 2 − 1 1)2 ∂z ∂z∂z ∂z∂z ∂z∂z ∂zz 1 = x, z 2 = yПри этом:g11 = 1 + zx2 , g22 = 1 + zy2 , g12 = zx zy = g21∂ 2 g11 2 = 2zxy∂y 2 P∂ 2 g22 2 = 2zxy∂x2 P∂ 2 g12 2 = zxx zyy + zxy∂x∂y PОкончательно имеем:122222R2121 = (zxx zyy + zxy+ zxx zyy + zxy− 2zxy− 2zxy) = zxx zyy − zxy=K2По определениюK = detzxx zxy!zyx zyyв точке P , где δij = gij в выбранных координатах.

Однако гауссова кривизна К - этоскаляр, а R2121 - компонента тензора. Они равны лишь в данной, избранной, системекоординат, где gij = δij , detgij = 1 = g. Легко видеть из определения R, согласно котоiрому R = g ql Rqil, чтоR = 2det(g ql )R2121 =22R2121 = R2121 = R.det(gij )gВ нашей системе координат g = 1 и R2121 = K. Поэтому в нашей системе координатверно равенство R = 2K; так как R и K - оба скаляры, то это верно всегда.Тогда имеем:9R2121 = KgαRiqkl = giα RqklαR2121 = g2α R121Тогда:αKg = g2α R121αR121= Kg 2α g, где g = (g11 g22 − g12 g21 )11R121= K(g 21 (g11 g22 − g12 g21 )) = K(−g21 ) = −R21122−R121= K(g 22 (g11 g22 − g12 g21 )) = K(g11 ) = R211Используя соотношения:iiiRqkl+ Rlqk+ Rklq=0получаем, что1111R121+ R211+ R112= 0 ⇒ R112=02222R121+ R211+ R112= 0 ⇒ R112=0α= Kg 2α gR21211= K(g 11 (g11 g22 − g12 g21 )) = K(g22 ) = R122−R21222= K(g 12 (g11 g22 − g12 g21 )) = K(−g12 ) = −R122R212Используя соотношения:iii=0+ Rklq+ RlqkRqklполучаем, что1111R212+ R221+ R122= 0 ⇒ R221=02222R212+ R221+ R122= 0 ⇒ R221=0∂Γiql ∂Γiqk−=0∂z k∂z l∂Γ111 ∂Γ111=−=0∂x∂x∂Γ211 ∂Γ211−=0=∂x∂x∂Γ122 ∂Γ12=−=0∂y∂yiRqkl=1R1112R1111R2222R222∂Γ222 ∂Γ22=−=0∂y∂y⇒22R211R21211R121 R122=22−R121−R12211−R211 −R21210g11 g12=K·.g21 g22Вернемся к решению задачи:r864x2 y 2− , K=z =2 1−·244(36z 2 + x2 + 36y 2 )2Вычислим компоненты метрической матрицы и ее определитель:16x236z 2 + x2g11 = 1 + zx2 = 1 +=;576z 236z 216xyxyg12 = g21 = zx zy == 2;24 · 24z6zxy36z 2 + x216y 2 z 2 + y 226z 2 2 =⇒(gij ) =  36zg22 = 1 + zy2 = 1 +.222z +yxy16zz6z 2z2 36z 2 + x2xy 36z 4 + x2 z 2 + 36y 2 z 2 + x2 y 2 − x2 y 222 6z|gij | = 36z==z2 + y2xy36z 46z 2z236z 2 + x2 + 36y 2.=36z 2Воспользуемся доказанными ранее соотношениями и получим:24(36z 2 + x2 )22;R211 = −R121 = K · g11 = 2z (36z 2 + x2 + 36y 2 )2144xy22R212= −R122= K · g12 = 2;z (36z 2 + x2 + 36y 2 )2144xy11;R121= −R211= K · g21 = 22z (36z + x2 + 36y 2 )2864(z 2 + y 2 )11= K · g22 = 2= −R212R122;z (36z 2 + x2 + 36y 2 )2Остальные координаты равны нулю.