Курсовые АК3-41, 2014 (Огромное количество решённых курсовых), страница 8

ξ 2 = 0.∇X T = ξ 1 (∇1 T )i j .Ковариантная производная тензора второго ранга, типа (1,1), вычисляется по формуле:∂T ii(∇k T )i j = ∂xkj + Γi kα Tjα − Γαkj T α• (∇1 T )1 1 =∂T 1 1∂x111111+ Γ1 1α T1α − Γα11 T α = Γ 11 T1 − Γ11 T 1 = 0• (∇1 T )1 2 =∂T 1 2∂x1111+ Γ1 1α T2α − Γα12 T α = −Γ12 T 1• (∇1 T )2 1 =∂T 2 1∂x1221+ Γ2 1α T1α − Γα11 T α = Γ 11 T16• (∇1 T )2 2 =∂T 2 2∂x12+ Γ2 1α T2α − Γα12 T α = 0Вычислим символы Кристоффеля:Γl ij =1 lα ∂gαj∂giα∂gij+−)g (2∂xi∂xj∂xα11• Γ1 11 = 12 g 11 ( ∂g∂x1 +∂g11∂x1−∂g11∂x1 )21+ 12 g 12 ( ∂g∂x1 +∂g12∂x1−∂g11∂x2 )=12∗0+0∗0=011• Γ1 21 = 12 g 11 ( ∂g∂x2 +∂g21∂x1−∂g21∂x1 )21+ 12 g 12 ( ∂g∂x2 +∂g22∂x1−∂g21∂x2 )=12∗ 0 + 0 ∗ (−2 cos u sin u) = 012• Γ1 12 = 12 g 11 ( ∂g∂x1 +∂g11∂x2−∂g12∂x1 )22+ 12 g 12 ( ∂g∂x1 +∂g12∂x2−∂g12∂x2 )=12∗ 0 + 0 ∗ (−2 cos u sin u) = 012• Γ1 22 = 12 g 11 ( ∂g∂x2 +∂g21∂x2−∂g22∂x1 )22+ 12 g 12 ( ∂g∂x2 +∂g22∂x2−∂g22∂x2 )= 12 (2 cos u sin u) + 0 ∗ 0 = cos u sin u11• Γ2 11 = 12 g 21 ( ∂g∂x1 +∂g11∂x1−∂g11∂x1 )21+ 12 g 22 ( ∂g∂x1 +∂g12∂x1−∂g11∂x2 )=0∗0+12 cos2 u11• Γ2 21 = 12 g 21 ( ∂g∂x2 +∂g21∂x1−∂g21∂x1 )21+ 12 g 22 ( ∂g∂x2 +∂g22∂x1−∂g21∂x2 )=0∗0−sin ucos usin u= − cosu12• Γ2 12 = 12 g 21 ( ∂g∂x1 +∂g11∂x2−∂g12∂x1 )22+ 12 g 22 ( ∂g∂x1 +∂g12∂x2−∂g12∂x2 )=0∗0−sin ucos usin u= − cosu12• Γ2 22 = 12 g 21 ( ∂g∂x2 +∂g21∂x2−∂g22∂x1 )22+ 12 g 22 ( ∂g∂x2 +∂g22∂x2−∂g22∂x2 )= 0 ∗ (−2 cos u sin u) +∗0=012 cos2 u∗0=0Вычислим ковариантную производную:• (∇1 T )1 1 = 0• (∇1 T )1 2 = −Γ112 T 1 1 = 0 ∗ v = 0• (∇1 T )2 1 = Γ2 11 T11 = 0 ∗ v = 0• (∇1 T )2 2 = 0Ковариантная производнаяполя T в направлении векторного поля X: тензорного0 00 01i∇X T = ξ (∇1 T ) j = u=.0 00 02)Определим координаты тензоров S и R.Sjk = gαj T α k .Rjk = g αj T k α .• S11 = g11 T 1 1 + g21 T 2 1 = vS12 = g11 T 1 2 + g21 T 2 2 = 0.• S21 = g12 T 1 1 + g22 T 2 1 = 0S22 = g22 T 1 2 + g22 T 2 2 = 0.v 0Sij =.0 0• R11 = g 11 T 1 1 + g 21 T 1 2 = vR12 = g 11 T 2 1 + g 21 T 2 2 = 0.7• R21 = g 12 T 1 1 + g 22 T 1 2 = 0R22 = g 12 T 2 1 + g 22 T 2 2 = 0.v 0Rij =.0 03) Определим ковариантные производные ∇X S, ∇X R.∇X S = ξ 1 (∇1 S)ij .∂S(∇k S)ij = ∂xijk − Γα ki Sαj − Γαkj Siα• (∇1 S)11 =∂S11∂x1111− Γα 11 Sα1 − Γα11 S1α = −Γ 11 S11 − Γ11 S11 = −2Γ11 S11 = 0• (∇1 S)12 =∂S12∂x11− Γα 11 Sα2 − Γα12 S1α = −Γ12 S11 = −0 ∗ v = 0• (∇1 S)21 =∂S21∂x11− Γα 12 Sα1 − Γα11 S2α = −Γ 12 S11 = −0 ∗ v = 0• (∇1 S)22 =∂S22∂x11122− Γα 12 Sα2 − Γα12 S2α = −Γ 12 S12 − Γ12 S21 − Γ 12 S22 − Γ12 S22 = 0∇X S = ξ 1 (∇1 S)ij = u00 00=000.0∇X R = ξ 1 (∇1 R)ij .ij(∇k R)ij = ∂R+ Γi kα Rαj + Γj kα Riα∂xk• (∇1 R)11 =∂R11∂x1+ Γ1 1α Rα1 + Γ1 1α R1α = 2Γ1 11 R11 = 0• (∇1 R)12 =∂R12∂x1+ Γ1 1α Rα2 + Γ2 1α R1α = Γ2 11 R11 = 0 ∗ v = 0• (∇1 R)21 =∂R21∂x1+ Γ2 1α Rα1 + Γ1 1α R2α = Γ2 11 R11 = 0 ∗ v = 0• (∇1 R)22 =∂R22∂x1+ Γ2 1α Rα2 + Γ2 1α R2α = Γ2 11 R12 + Γ2 11 R21 + Γ2 12 R22 + Γ2 12 R22 = 0∇X R = ξ 1 (∇1 R)ij = u00 00=00Выполним проверку.α(∇X S)ij = giα (∇X T )j• (∇X S)11 = g1α (∇X T )α• (∇X S)12 = g1α (∇X T )α• (∇X S)21 = g2α (∇X T )α• (∇X S)22 = g2α (∇X T )α= g11 (∇X T )11= g11 (∇X T )12= g21 (∇X T )11= g21 (∇X T )12+ g12 (∇X T )21+ g12 (∇X T )22+ g22 (∇X T )21+ g22 (∇X T )22(∇X R)ij = g iα (∇X T )j α81=0+0=02=0+0=01=0+0=02=0+0=00.0• (∇X R)11 = g 1α (∇X T )1 α = g 11 (∇X T )1 1 + g 12 (∇X T )1 2 = 0 + 0 = 0• (∇X R)12 = g 1α (∇X T )2 α = g 11 (∇X T )2 1 + g 12 (∇X T )2 2 = 0 + 0 = 0• (∇X R)21 = g 2α (∇X T )1 α = g 21 (∇X T )1 1 + g 22 (∇X T )1 2 = 0 + 0 = 0• (∇X R)22 = g 2α (∇X T )2 α = g 21 (∇X T )2 1 + g 22 (∇X T )2 2 = 0 + 0 = 0Проверка выполнена успешно.Задача 7.Найдите компоненты Rl ijk иRlijk тензора кривизны поверхности из задачи 3.

Систему координат выберитесамостоятельно.Теоретическая частьДля компонент тензора кривизны справедливы выражения: 2R 211 R2 2121 + zx 2zx zyg11 g12=K·=K·.(12)R1 121 R1 122zx zy1 + zy 2g21 g21Остальные координаты равны нулю.Здесь K-гауссова кривизна.Докажем соотношение (8). Пусть поверхность задается уравнениями:x = x(u, v),y = y(u, v),z = z(u, v)где x,y,z - евклидовы координаты пространства и (u, v) = (z 1 , z 2 ) - координаты на поверхности.

Выберем в исследуемой точке P = (0, 0), где ось z нормальна к поверхности, в качестве параметров u = z 1 = x, v = z 2 = y.Тогда поверхность около точке P запишется уравнением z = f (x, y), где gradf |P = 0. Для компонент метрикина поверхности получимgij = δij +В частности, в точке P = (0, 0) все∂f ∂f 1, z = x, z 2 = y.∂z i ∂z j∂gij= 0. Поэтому в этой точке Γkij = 0.

В такой точке имеем формулу∂z kiRqkl=Riqkl1=2∂Γiql ∂Γiqk−,∂z k∂z l∂ 2 gil∂ 2 gqk∂ 2 gik∂ 2 gql+−−∂z q ∂z k ∂z i ∂z l ∂z q ∂z l ∂z i ∂z k!1 ∂ 2 g21∂ 2 g12∂ 2 g11∂ 2 g22R2121 = ( 1 2 + 2 1 − 2 2 − 1 1 )2 ∂z ∂z∂z ∂z∂z ∂z∂z ∂zz 1 = x,z2 = y9.При этом:g11 = 1 + zx2 , g22 = 1 + zy2 , g12 = 1 + zx zy = g2122∂g∂g∂ 2 g11 2212222=2z=2z = zxx zyy + zxyxyxy22∂y∂x∂x∂y PPPОкончательно имеем:122222R2121 = (zxx zyy + zxy+ zxx zyy + zxy− 2zxy− 2zxy) = zxx zyy − zxy=K2По определениюK = detzxxzxyzyxzyy!в точке P , где δij = gij в выбранных координатах. Однако гауссова кривизна К - это скаляр, а R2121 - компонента тензора.

Они равны лишь в данной, избранной, системе координат, где gij = δij , detgij = 1 = g. Легкоiвидеть из определения R, согласно которому R = g ql Rqil, чтоR = 2det(g ql )R2121 =22R2121 = R2121 = R.det(gij )gВ нашей системе координат g = 1 и R2121 = K.

Поэтому в нашей системе координат верно равенство R = 2K;так как R и K - оба скаляры, то это верно всегда.Тогда имеем:R2121 = KgαRiqkl = giα RqklαR2121 = g2α R121Тогда:αKg = g2α R121αR121= Kg 2α g, где g = (g11 g22 − g12 g21 )11R121 = K(g 21 (g11 g22 − g12 g21 )) = K(−g21 ) = −R2112222−R121 = K(g (g11 g22 − g12 g21 )) = K(g11 ) = R211Используя соотношения:iii=0+ Rklq+ RlqkRqklполучаем, что1111R121+ R211+ R112= 0 ⇒ R112=02222=0R121 + R211 + R112 = 0 ⇒ R112αR212= Kg 2α g11−R212 = K(g 11 (g11 g22 − g12 g21 )) = K(g22 ) = R1222122R212 = K(g (g11 g22 − g12 g21 )) = K(−g12 ) = −R122Используя соотношения:iii+ Rlqk+ Rklq=0Rqkl10получаем, что1111R212+ R221+ R122= 0 ⇒ R221=02222R212 + R221 + R122 = 0 ⇒ R221=0∂Γiql ∂Γiqk−=0∂z k∂z l11∂Γ11 ∂xΓ11=−=0∂x∂xx22∂Γ11 ∂Γ11=−=0∂x∂x11∂Γ22 ∂Γ22=−=0∂y∂y22∂Γ22 ∂Γ22=−=0∂y∂yiRqkl=1R1112R1111R2222R222⇒ 2R2111R1212R2121R122=2−R1211−R2112−R1221−R212=K·g11g21g12g22Тем самым соотношение (12) доказано.Решение.Из задачи №3 имеем :z 2 = 6x2 + y 2 − 24.6x−144, zx =,K=222(42x + 2y − 24)zВоспользуемся соотношением (12):2−1441 + ( 6x1 + zx 2zx zyz )·K·=y6x2zx zy1 + zy(42x2 + 2y 2 − 24)2z z1zy =6x yz z+ ( yz )26xyz2z 2 +y 2z2!y.z 2R211=1R1212R2121R122g= 11g21g12.g22(13)Из равенства (13) получим координаты тензора кривизны.• R2 211 =−144(42x2 +2y 2 −24)2• R2 212 = R1 121 =• R1 122 =·42x2 +y 2 −246x2 +y 2 −24 .−144(42x2 +y 2 −24)2−144(42x2 +y 2 −24)2··6xy(6x2 +y 2 −24)6x2 +2y 2 −246x2 +y 2 −24• Остальные координаты равны нулю.Также из равенства (13) получим метрическую матрицу:z 2 +36x2g11 g12z2=6xyg21 g222zНайдём определитель метрической матрицы (14): 26xy g11 g12 z2 +36x 42x2 + 2y 2 − 2422zzz 2 +y 2 = 6x2 + y 2 − 24 = det g.g21 g22 = 6xyz2z211(14)Для компонентов тензора Rlijk имеем следующие утверждения:R1122 = R2211 = K det g,R1212 = R2121 = −K det g.Остальные(15)Rlijk = 0По формуле (15) вычислим компоненты тензора кривизны :R1122 = R2211 = K det g =R1212 = R2121 = −K det g =(42x2−14442x2 + 2y 2 − 24−144·=222222+ 2y − 24)6x + y − 24(42x + 2y − 24) · (6x2 + y 2 − 24)42x2 + 2y 2 − 24144144·=2222222(42x + 2y − 24)6x + y − 24(42x + 2y − 24) · (6x2 + y 2 − 24)Задача 8.Вычислите тензор кривизны из задачи 6 и ковариантную производную этого тензора в направлении поля X.РешениеТензором кривизны называется тензор типа (3,1) с координатамиRl ijk =∂Γl ik∂Γl jk−+ Γs jk Γl is − Γs ik Γl js∂xi∂xj(16)В задаче 6 задана первая квадратичная формаds2 = du2 + cos2 u dv 2ξ 1 = u,ξ 2 = 0.1) Определим метрическую матрицу и обратную к ней.10gij =0 cos2 ug ij =1001cos2 u.2) Вычислим символы Кристоффеля:Γl ij =∂giα∂gij1 lα ∂gαjg (+−)ij2∂x∂x∂xα11• Γ1 11 = 12 g 11 ( ∂g∂x1 +∂g11∂x1−∂g11∂x1 )21+ 12 g 12 ( ∂g∂x1 +∂g12∂x1−∂g11∂x2 )=12∗0+0∗0=011• Γ1 21 = 12 g 11 ( ∂g∂x2 +∂g21∂x1−∂g21∂x1 )21+ 12 g 12 ( ∂g∂x2 +∂g22∂x1−∂g21∂x2 )=12∗ 0 + 0 ∗ (−2 cos u sin u) = 012• Γ1 12 = 12 g 11 ( ∂g∂x1 +∂g11∂x2−∂g12∂x1 )22+ 12 g 12 ( ∂g∂x1 +∂g12∂x2−∂g12∂x2 )=12∗ 0 + 0 ∗ (−2 cos u sin u) = 012• Γ1 22 = 12 g 11 ( ∂g∂x2 +∂g21∂x2−∂g22∂x1 )22+ 12 g 12 ( ∂g∂x2 +∂g22∂x2−∂g22∂x2 )= 12 (2 cos u sin u) + 0 ∗ 0 = cos u sin u11• Γ2 11 = 12 g 21 ( ∂g∂x1 +∂g11∂x1−∂g11∂x1 )21+ 12 g 22 ( ∂g∂x1 +∂g12∂x1−∂g11∂x2 )=0∗0+12 cos2 u11• Γ2 21 = 12 g 21 ( ∂g∂x2 +∂g21∂x1−∂g21∂x1 )21+ 12 g 22 ( ∂g∂x2 +∂g22∂x1−∂g21∂x2 )=0∗0−sin ucos u12∗0=0sin u= − cosu12• Γ2 12 = 12 g 21 ( ∂g∂x1 +∂g11∂x2−∂g12∂x1 )22+ 12 g 22 ( ∂g∂x1 +∂g12∂x2−∂g12∂x2 )=0∗0−12• Γ2 22 = 12 g 21 ( ∂g∂x2 +∂g21∂x2−∂g22∂x1 )22+ 12 g 22 ( ∂g∂x2 +∂g22∂x2−∂g22∂x2 )= 0 ∗ (−2 cos u sin u) +sin ucos usin u= − cosu12 cos2 u∗0=03) По формуле (12) вычислим тензор кривизны:• R1 111 =∂Γ1 11∂x1−∂Γ1 11∂x1+ Γs 11 Γ1 1s − Γs 11 Γ1 1s = Γs 11 Γ1 1s − Γs 11 Γ1 1s = 01• R112=∂Γ112 ∂Γ111−+ Γ1s1 Γs12 − Γ1s2 Γs11 = Γ111 Γ112 + Γ121 Γ212 − Γ112 Γ111 − Γ122 Γ211 = 0∂x1∂x21• R121=∂Γ111 ∂Γ112−+ Γ1s2 Γs11 − Γ1s1 Γs12 = Γ111 Γ112 + Γ121 Γ212 − Γ112 Γ111 − Γ122 Γ211 = 0∂x2∂x11• R122=∂Γ112 ∂Γ112−+ Γ1s2 Γs12 − Γ1s2 Γs12 = Γ112 Γ112 + Γ122 Γ212 − Γ111 Γ121 − Γ122 Γ212 = 0∂x2∂x21• R211=∂Γ121 ∂Γ121−+ Γ1s1 Γs21 − Γ1s1 Γs21 = Γ111 Γ111 + Γ121 Γ221 − Γ111 Γ121 − Γ121 Γ221 = 0∂x1∂x11• R212=∂Γ122 ∂Γ121d(cos u sin u)sin u−+ Γ1s1 Γs22 − Γ1s2 Γs21 =+· cos u sin u = cos2 u12∂x∂xducos u1• R221=∂Γ121 ∂Γ122d(cos u sin u)sin u−+ Γ1s2 Γs21 − Γ1s1 Γs22 = −−· cos u sin u = − cos2 u21∂x∂xducos u1• R222=∂Γ122 ∂Γ122−+ Γ1s2 Γs22 − Γ1s2 Γs22 = Γ112 Γ122 + Γ121 Γ222 − Γ112 Γ122 − Γ122 Γ222 = 0∂x2∂x22• R111=∂Γ211 ∂Γ211−+ Γ2s1 Γs11 − Γ2s1 Γs11 = Γ112 Γ111 + Γ222 Γ211 − Γ211 Γ111 − Γ221 Γ211 = 0∂x1∂x12• R112=∂Γ212 ∂Γ2111d tg u+ Γ211 Γ112 − Γ212 Γ111 + Γ221 Γ212 − Γ222 Γ211 = − 2 + tg2 u−+ Γ2s1 Γs12 − Γ2s2 Γs11 =12∂x∂xducos u2• R121=∂Γ211 ∂Γ212d tg u1+ Γ212 Γ111 − Γ211 Γ112 + Γ222 Γ211 − Γ221 Γ212 =− tg2 u−+ Γ2s2 Γs11 − Γ2s1 Γs12 =21∂x∂xducos2 u2• R122=∂Γ212 ∂Γ212−+ Γ2s2 Γs12 − Γ2s2 Γs12 = Γ212 Γ112 − Γ212 Γ112 + Γ222 Γ212 − Γ222 Γ212 = 0∂x2∂x22• R211=∂Γ221 ∂Γ221−+ Γ2s1 Γs21 − Γ2s1 Γs21 = Γ211 Γ121 − Γ211 Γ121 + Γ221 Γ221 − Γ221 Γ221 = 0∂x1∂x12• R212=∂Γ222 ∂Γ221−+ Γ2s1 Γs22 − Γ2s2 Γs21 = Γ211 Γ122 − Γ212 Γ121 + Γ221 Γ222 − Γ222 Γ221 = 0∂x1∂x22• R221=∂Γ221 ∂Γ222−+ Γ2s2 Γs21 − Γ2s1 Γs22 = Γ112 Γ121 − Γ211 Γ122 + Γ222 Γ221 − Γ221 Γ222 = 0∂x2∂x12• R222=∂Γ222 ∂Γ222sin usin u· cos u sin u +· cos u sin u = 0−+ Γ2s2 Γs22 − Γ2s2 Γs22 = −∂x2∂x2cos ucos u134) Вычислим ковариантную производную тензора кривизны в направлении векторного поля X.Ковариантная производная тензора кривизны вычисляется по формуле :(∇m R)lijk =l∂Rijkαlαlαl+ Γlmα Rijk− Γαmi Rαjk − Γmj Riαk − Γmk Rijα∂xmДалее по формуле (17) произведем вычисления.• (∇1 R)1111 =1∂R111α1α1α1+ Γ11α R111− Γα11 Rα11 − Γ11 R1α1 − Γ11 R11α = 0∂x1• (∇1 R)1112 =1∂R112α1α1α1+ Γ11α R112− Γα11 Rα12 − Γ11 R1α2 − Γ12 R11α = 0∂x1• (∇1 R)1121 =1∂R121α1α1α1+ Γ11α R121− Γα11 Rα21 − Γ12 R1α1 − Γ11 R12α = 0∂x1• (∇1 R)1122 =1∂R122α1α1α1+ Γ11α R122− Γα11 Rα22 − Γ12 R1α2 − Γ12 R12α = 0∂x1• (∇1 R)1211 =1∂R211α1α1α1+ Γ11α R211− Γα12 Rα11 − Γ11 R2α1 − Γ11 R21α = 0∂x1• (∇1 R)1212 =1∂R212α1α1α1+ Γ11α R212− Γα12 Rα12 − Γ11 R2α2 − Γ12 R21α = 0∂x1• (∇1 R)1221 =1∂R221α1α1α1+ Γ11α R221− Γα12 Rα21 − Γ12 R2α1 − Γ11 R22α = 0∂x1• (∇1 R)1222 =1∂R222α1α1α1+ Γ11α R222− Γα12 Rα22 − Γ12 R2α2 − Γ12 R22α = 0∂x1• (∇1 R)2111 =2∂R111α2α2α2+ Γ21α R111− Γα11 Rα11 − Γ11 R1α1 − Γ11 R11α = 0∂x1• (∇1 R)2112 =2∂R112α2α2α2+ Γ21α R112− Γα11 Rα12 − Γ11 R1α2 − Γ12 R11α = 0∂x1• (∇1 R)2121 =2∂R121α2α2α2+ Γ21α R121− Γα11 Rα21 − Γ12 R1α1 − Γ11 R12α = 0∂x1• (∇1 R)2122 =2∂R122α2α2α2+ Γ21α R122− Γα11 Rα22 − Γ12 R1α2 − Γ12 R12α = 0∂x1• (∇1 R)2211 =2∂R211α2α2α2− Γα+ Γ21α R21112 Rα11 − Γ11 R2α1 − Γ11 R21α = 0∂x1• (∇1 R)2212 =2∂R2122α2α2α+ Γ21α R212− Γα12 Rα12 − Γ11 R2α2 − Γ12 R21α = 0∂x1• (∇1 R)2221 =2∂R221α2α2α2− Γα+ Γ21α R22112 Rα21 − Γ12 R2α1 − Γ11 R22α = 0∂x114(17)• (∇1 R)2222 =2∂R222α2α2α2+ Γ21α R222− Γα12 Rα22 − Γ12 R2α2 − Γ12 R22α = 0∂x1В результате вычислений получили , что ковариантная производная тензора кривизны в данном примере равнанулю, т.еl∂Rijkαlαlαl(∇m R)lijk =+ Γlmα Rijk− Γαmi Rαjk − Γmj Riαk − Γmk Rijα = 0∂xmСписок литературы[1] Б.А.Дубровин, С.П.Новиков, А.Т.Фоменко, Современная геометрия, Наука, М.,1979.[2] Ю.И.Димитриенко, Тензорное исчисление, Высшая школа, М.,2001.[3] А.Н.Щетинин ,Е.А.Губарева, Основы тензорного анализа ,Изд-во МГТУ ,М., 2012.[4] .П.Норден, Теория поверхностей, Наука, М., 1956.15Московский Государственный техническийуниверситет им Н.Э.