Курсовые АК3-41, 2014 (Огромное количество решённых курсовых), страница 10

Далеевозьмем разбиение на пары ( x1 , x3 ) , ( x2 , x4 ) и путем тех же операций построимвекторное полеb  ( x3 , x4 , x1 ,  x2 ) . Возьмем последние разбиение ( x1 , x4 ) , ( x2 , x3 ) и получимвекторное поле c  ( x4 ,  x3 , x2 , x1 )запишем матрицу координат векторных полей:rabcx1 x2 x3 x4x2x1x4 x3x3 x4x1x2x4x3 x2x1Легко увидеть, что данные поля линейно независимы. В конце стоит отметить что такимже образом можно построить 7 полей на семимерной сфере.Задача № 7Найдите компонентыlRijkи Rlijk тензора кривизны поверхности из задачи 3.Для решения докажем соотношение:2 R211 1 R1212R212 g11K1R122 g 21g12 g 22 Пусть поверхность задается уравнениями x  x(u, v), y  y(u, v), z  z(u, v), где x,y,z – евклидовыкоординаты пространства и (u, v)  ( z1 , z 2 ) - координаты на поверхности, выберем в исследуемойточке Р=(0,0), где z нормальна к поверхности, в качестве параметров u  z1  x, v  z 2  y , тогдаповерхность около точки Р запишется уравнением z  f ( x, y), где gradfP 0 .

Для компонентметрики на поверхности получимgij   ij f f 1, z  x, z 2  yijz zВ частности в точке Р=(0,0) все производныеg ijz k=0, следовательно все символы Кристофеляравны нулю. В такой точке имеем формулуiqklRRiqklГ qliz kiГ qkz l 2 g qk 2 g ql 2 gik1   2 gil  q k  i l  q l  l k2  z zz zz zz zz1  x, z 2  yg11  1  z x2g 22  1  z y2g12  g 21  1  z x z y 2 g112 2 z xy2y 2 g 222 2 z xy2x 2 g122 z xx z yy  z xyxyТогда R2121  K , по определению имеем, что K z xxz yxz xy, в точке P, где gij   ij в выбранныхz yyкоординатах. Однако Гауссова кривизна К – это скаляр, R2121 - компонента тензора, они равнылишь в выбранной системе координат, где det gij  1  g .

Легко видеть из определения R,qliсогласно которому R  g Rqil , чтоR  2det g ql R2121 2R2121  Rdet gijВ Нашей системе координат верно равенство R=2K, так как R и K – скаляр, то это верно всегда.Тогда имеем:R2121  KgRiqkl  gi RqklR2121  g 2 R121Тогда:Kg  g 2 R121R121 Kg 2 g , где g=(g11 g 22  g12 g 21 )11R121 K ( g 21 )   R21122 R121 K ( g11 )  R211Используя соотношения:iiiRqkl Rlkq Rqlk0Получаем, что:1111R121 R211 R112 0  R11202222R121 R211 R112 0  R1120Kg 2 g  R21211 R212 K ( g 22 )  R12222R212 K ( g12 )   R122Используя соотношения:iiiRqkl Rlkq Rqlk0Получаем, что:1111R212 R221 R122 0  R21102222R212 R221 R122 0  R21102 R211В Итоге получаем:  1 R12122   R121R212 11 R122   R2112 R122 g11K1 R212 g 21g12 g 22 Используя эту формулу решим поставленную задачу.6 2 y2x 644z1(6 z 2  9 x 2 )4z31z yy (4 z 2  y 2 )16 z 33x2zyzy 4zz xx zx z xy  3xy8z39x2g11  1  24zy2g 22  1 16 z 2g12  g 21  1 K2211RR576(60 x  5 y 2  96) 22 R212121221122R3 xy8z 2R1212 R1212144(4 z 2  9 x 2 )(60 x 2  5 y 2  96) 2 z 2R1121 R121172(8 z 2  3xy )(60 x 2  5 y 2  96) 2 z 236(16 z 2  y 2 )(60 x 2  5 y 2  96) 2 z 2 9x23xy 1  2 1  2  (6 x  y ) 24z8z det g  16 z 2 3xyy2 1  2 1 16 z 2  8zR1122  R2211   R121236(6 x  y )2  R2121 (60 x 2  5 y 2  96)2 z 2Задача № 8Вычислить тензор кривизны из задачи 5 и ковариантную производную этого тензора внаправлении поля Хx1  ux2  v1  u2  0Решение:1Г110Г112 1v1v011Г 21 Г122Г 21 Г1221Г 2202Г 221vВычислим компоненты тензора кривизны по формуле:Г ljkГiklslslR ГГГГjkisikjsxix jlijkОчевидно, что при i  j компоненты тензора обнуляются, таким образом сразу имеем что:11221122R111 R112 R111 R112 R221 R222 R221 R2220Вычислим оставшиеся компоненты:1211R1R2122R2112R21211Г11Г 211111121 R  Г11Г 21 Г112 Г 22 Г 21Г11 Г 21Г12021xx1Г 1 Г 221111111211121  R122 12ГГГГГГГГ1221122222112212x 2x1v2 v2 v2 v22Г112 Г 211111212212  R121  Г11Г 21 Г112 Г 22 Г 21Г112  Г 21Г122   2  2  2   221xxvvvv22ГГ 22212212  R122 12 Г12Г 21 Г122 Г 22 Г 22Г112  Г 22Г122  021xx1121Посчитаем ковариантную производную тензора кривизны по формуле:(m R) lijkRijklxm Г ml  Rijk Г miRl jk  Г mjRil k  Г mkRijl Рассмотрим случай когда i  j , в этом случае, как уже было замечено, компоненты тензорыкривизны обнуляются, следовательно обнуляются первое, второе и последние слагаемое, иформулу можно представить в видеα:l(m R)iik  ГmiRl ik  Г miRil k.

Просуммируем поl11(m R)iik  ГmiR1lik  Г mi2 R2l ik  Г miRil1k  Г mi2 Ril2k исходя изравенстваlRijk  Rljik получаем, что при i  j ковариантная производная равна 022(m R)1111  (m R)1112  (m R)111 (m R)112 (m R)1221  (m R)1222  (m R)2221  (m R)2222  0Вычислим остальные производные1R2111 11211111111 Г111 R211 Г121 R211 Г121 R111 Г122 R211 Г11R211 Г112 R221 Г11R211 Г112 R212 3 3 01xv v1R12111111121(1 R)1212  212 Г111 R212 Г121 R212 Г121 R112 Г122 R212 Г11R212 Г112 R222  Г12 R211  Г12 R212  01xR11 11121111111(1 R)121 121 Г111 R121 Г121 R121 Г111 R121 Г112 R221 Г121 R111 Г122 R121 Г11R121 Г112 R122 3  31xv v1R1121111111(1 R)122 122 Г111 R122 Г121 R122 Г111 R122 Г112 R222 Г121 R112 Г122 R122 Г12R121 Г122 R1220x1R 221222122122(1 R) 211 211 Г112 R211 Г122 R211 Г121 R111 Г122 R211 Г11R211 Г112 R221 Г11R211 Г112 R2120x1R 21 12122222122(1 R) 212 212 Г112 R212 Г122 R212 Г121 R112 Г122 R212 Г111 R212 Г112 R222 Г12R211 Г122 R212 3  3 01xv v2R2122222122(1 R)121 121 Г112 R121 Г122 R121 Г111 R121 Г112 R221 Г121 R111 Г122 R121 Г11R121 Г112 R12201xR 21 121222122122(1 R)122 1212  Г112 R122 Г122 R122 Г111 R122 Г112 R222 Г12R112 Г122 R122 Г12R121 Г122 R122 3  3 0xv v(1 R)1211 Таким образом ковариантная производная в направлении поля Х равна 0.Список используемой литературы.1.

Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко, Современная2.3.4.5.6.7.8.геометрия, Наука, М., 1979.Ю.И. Димитриенко, Тензорное исчисление, Высшая школа, М.,2001.А.Н. Щетинин, Е.А. Губарева, Основы тензорного анализа, Издво МГТУ, М., 2012.А.В. Погорелов, Лекции по дифференциальной геометрии, Издво Харьковского ун-та., Харьков, 1961.Д. Громов, В. Клингенберг, В. Мейер, Риманова геометрия вцелом, Мир, М., 1971.Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшейматематике, ТТ, 1,2, Физматлит, М., 1985Э.Р.

Розендорн, Задачи по дифференциальной геометрии, Изд-воМГУ, М., 1969.Аминов Ю.А, Геометрия Векторного поля.Основная теоретическая часть для решения представленных задач былавзята из источников: "Методические указания по выполнению курсовойработы по Дифференциальной геометрии" и "А. Н. Щетинин, Е. А. Губарева,Основы тензорного анализа, Изд-во МГТУ, 2012" .Московский государственный техническийуниверситет им. Н. Э.

Баумана.Курсовая работапо дисциплине: «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯГЕОМЕТРИЯИ ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГОАНАЛИЗА»Выполнила: Иванова Т.Л.Группа: АК3-41Вариант: 7Проверил: Щетинин Александр Николаевичг. МоскваI. Постановка задачи.1. Введение............................................................................................................II. Практическая часть.1.2.3.4.5.6.7.8.Задача 1..............................................................................................................Задача 2..............................................................................................................Задача 3..............................................................................................................Задача 4..............................................................................................................Задача 5..............................................................................................................Задача 6..............................................................................................................Задача 7..............................................................................................................Задача 8..............................................................................................................III.

Литература.1. Список используемой литературы...............................................................ВведениеДанная курсовая работа посвящена решению задач по курсу"Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа" . В началеработы в краткой форме приводятся необходимые определения, формулы иутверждения без доказательств для решения поставленных задач. Кнекоторым задачам построены графики для лучшего восприятия их решения.Так как курсовая работа проводится параллельно с чтением самого курса"Дифференциальная геометрии и основы тензорного анализа" , то в заданиевключены как стандартные задачи, так и задачи повышенной сложности.

Ониотмечены звездочкой.В курсовой работе затронуты темы по курсу "Дифференциальная геометрияи основы тензорного анализа" такие как, "Кривые на плоскости и впространстве" , "Поверхности" , "Векторные и тензорные поля" , "Тензоркривизны" .Некоторые задачи требовали высокоточных сложных вычислений. Данныепроблемы решались с помощью сервисов: "Nigma" , "Wolfram Alpha" . Всевычисления в каждой задаче так же проверены с помощью этих интернетсервисов.Малая часть заданий нуждалась в графическом представлении для лучшеговосприятия решения. Данную проблему помог решить сервис "WolframAlpha", который способен строить графики в декартовой, прямоугольной,полярной и прочих системах координат.Задача 1Найдите эволюту циссоидыy 2 (2a  x)  x 3Решение:Запишем в параметрических:2at 2x(1  t 2 )2at 3(1  t 2 )Эволюту кривой будем считать по формулам:y  x( x ') 2  ( y ') 2y'x ' y " x " y '( x ') 2  ( y ') 2x'x ' y " x " y 'Найдем производные:4atx' (1  t 2 ) 2  yx' '  4a (3t 2  1)(t 2  1) 3y' 2at (t 2  3)(t 2  1) 2y' '  4at (t 2  3)(t 2  1) 3Найдем координаты центра кривизны:24a 2 t 24a 2 t 2 (t 2  1)(t 2  3)(t 2  4)at 2 (t 6  8t 4  19t 2  6)12a(1  t 2 )12a(t 2  1)3(1  t 2 )6at 32at (1  t 2 )(4  t 2 ) 2at (t 4  8t 2  4)3(1  t 2 )3(1  t 2 )3(1  t 2 )Задача 2Найти натуральное уравнение кривой.Условие:x  5e t cos ty  e t (4 sin t  3)z  e t (3 sin t  4)Решение:Кривизну и кручение будем считать по формулам:r ' r "K r'k 3( r ', r ", r "')r ' r "2Найдем производные:x'  5e t (cos t  sin t )x' '  10e t sin tx' ' '  10e t ( (sin t  cos t )y '  e t (4 sin t  4 cos t  3)y ' '  e t (3  8 cos t )y ' ' '  e t (8 cos t  8 sin t  3)z '  e t (3 sin t  3 cos t  4)z ' '  e t (6 cos t  4)z ' ' '  e t (6 cos t  6 sin t  4)Найдем кривизну:32 2r '  (( x' )  ( y ' )  ( z ' ) )  et 5 3322r 'r ' '  e 2t 25 6Kijk5e t (cos t  sin t ) e t (4 sin t  4 cos t  3) e t (3 sin t  3 cos t  4) 10e t sin te t (3  8 cos t )e t (6 cos t  1)et 5 3Найдем кручение:r ' , r ' ' , r ' ' '  250e3tr 'r ' '  e 4t 37502215e t5et (cos t  sin t )et (4 sin t  4 cos t  3) et (3 sin t  3 cos t  4) 10et sin tet (3  8 cos t )et (6 cos t  4) 10et (sin t  cos t ) et (8 cos t  8 sin t  3) et (6 cos t  6 sin t  4)k4te 3750Найдем натуральный параметр:ttS   r ' (u ) du  0(( x' ) 2  ( y ' ) 2  ( z ' ) 2 dt  5(e t  1)0Натуральные уравнения кривых:23( S  5)1k 3 ( S  5)K15 3etЗадание 4Доказать, что если в сети Чебышева на поверхности S одно семейство нитей состоит изгеодезических , то поверхность S - развертывающаясяДоказательство:Первая квадратичная форма сети сети Чебышева: 1g ij   cos cos  1 где    (u, v)Следовательно: 1g ij   1 cos 1 cos  1 Уравнение геодезической имеют вид:x  u (t )y  v(t )Причем:111x' '11( x' ) 2  212( x' )( y' )  22( y' ) 2  0y ' '112 ( x' ) 2  2122 ( x' )( y ' )  222 ( y ' ) 2  0Посчитаем символы Кристоффеля по формуле:ikl 1 lj gij g jk gikg ( i )2xx jx jggg111 11 g11 g11 g111g ( 1  1  1 )  g 12 ( 121  21)   'u tg 2xxx2xx1x1gg12 g1211 12 g12 g 22 g121121 12 g 11 ( 11)g ( 2  2  2 )02x1x1x12xxxgg12 g 2211 22 g 22 g 22 g 22122 g 21 ( 21)g ( 2  2  2 )   'v tg 2x 2x 2x 22xxxgg11 g1111 12 g12 g 21 g11112  g 11 ( 11)g ( 1  1  1 )   'u tg 2x1x1x12xxxgggggg112122  21 g 11 ( 11 121  121 )  g 12 ( 122  22 122 )  0122xxx2xxxgggggg11222 g 21 ( 21 122  22)  g 22 ( 22 22 22)   'v tg 22222xxx2xxx 2111Подставив в уравнение геодезической полученные символы Кристоффеля:x' ' 'u tg ( x' ) 2   ' v tg ( y ' ) 2  0y ' ' 'u tg ( x' ) 2   ' v tg ( y ' ) 2  0 'u   ' v  0Следовательно:x' ' y' '  0 -уравнение плоскости, которая является развертывающейся поверхностьюГде x  const , y  t -геодезическаяdS 2  dU 2  dV 2Что и требовалось доказатьЗадача 3Вычислите гауссову кривизну поверхности:5x 2  4 xy  2 y 2  z 2  24  0Найдите пределы изменения гауссовой кривизны.