Курсовые АК3-41, 2014 (Огромное количество решённых курсовых), страница 6

Выберем в исследуемой точке P = (0, 0), где ось z нормальнак поверхности, в качестве параметров u = z 1 = x, v = z 2 = y. Тогда поверхность около точке P запишется уравнениемz = f (x, y), где gradf |P = 0. Для компонент метрики на поверхности получим∂f ∂fgij = δij +В частности, в точке P = (0, 0) все∂gij∂z k∂z i ∂z j, z 1 = x, z 2 = y.= 0. Поэтому в этой точке Γkij = 0.

В такой точке имеем формулуiRqklRiqkl =2=∂Γiql∂z k−∂Γiqk∂z l22,21  ∂ gil∂ gqk∂ gik∂ gql  q k + i l − q l − i k .2 ∂z ∂z∂z ∂z∂z ∂z∂z ∂z1 ∂ 2 g21∂ 2 g12∂ 2 g11∂ 2 g22R2121 = ( 1 2 + 2 1 − 2 2 − 1 1 )2 ∂z ∂z∂z ∂z∂z ∂z∂z ∂zz 1 = x,z2 = yПри этом:g11 = 1 + zx2 ,g22 = 1 + zy2 ,13g12 = 1 + zx zy = g21∂ 2 g11 2 = 2zxy∂y 2 P∂ 2 g22 2 = 2zxy∂x2 ∂ 2 g12 2 = zxx zyy + zxy∂x∂y PPОкончательно имеем:122222R2121 = (zxx zyy + zxy+ zxx zyy + zxy− 2zxy− 2zxy) = zxx zyy − zxy=K2По определениюz xxK = det zyxzxyzyyв точке P , где δij = gij в выбранных координатах.

Однако гауссова кривизна К - это скаляр, а R2121 - компонентатензора. Они равны лишь в данной, избранной, системе координат, где gij = δij , detgij = 1 = g. Легко видеть изiопределения R, согласно которому R = g ql Rqil, чтоR = 2det(g ql )R2121 =22R2121 = R2121 = R.det(gij )gВ нашей системе координат g = 1 и R2121 = K. Поэтому в нашей системе координат верно равенство R = 2K; так какR и K - оба скаляры, то это верно всегда.Тогда имеем:R2121 = KgαRiqkl = giα RqklαR2121 = g2α R121Следовательно:αKg = g2α R121αR121= Kg 2α g, где g = (g11 g22 − g12 g21 )11= K(g 21 (g11 g22 − g12 g21 )) = K(−g21 ) = −R211R12122−R121= K(g 22 (g11 g22 − g12 g21 )) = K(g11 ) = R211Используя соотношения:iiiRqkl+ Rlqk+ Rklq=0получаем, что1111= 0 ⇒ R112=0R121+ R211+ R1122222+ R211+ R112= 0 ⇒ R112=0R121αR212= Kg 2α g11−R212= K(g 11 (g11 g22 − g12 g21 )) = K(g22 ) = R1221422R212= K(g 12 (g11 g22 − g12 g21 )) = K(−g12 ) = −R122Используя соотношения:iiiRqkl+ Rlqk+ Rklq=0получаем, что1111R212+ R221+ R122= 0 ⇒ R221=02222+ R221+ R122= 0 ⇒ R221=0R212iRqkl=1R111=2R111=1R222=2R222=∂Γiql∂z k∂Γ111∂x∂Γ211∂x∂Γ122∂y∂Γ222∂y−−−−−∂Γiqk∂z l∂Γ111∂x∂Γ211∂x∂Γ122∂y∂Γ222∂y=0=0=0=0=02R211⇒1R1212R2121R122=2−R1212−R1221−R2111−R212=K ·g11g12g21g22Вернемся к решению задачи:5x2 = 4xy + 2y 2 − 48z = 2448Компоненты метрической матрицы:g11 = 1 +zx2+81−23456K=(576 + x2 + 36y 2 )2x2=1+g22 = 1 + zy2 = 1 +g12y2x2z=242y216xy= g21= zx zy = 1 +9622R211= −R121=11R122= −R212=3456(24 + x2 )(576 + x2 + 36y 2 )2 · 242x21 +242det(g) = xy1+96xy1+1+(576 + x2 + 36y 2 )2216(16 + y 2 )3456(16 + y 2 )(576 + x2 + 36y 2 )2 · 161212=R121= R212= −R221= −R1226(576 + x2 )==(576 + x2 + 36y 2 )23456(xy)36(xy)(576 + x2 + 36y 2 )2 · 96=(576 + x2 + 36y 2 )296 x2y2+=1+576 16y2 16x2y23456 · (576 + x2 + 36y 2 )6·(1++)==222222(576 + x + 36y )576 16576 · (576 + x + 36y )(576 + x2 + 36y 2 )3456R1122 = R2211 = Kdet(g) =6R1212 = R2121 = −Kdet(g) = −15(576 + x2 + 36y 2 )Задача №8.Вычислите тензор кривизны из задачи 6 и ковариантную производную этого тензора в направлении поля X.x1 = ux2 = vМетрическая о обратная матрицы:1gij = 0g ij1=00cos u201cos2 uВычислим символы Кристоффеля:1∂gki ∂gkj ∂gijmkΓm( j +−)ij = g2∂x∂xi∂xk1∂g11 ∂g11 ∂g11Γ111 = g 11 (+−)=2∂u∂u∂u∂g11 ∂g12 ∂g121+−)=Γ112 = g 11 (2∂v∂u∂u1∂g12 ∂g11 ∂g21Γ121 = g 11 ( 1 +−)=2∂x∂x2∂x1∂g12 ∂g12 ∂g221−)=Γ122 = g 11 ( 2 +2∂x∂x2∂x11∂g12 ∂g21 ∂g11Γ211 = g 22 (+−)=2∂u∂u∂v1∂g12 ∂g22 ∂g11Γ212 = g 22 (+−)=2∂v∂u∂v1∂g22 ∂g21 ∂g21Γ221 = g 22 ( 1 +−)=2∂x∂x2∂x21∂g22 ∂g22 ∂g22Γ222 = g 22 ( 2 +−)=2∂x∂x2∂x212121212121· (0 + 0 − 0) = 0· (0 + 0 − 0) = 0· 1 · (0 + 0 − 0) = 0· 1 · (0 + 0 − 2 · (− cos u · sin u)) = cos u · sin u· (0 + 0 − 0) = 01·· (0 + 2 cos u · (− sin u) − 0) = −tgu2 cos2 u11·· ((− cos u · sin u) + 0 − 0) = −tgu2 cos2 u11·· (0 + 0 − 0) = 02 cos2 uВычислим компоненты тензора кривизны, используя следующее свойство симметрии тензора кривизны:iiRqkl= −RqlkТогда:11R112= −R12111R221= −R21222R112= −R12122R221= −R212iRqkl=∂Γiql∂xk−∂Γiqk∂xl+ Γipk · Γpql − Γipl · Γpqk161R111=1R211=1R122=1R221∂u∂Γ112−∂Γ111∂u∂Γ111+ Γ111 Γ111 + Γ121 Γ211 − Γ111 Γ111 − Γ121 Γ211 = 0−+ Γ111 Γ112 + Γ121 Γ212 − Γ112 Γ111 − Γ122 Γ211 = 0∂u∂v1= −R112=01R112=1R121∂Γ111∂Γ121∂u∂Γ112∂v∂Γ121−−∂Γ121∂u∂Γ112∂v∂Γ122+ Γ111 Γ121 + Γ121 Γ221 − Γ111 Γ121 − Γ121 Γ221 = 0+ Γ112 Γ112 + Γ122 Γ212 − Γ112 Γ112 − Γ122 Γ212 = Γ122 Γ212 − Γ122 Γ212 = cos u · sin u(−tgu) − cos u · sin u(−tgu) = 0Γ112 Γ121Γ122 Γ221Γ111 Γ122−++−∂v∂u222sin u − cos2 u − sin u = sin u − 1 = − cos2 u=−Γ121 Γ222=−∂Γ122∂u+ Γ122 Γ221 = −(− sin2 u + cos2 u) + cos u · sin u(−tgu) =11R212= −R221= cos2 u1R222=2R111=2R112=1R1122R2112R1222R2122R2212R222∂Γ122∂v∂Γ211∂u∂Γ212−−−∂Γ122∂v∂Γ211∂u∂Γ211∂u∂v2= −R121=1∂Γ221+ Γ112 Γ122 + Γ122 Γ222 − Γ112 Γ122 − Γ122 Γ222 = 0+ Γ211 Γ111 + Γ221 Γ211 − Γ211 Γ111 − Γ221 Γ211 = 0+ Γ211 Γ112 + Γ221 Γ212 − Γ212 Γ111 − Γ222 Γ211 =∂Γ212∂u+ Γ221 Γ212 = −1cos2 u+ tg 2 u =sin2 u − 1cosu= −1∂Γ221−+ Γ211 Γ121 + Γ221 Γ221 − Γ211 Γ121 − Γ221 Γ221 = 0∂u∂u∂Γ212 ∂Γ212−+ Γ212 Γ112 + Γ222 Γ212 − Γ212 Γ112 − Γ222 Γ212 = 0=∂v∂v∂Γ222 ∂Γ221=−+ Γ211 Γ122 + Γ221 Γ222 − Γ212 Γ121 − Γ222 Γ221 = 0∂u∂v2= −R212=0=∂Γ222∂v−∂Γ222∂v+ Γ212 Γ122 + Γ222 Γ222 − Γ212 Γ122 − Γ222 Γ222 = 0Получили, что:1R221= − cos2 u1R212= cos2 u2R112= −12R121=1Используя следующую формулу, посчитаем ковариантную производную тензора кривизны в направлении поля X:(∇m R)lijk =l∂Rijk∂xmαlαlαl+ Γlmα · Rijk− Γαmi · Rαjk − Γmj · Riαk − Γmk · Rijα(∇2 R)1111 = 0221212(∇2 R)1112 = 0 + 0 · 0 + Г22R112− 0 · 0 − R211Г21− 0 · 0 − R121Г21− 0 · 0 − 0 · 0 = cos u · sin u(−1) − (−tgu) cos2 u = 02121R121− 0 · 0 − Г21R221− 0 · 0 − 0 · 0 − 0 · 0 − 0 · 0 = cos u · sin u(1) − (−tgu)(− cos2 u) = 0(∇2 R)1121 = 0 + 0 · 0 + Г22(∇2 R)1211 = 0(∇2 R)1122 = 0(∇2 R)1221 = 0(∇2 R)1212 = 017(∇2 R)1222 = 0(∇2 R)2111 = 0(∇2 R)2112 = 0(∇2 R)2121 = 0(∇2 R)2211 = 02212(∇2 R)2212 = Г21R212− Г22R122= −tgu · cos2 u − cos u · sin u(−1) = 0(∇2 R)2122 = 02112(∇2 R)2221 = Г21R221− Г22R121= −tgu(− cos2 u) − cos u · sin u = 0(∇2 R)2222 = 0⇒ ковариантную производную тензора кривизны в направлении поля X равна:(∇m R)lijk = 018Список используемой литературы.Список литературы1.Б.А.

Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко, Современная геометрия, Наука, М., 1979.2.Ю.И. Димитриенко, Тензорное исчисление, Высшая школа, М., 2001.3.А.Н. Щетинин, Е.А. Губарева, Основы тензорного анализа, Изд-во МГТУ, М., 2012.4.А.В. Погорелов, Лекции по дифференциальной геометрии, Изд-во Харьковского ун-та., Харьков, 1961.5.Д. Громов, В.

Клингенберг, В. Мейер, Риманова геометрия в целом, Мир, М., 1971.6.Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, ТТ, 1,2, Физматлит, М., 19857.Э.Р. Розендорн, Задачи по дифференциальной геометрии, Изд-во МГУ, М., 1969.8.А.Ш. Готман, Тензороное исчисление: учеб. Пособие, Новосибирская гос. акад. вод. трансп., 20079.А.В. Жидков, В.В. Шабаров, Элементы тензорного исчисления в евклидовом пространстве: тензорная алгебра,Нижегородский госуниверситет, 201219ВведениеДифференциальная геометрия-это часть математики, которая изучаетгеометрические образы, в первую очередь кривые и поверхности, а так жесемейства кривых и поверхностей методами анализа бесконечно малых.Характерным для дифференциальной геометрии является то, что онаизучает прежде всего свойства кривых и поверхностей «в малом», то естьсвойства сколь угодно малых кусков кривых и поверхностей.Возникновение дифференциальной геометрии относится к XVIII веку исвязано с именами Эйлера и Монжа.

Первое сводное сочинение по теорииповерхностей написано Монжем («Приложение анализа к геометрии»,1795). В 1827 Гаусс опубликовал работу «Общее исследование о кривыхповерхностях», в которой заложил основы теории поверхностей в еёсовременном виде. С тех пор дифференциальная геометрия пересталабыть только приложением анализа и заняла самостоятельное место вматематике.Данная курсовая работа делится на 2 части: теоретическую и практическую,первая содержит определения и формулы, необходимые для решениязадач, представленных в части 2.Практическая часть состоит из 7стандартных заданий и одного задания повышенной сложности,отмеченного звёздочкой. Одно из заданий потребовало построениячертежа, что было выполнено с помощью интернет-сайта «Wolfram alpha».Выполнение курсовой работы потребовало изучения таких темдифференциальной геометрии, как «Кривые в пространстве», «Тензоры»,«Ковариантные производные».Теоретическая частьКривой в пространстве называют образ интервала (a,b) при отображенииf:(a,b)-> класса ,kНатуральная параметризация кривой-параметризация с помощью длиныдуги этой кривой.Рассмотрим гладкую регулярную(ϒ: =на (a,b)) кривую класса-натуральная параметризация этой кривой.,и пустьВектор,ортогональный вектору скорости ,и направленный в сторону«искривления» кривой, называется вектором кривизны кривой, а егомодуль k=-кривизной кривой.Пусть кривая, отнесённая к произвольному параметру t ,задана впространстве в векторной форме:r = r(t), тогдакривизна k вычисляется по формуле:k=(1) .Геометрическое место центров кривизны этой кривой называетсяэволютой кривой.Назовём кругом кривизны кривой в данной точке М круг, который:1)Касается кривой в точке М;2)Направлен выпуклостью вблизи точки М в ту же сторону, что и кривая;3)Имеет ту же кривизну, что и кривая в точке М.Если кривая задана уравнениями= (t); y=y(t),то координаты (ξ, η) центра круга кривизны выражаются формулами:-η= +(2)Пусть = (s)-гладкая кривая класса ,отнесённая к натуральномупараметру s.В каждой точке данной кривой, где её кривизна отлична отнуля ,определён репер пространства ,который называется реперомФрене и состоит из следующих векторов:1)Единичного касательного вектора2)вектора главной нормали τ =3)вектора бинормали=;;= ;Также векторы репера Френе можно вычислить по формулам:r=;β=;ν=β×τПусть = (s)-гладкая кривая классапараметру s.(3),отнесённая к натуральному{}-репер Френе кривой.

Тогда существует такаягладкая(класса ) функция æ= æ(s),что имеют место следующиеформулы: =k ν;=-k τ+æβ;=-æν.Скаляр æ (s) называется кручением кривой в точке (s).Кручение вычисляется по формуле:æ=(4)Гауссовой кривизной поверхности называется произведение главныхкривизн (экстремальных значений кривизны) этой поверхности.Гауссова кривизна вычисляется по формуле:K=(5)Векторным полем называется функция Х, относящая каждой точке xвектор X(x)Ковариантной производной в направлении векторного поля Х называетсяправило, сопоставляющее векторному полю Y векторное поле,есливыполнены следующие условия:=;f)Y +fY;=+;Y=fЗадача№1Найти эволюту гипоциклоиды:= a(2cost+cos 2t);= a(2sin t− 2t).Решение:Сначала найдём все требуемые для решения задачи производные:=-2asint -2asin2t ;=-2acost -2acos2t ;=-2acost-4acos2t ;=-2asint+4asin2t;=8+16=8(1+3tcost-8at+8acostt=t).=(-2acost-4acos2t)( 8asintcost+4asin2t)=-16- 32t+8cost+8=8-t-8t+8t cost- 8-32=4+32t-tcost.=(-2acost-2acos2t)(-2acost -2acos2t)=-4-4tcost+4t- 8t+8t-4t-32tt+t=tt-8t+4+4t=-4.t cost-8-12+t+4Подставим вычисленные значения в формулу (1) и получимпараметрические формулы для эволюты:t.=2a cost+ a=2acost+at-a-t-a=6 acost-3 atη =2asint-2asint=3a(2t+=2asint-2asintt+4asint+=6asint+6asintt=6 a sint(1+Ответ: =3a(2η=6asint(1+);t););t).Замечание:На графике по оси абсцисс отслеживается значениеа по оси ординат-значение η.Задание №2:На кривойx = t − sin t, y = 1 − cost, z = sin tнайти кривизну k и кручение æ ,а так же репер Френе при t=0.Решение:Сначала найдём все необходимые для выполнения задания производные:=1-cost;=sint;=cost;=sint;=cost;=-sint;=cost;=-sint;=-cost;Теперь по формуле (2) вычислим кривизну k кривой:==-i+jsint +k(cost-1);==k=;;По формуле (4) найдём кручение кривой:(, )=æ==-1;И по формуле (3) вычислим репер Френе:=;();r(0)=(0;0;1);(0)=(-1;1;0);ν(0)=τ==-j=(0,-1,0);Ответ:Кривизна: k=;Кручение: æ=;Репер Френе при t=0: τ(0)=(0;0;1);(0)=(-1;0;0);ν(0) =(0,-1,0).Задание №3:Вычислите гауссову кривизну поверхности.Найдите пределы изменения гауссовой кривизны.Найдите точки, в которых гауссова кривизна принимает экстремальныезначения.5-4xy+2-6 =24Решение:=0;()(=6;=1;6+z== ;= ;-6 =24=;==;;K=;Пределы изменения гауссовой кривизны:[- ;0];=;=;F(0,0);G(2,0)-точки экстремума;Задание №4*Докажите теорему Клеро о геодезических на поверхностях вращения:Произведение радиуса на синус угла, образуемого геодезической смеридианом есть величина постоянная.rsinα=constДоказательство:Рассмотрим свободное движение точки массы m по некоторойповерхности под действием некоторой силы F.Проектируя 2 з-н Ньютонана оси координат ,получаем систему из 3 уравнений(5)Следствием системы (5) является соотношениеf,называемое первым интегралом.Если Ώ-поверхность вращения, то всякая нормаль к ней пересекает ось, иравнодействующая сил, действующих на точку, сводится к нормальнойреакции, которая будет постоянно пересекать ось z.Скалярный момент относительно оси z определится соответствующейнаправляющей произведения,Откуда получим уравнение m(x,и первый интегралm(x(6)который носит название интеграла площадей.Так как скоростьбудем иметьостаётся постоянной, то вдоль геодезической линииx -y = const ,(7)с другой стороны, если, опустив из точки P(x,y,z) геодезической линииперпендикуляр PQ на ось, обозначим через r радиус PQ параллели,проходящей через P,то направляющие косинусы векторабудут равны; ;0,В то время, как для касательной к параллели в точке P (ортогональной к QPи к оси z),эти направляющие косинусы будут равны;;0,Где выбор знака зависит от того, какое из направлений выбирается заположительное.А так как равенство (7) можно записать какr(-+)= const ,то произведение радиуса r параллели на косинус угла, которыйгеодезическая линия образует с параллелью(или синус угла, который онасоставляет с меридианом),не изменяется вдоль одной и той жегеодезической линии.Задание №5Вычислить коммутатор [X,Y] векторных полей X и У.X=x +y ;Y=x ;Решение:[X,Y]=XY-YX;XY=( x +y )( x )= xYX=( x(x +y+yxx + yx;;[X,Y]=0.где Z-так же векторное поле.Задание №6:В плоскости Лобачевского с метрикой=Найти ковариантную производнуютензорного поля Т типа (1,1)в направлении векторного поля Х.