Курсовые АК3-41, 2014 (Огромное количество решённых курсовых)

Московский государственный техническийуниверситет им. Н. Э. Баумана.Курсовые работы AK3-41по дисциплине: «Дифференциальная геометрия»Москва 2014 г.1Московский государственный технический университет  им. Н. Э. Баумана. КУРСОВАЯ РАБОТАпо курсу«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ ИОСНОВЫ ТЕНЗОРНГО АНАЛИЗА»Выполнил:студент 2-го курса, гр. АК3-41 Артамонов А.В. Преподаватель:Щетинин А.Н.   ВведениеДифференциальная геометрия — это один из разделов математики, вкотором изучаются гладкие многообразия с помощью методовматематического анализа, в частности — дифференциального исчисления.Возникновение дифференциальной геометрии относится к XVIII веку исвязано с именами Эйлера (1707-1783) и Монжа (1746-1818).

Первое сводноесочинение по теории поверхностей написано Монжем («Приложениеанализа к геометрии», 1795). В 1827 Гаусс (1777-1855) опубликовал работу«Общее исследование о кривых поверхностях», в которой заложил основытеории поверхностей в её современном виде. С тех пор дифференциальнаягеометрия перестала быть только приложением анализа и заняласамостоятельное место в математике.Открытие Лобачевским (1792-1856) неевклидовой геометрии сыгралоогромную роль в развитии всей геометрии, в том числе идифференциальной.Риман (1826-1866) в своей лекции «О гипотезах, лежащих в основанияхгеометрии» (1854) заложил основы римановой геометрии, наиболееразвитой части современной дифференциальной геометрии.Задача 1.

Найдите эволюту кривойx  a (cos t  t sin t ), y  a (sin t  t cos t ).Решение. Координаты центра круга кривизны выражаются формулами:  xx '2  y '2x '2  y '2y ',   y x '   .x ' y '' x '' y 'x ' y '' x '' y 'Находим производные:x '  at cos t , y '  at sin tx ''  a (cos t  t sin t ), y ''  a (sin t  t cos t ).Находим координаты центра круга кривизны:  a(cos t  t sin t ) (at cos t ) 2  (at sin t )2at sin t  a cos t(at cos t )a(sin t  t cos t )  a(cos t  t sin t )(at sin t )  a(sin t  t cos t ) (at cos t )2  (at sin t ) 2at cos t  a sin t(at cos t )a(sin t  t cos t )  a (cos t  t sin t )(at sin t )Исключая t, находим уравнение эволюты:  a cos t  2   2  a 2 -окружность радиуса a с центром в начале координат  a sin tОбщая точка имеет координаты (a;0)Задача 2.

Найдите натуральные уравнения кривойx  e t (4 cos t  3), y  5e t sin t , z  e t (3 cos t  4).Решение. Находим производные:x '  e t (4 cos t  3  4 sin t ), y '  5et (sin t  cos t ), z '  e t (3 cos t  4  3sin t )x ''  e t ( 8 sin t  3), y ''  10e t cos t , z ''  e t ( 6 sin t  4)x '''  e t ( 8sin t  3  8 cos t ), y '''  10et (cos t  sin t ), z '''  e t ( 6 sin t  4  6 cos t )Длина дуги кривой, заданной параметрически:ts   x '2  y '2  z '2 dt.0Вычисляем интеграл:ts   (et (4 cos t  3  4 sin t )) 2  (5et (sin t  cos t )) 2  (et (3cos t  4  3sin t )) 2 dt 0t  5 3et dt  5 3(et  1)  5 3.0Кривизна k и кручение к кривой вычисляются по формулам:kr ' r ''r'3,к  r ', r '', r '''r ' r ''2.Находим кривизну k и кручение к:k21.,к  t15e15etНаходим натуральные уравнения кривой:k63.,к  3s3sЗадача 3. Вычислите гауссову кривизну поверхности5 x 2  4 xy  2 y 2  z 2  24Найдите пределы изменения гауссовой кривизны.

Найдите точки, в которыхгауссова кривизна принимает экстремальные значения.Решение. Составим матрицу и найдем собственные числа522 (5   )(2   )  4   2  7  6  0  1  1, 2  62В новой системе координат уравнение поверхности будет выглядетьx 2  6 y 2  z 2  24z  24  x 2  6 y 2Вычислим гауссову кривизну поверхности по формулеKz xx z yy  z xy2(1  z x2  z 2y ) 2x6yx2  z 26 xy36 y 2  6 z 2zx   , z y  , z xx  , z xy   3 , z yy  zzz3zz32 x 2  z 2   36 y 2  6 z 2   6 xy   3 222z3  z34  z   6 x  36 y  6 z K222222( x  36 y  z )(5 y  4) 2  x  2  6 y 2  1           z  z  Вычислим экстремумы гауссовой кривизны1) K '  K y 0 80 y0 y0(5 y 2  4)3142) zmin| x 0  24  6 y 2  0  y  2K y 2 1144Пределы изменения гауссовой кривизны11K1444Задача 4.

Докажите, что если все нормали к поверхности проходят черезодну точку, то поверхность есть сфера или область на сфере.Решение.Точка C - общая точка всех нормалей к поверхности, r  r (t) - радиус-векторпроизвольной точки M , n - нормаль к поверхности в точке M .drdt- касательный вектор в точке M .    r || n, r'  n  r  r'  (r, r')  0 (r, r) '  (r, r')  (r', r)  2(r, r) '  0  (r, r)  c1  CM  constТ.к.

CM - постоянная величина, а точка M - произвольная точка поверхности,то все точки поверхности равноудалены от точки C  поверхность – сфераили область на сфере.Задача 5. Вычислите коммутатор [ X , Y ] векторных полей X и Y .X  xy x   y , Y  y yРешение. Формула для вычисления коммутатора[ X , Y ]  XY  YXXY  ( xy x   y )( y y )  xy 2  2xy   y  y 2yyYX  ( y y )( xy x   y )  xy x  xy 2  2xy  y 2yy[ X , Y ]   y  xy xЗадача 6. На сфере единичного радиуса с первой квадратичной формойds 2  du 2  cos 2 udv 2найдите ковариантную производную  X T тензорного поля Tтипа (1,1) внаправлении векторного поля X .

Определите координаты тензоров S и R ,полученных опусканием и подниманием индексов из тензора T . Определитеих ковариантные производные  X S и  X R .T11  v, T12  0, T21  0, T22  0x1  u , x 2  v, 1  0,  2  v10Решение. gij  , g ij2  0 cos u 1 00 1 cos 2 u Вычислим символы КристоффеляГ ijk 1 k  g j gi gij g  i  j  2xx  xГ111 1 11  g11 g11 g11  1g  1  1  1    0  (...)  02xx  2 xГ112 11gg  g 0  (...)  g 22  211  121  112   022xx  xГ121 1 11  g12 g12 g12g  1  2  22xx xГ 212 11gg  g 0  (...)  g 22  212  221  212   tgu22xx  x1Г 221 11  g12 g 21 g 22  1g  2  2  1    0  (...)  sin u cos u2xx  2 xГ 222 11gg  g 0  (...)  g 22  222  222  222   022xx  x 1   0  (...)  0 211gg  gГ122   0  (...)  g 22  221  122  122   tgu22xx  xgg  11 g1Г 21 g 11  112  211  211    0  (...)  02xx  2 xВычислим смешанную производную по формуле X T  k (kT )ij  1 (1T )ij  2 (2T )ijij( k T ) T jixk Г ki  T j  Г kj Ti (1T )ij  0, т.к.

 1  01T11T11a 11aГTГT121 a2a 1x 2x 2T 1T 11( 2T )12  12  Г 22a Ta1  Г 21aT2a  12   Г 22T11  v sin u cos uxx2T( 2T )12  12  Г 21a Ta2  Г 22aT1a  Г 212 T11  vtguxT 2( 2T ) 22  21  Г 22a Ta2  Г 22aT2a  0x vv 2 sin u cos u i(( X T ) j )   20 v tgu( 2T )11 Опустим индекс с помощью формулыS jk  g jTkS11  g11T11  g 21T12  vS12  g11T21  g 21T22  0S21  g12T11  g 22T12  0S22  g12T21  g 22T22  0Найдём ковариантную производную по формуле( k S )ij Sijxk Г ki S j  Г kj S iS11S1 Г 21a Sa1  Г 21a S1a  112  2 Г 21S11  12xxS1( 2 S )12  122  Г 21a Sa 2  Г 22a S1a   Г 22S11  v sin u cos uxS1( 2 S )21  212  Г 22a Sa1  Г 21a S 2 a   Г 22S11  v sin u cos uxS( 2 S )22  222  Г 22a Sa 2  Г 22a S2 a  0xvv 2 sin u cos u (( X S )ij )   20 v sin u cos u( 2 S )11 Сделаем проверку( X S )ij  gai ( X T )j( X S )11  g 1 ( X T )1  g11 ( X T )11  g 21 ( X T )12  v( X S )12  g 1 ( X T )2  g11 ( X T )12  g 21 ( X T ) 22  v 2 sin u cos u( X S ) 21  g 2 ( X T )1  g12 ( X T )11  g 22 ( X T )12  v 2 sin u cos u( X S ) 22  g 2 ( X T )2  g12 ( X T )12  g 22 ( X T ) 22  0Поднимем индекс с помощью формулыR jk  g  jTkR11  g11T11  g 21T21  vR12  g 11T12  g 21T22  0R 21  g 12T11  g 22T21  0R 22  g 12T12  g 22T22  0Найдём контравариантную производную по формулеR ij Г ki  R j  Г kj R ikx11RR111( 2 R )11  2  Г 21a R a1  Г 21a R1a  2  2 Г 21R11  1xx12R( 2 R )12  2  Г 21a R a 2  Г 22a R1a  Г 212 R11  vtguxR 21( 2 R )21  2  Г 22a R a1  Г 21a R 2 a  Г 212 R11  vtguxR 22( 2 R )22  Г 22a R a 2  Г 22a R 2 a  02x vv 2tgu (( X R)ij )   20  v tgu( k R )ij Сделаем проверку( X R )ij  g i ( X T )j( X R)11  g 1 ( X T )1  g 11 ( X T )11  g 12 ( X T )12  v( X R)12  g 1 ( X T )2  g 11 ( X T )12  g 12 ( X T ) 22  v 2tgu( X R) 21  g 2 ( X T )1  g 21 ( X T )11  g 22 ( X T )12  v 2tgu( X R) 22  g 2 ( X T )2  g 21 ( X T )12  g 22 ( X T ) 22  0Задача 7.

Найдите компоненты Rijkl и Rijkl тензора кривизны поверхности иззадачи 3. Систему координат выберите самостоятельно.Решение. Для решения докажем соотношение2 R211 1 R1212R212g K  111 R122  g 21g12 g 22 Пусть поверхность задается уравнениями x  x (u , v ),  y  y (u , v ),  z  z (u , v ) , гдеx, y, z – евклидовы координаты пространства и (u , v )  ( z1 , z 2 ) - координаты наповерхности, выберем в исследуемой точке P  (0, 0), где z нормальна кповерхности, в качестве параметров u  z1  x, v  z 2  y , тогда поверхностьоколо точки P запишется уравнением z  f ( x, y),  где  gradf P  0 .