Курсовые АК3-41, 2014 (Огромное количество решённых курсовых), страница 11

Найдите точки, в которых гауссовакривизна принимает экстремальные значения.Решение:Приведем к каноническому виду:5   22 2    7  621  62  1Получим:x 2  6 y 2  z 2  24  0Выразим z:z  x 2  6 y 2  24Найдем производные:xzx x 2  6 y 2  24z xx zy z yyz xy6 y 2  24( x 2  6 y 2  24) 3 / 26yx 2  6 y 2  246( x 2  24)( x 2  6 y 2  24) 3 / 26 xy 2( x  6 y 2  24) 3 / 2Вычислим Гауссову кривизну по формуле:Kz xx z yy  z xy2(1  z x2  z y2 )2K(6 y 2  24)6( x 2  24)36 x 2 y 2*( x 2  6 y 2  24) 3 / 2 ( x 2  6 y 2  24) 3 / 2 ( x 2  6 y 2  24) 3x236 y 21  2222x  6 y  24 x  6 y  24 Найдем производные:144 x( x  21 y 2  12) 33024 yKy   2( x  21 y 2  12) 3Kx  K yy  23024( x 2  105 y 2  12)C( x 2  21 y 2  12) 4144(5 x 2  21 y 2  12)A( x 2  21 y 2  12) 418144 xy 2B( x  21 y 2  12) 4K xx K xyK x  K y  0  x  0, y  0т.М(0;0)-экстремальная точкаA * C  0.14AC  B 2  0A 0т.О (2 6 ;2 6 )Следовательно (0,0) будет точка максимума.Пределы изменения: (0;0,25]236( x  21y 2  12) 22Задача 5Вычислите коммутатор  X , Y  векторных полей X и YУсловие:X  x  xyy  xyxyY  xyx  xyxРешение:Коммутатор будем вычислять по формуле: X , Y   XY  YXXY  (22 xy )( xy )  y  xy 2  x 2 y  x 2 y 2xyxxxxyx 22)(  xy )  xy 2  xy 2 x2 y2x xyyxyxX , Y   y   x 2 y   xy 2 xxyYX  ( xyЗадание 6На сфере единичного радиуса с первой квадратичной формойdS 2  du 2  cos 2 udv 2Найти ковариантную производную  X T тензорного поля T типа (1,1) в направлениивекторного поля Х.

Определить координаты тензоров S и R, полученные из тензорногополя Т соответственно опусканием и подниманием индексов. Определить ковариантныепроизводные  X S и  X R .Условие:1  u2  0T11  0T12  0T21  vx1  ux2  vT22  00 1g ij  2  0 cos u 0 11g 0cos 2 u ijНайдем символы Кристофеля по формуле:ijl 1 l g j g i g ijg ( i  )2xx jxg11 g11 g11111*()* 0(...)  02 cos 2 u x1x1x12g 21 g12 g11111112  * 0(...)  *( 1  2 )022 cos 2 u x1xxg11 g 21 g 211111121 12 *()* 0(...)  02 cos 2 u x 2x1x12g 21 g 22 g 21111221 122  * 0(...)  *( 1  2 )  tgu22 cos 2 u x 2xxg12 g 21 g 22111122 *( 2  1 )  * 0(...)  sin u * cos u222 cos u xxx2ggg111222 * 0(...)  *( 22 22 22)022222 cos u xxx 2111Вычислим ковариантную производную по формуле: X T  1 (1T ) ij   2 ( 2T ) ij( k T ) ijT jix k kl T j  kj TiT111 1(1T )  1  11T1  111 T11  121 T12  112 T21  0xT2111 1(1T ) 2  1  11T2  121 T11  121 T22  122 T21  vtguxT122(1T )1  1  112 T11  111 T12  122 T12  112 T22  0xT 2(1T ) 22  21  112 T21  121 T12  122 T22  122 T22  0x11 0 uvtgu (( X T )ij )  00Опустим индексы по формуле:S jk  gj TkS11  g11T11  g 21T12  0S12  g11T21  g 21T22  vS 21  g12T11  g 22T12  0S 22  g12T21  g 22T22  0Посчитаем ковариантную производную по формуле: ( k S ) ij S ijxk ki Sj  kj S iS1111 11S11  11S11  112 S 21  112 S12  01xS11(1 S )12  121  11S12  12S11  112 S 22  122 S12  v * tguxS11(1 S ) 21  21 12S11  11S 21  122 S 21  112 S 22  01xS11(1 S ) 22  22 12S12  12S 21  122 S 22  122 S 22  01x(1 S )11 0(( X S ) ij )  0uvtgu 0 Опустим индекс у тензора по формуле:R jk  g j TkR11  g 11T11  g 21T21  0vcos 2 uR 21  g 12T11  g 22T21  0R12  g 11T12  g 21T22 R 22  g 12T12  g 22T22  0Вычислим ковариантные производные по формуле:R ij( k R)  k  ki R j  kj R ixR111 111 1111(1 R)11  1  11R  11R  12R 21  12R12  0xR12121 121(1 R)  11R  112 R11  12R 22  122 R12  01xR 21v sin u11(1 R) 21  112 R11  11R 21  122 R 21  12R 22 1xcos 3 uR 2222(1 R)  112 R12  112 R 21  122 R 22  122 R 22  01xij 0(( X R) )   uv sin u cos 3 uijВыполним проверку:( X S )ij  g ki ( X T ) kj( X R)ij  g ki ( X T ) kj00( x S )11  g11 ( xT )11  g 21 ( xT )12  0( x S ) 21  g12 ( xT )11  g 22 ( x T )12  0( x S )12  g11 ( x T )12  g 21 ( x T ) 22  vtgu( x S ) 22  g12 ( xT )12  g 22 ( xT ) 22  0( x R)11  g 11 ( x T )11  g 21 ( x T )12  0( x R)12  g 11 ( x T )12  g 21 ( x T ) 22  0v sin ucos 3 u( x R) 22  g 12 ( x T )12  g 22 ( x T ) 22  0Задание 7( x R) 21  g 12 ( x T )11  g 22 ( x T )12 lНайдите компоненты Rijk и Rlijk тензора кривизны поверхности из задачи 3.Для решения докажем соотношение:2 R211 1 R1212R212 g11K1R122 g 21g12 g 22 Пусть поверхность задается уравнениями x  x(u, v), y  y(u, v), z  z (u, v), где x,y,z –евклидовы координаты пространства и (u, v)  ( z1 , z 2 ) - координаты на поверхности,выберем в исследуемой точке Р=(0,0), где z нормальна к поверхности, в качествепараметров u  z1  x, v  z 2  y , тогда поверхность около точки Р запишется уравнениемz  f ( x, y), где gradfP 0 .

Для компонент метрики на поверхности получимgij   ij f f 1, z  x, z 2  yijz zВ частности в точке Р=(0,0) все производныеg ij=0, следовательно все символыz kКристофеля равны нулю. В такой точке имеем формулуRRiqklГ qliiГ qkz kz l 2 g qk 2 g ql 2 gik1   2 gil  q k  i l  q l  l k2  z zz zz zz ziqklz1  x, z 2  yg11  1  z x2g 22  1  z y2g12  g 21  1  z x z y 2 g112 2 z xy2y 2 g 222 2 z xy2x 2 g122 z xx z yy  z xyxyТогда R2121  K , по определению имеем, что K z xxz yxz xy, в точке P, где gij   ij вz yyвыбранных координатах.

Однако Гауссова кривизна К – это скаляр, R2121 - компонентатензора, они равны лишь в выбранной системе координат, где det gij  1  g . Легкоiвидеть из определения R, согласно которому R  g ql Rqil, чтоR  2det g ql R2121 2R2121  Rdet gijВ Нашей системе координат верно равенство R=2K, так как R и K – скаляр, то это верновсегда.Тогда имеем:R2121  KgRiqkl  g i RqklR2121  g 2 R121Тогда:Kg  g 2 R121R121 Kg 2 g , где g=(g11 g 22  g12 g 21 )11R121 K ( g 21 )   R21122 R121 K ( g11 )  R211Используя соотношения:iiiRqkl Rlkq Rqlk0Получаем, что:1111R121 R211 R112 0  R11202222R121 R211 R112 0  R1120Kg 2 g  R21211 R212 K ( g 22 )  R12222R212 K ( g12 )   R122Используя соотношения:iiiRqkl Rlkq Rqlk0Получаем, что:1111R212 R221 R122 0  R21102222R212 R221 R122 0  R21102 R211В Итоге получаем:  1 R12122   R121R212 11 R122   R2112 R122 g11K1 R212 g 21g12 g 22 Условие:5x 2  4 xy  2 y 2  z 2  24  0Kzx g ij g11g 21g12 1  zg 22zx z y2x36( x  21y 2  12) 22xx 2  6 y 2  24zy 2 x 2  6 y 2  24zx z yx 2  6 y 2  246 xy1  z y2x 2  6 y 2  246yx 2  6 y 2  246 xy2( x 2  21y 2  12)x  6 y 2  24x 2  42 y 2  24x 2  6 y 2  24x 2  6 y 2  242Воспользуемся доказанными ранее соотношениями и получим:22R211  R121 K * g11 72( x 2  3 y 2  12)( x 2  6 y 2  24)( x 2  21 y 2  12) 236( x 2  42 y 2  24)( x 2  6 y 2  24)( x 2  21y 2  12) 2216 xy2121R212 R121  R122  R211 K * g12  22( x  6 y  24)( x 2  21 y 2  12) 272R1122  R2211   R1212   R2121  K * g  22( x  6 y  24)( x 2  21y 2  12)11R122  R212 K * g 22 Остальные координаты равны 0.Задание 8Вычислить тензор кривизны из задачи 6 и ковариантную производную этого тензора внаправлении поля ХУсловие:x1  u2122  21 tgux v1  u2122 sin u cos u111211 12 21 22 112  02  0Решение:Вычислим компоненты тензора кривизны по формуле:Г ljkГiklslslR ГГГГjkisikjsxix jlijkОчевидно, что при i  j компоненты тензора обнуляются, таким образом сразу имеем что:11221122R111 R112 R111 R112 R221 R222 R221 R2220Вычислим оставшиеся компоненты:1112221 11112 1 1221  122 22 2211 2212  (cos 2 u  sin 2 u )  sin 2 u   cos 2 ux 2x1 2  212212212R211  R121 112  21 1121 112 22 21112  21122  tg 2 u  112xxcos u11111 11112 1R211  R121 112  21 1121  112 22 2111 2112  0xx12122 222212212R212   R122  2  1  1221 122 22 22112  22122  0xx11R212  R122Посчитаем ковариантную производную тензора кривизны по формуле:(m R) lijklRijkxm Г ml  Rijk Г miRl jk  Г mjRil k  Г mkRijl Рассмотрим случай когда i  j , в этом случае, как уже было замечено, компонентытензоры кривизны обнуляются, следовательно обнуляются первое, второе и последниеслагаемое, и формулу можно представить в видеПросуммируем по α:l(m R)iik  ГmiRl ik  ГmiRil k.l121(m R)iik  Г miR1lik  Г miR2l ik  Г miRil1k  Г mi2 Ril2k исходя изравенстваlRijk  Rljik получаем, что при i  j ковариантная производная равна 022(m R)1111  (m R)1112  (m R)111 (m R)112 (m R)1221  (m R)1222  (m R)2221  (m R)2222  01R111111 111 R111 111 R111 11 R11 1  11 R11  01xR 11(1 R )1112  112 11 R112 11 R1 12  11 R11 2  12 R11  01xR 11(1 R )1121  121 11 R121 11 R1 21  12 R11 1  11 R12  0x 11R21111(1 R ) 211  11 R211 12 R1 11  11 R21 1  11 R21  01xR 112(1 R )1122  122 11 R122 11 R1 22  12 R11 2  12 R12   sin 2u  2( tgu cos u )  01x1R212112(1 R ) 212  11 R212 12 R1 12  11 R21 2  12 R21  sin 2u  2( tgu *  cos u )  01xR 11(1 R )1221  221 11 R221 12 R1 21  12 R21 1  11 R22  01xR 11(1 R )1222  222 11 R222 12 R1 22  12 R21 2  12 R22  0x 12R1112(1 R )111  12 R111 11 R211  11 R12 1  11 R112   01xR 22(1 R )112 112 12 R112 11 R212  11 R12 2  12 R112   01x2R1212(1 R )121  12 R121 11 R2 21  12 R12 1  11 R122   01xR 22(1 R )122 122 12 R122 11 R2 22  12 R12 2  12 R122   01xR 22(1 R ) 2211  211 12 R211 12 R211  11 R22 1  11 R21  0x 1R 22(1 R ) 2212  212 12 R212 12 R212  11 R22 2  12 R21  01xR 22(1 R ) 2221  221 12 R221 12 R2 21  12 R22 1  11 R22  0x 12R22222(1 R ) 222  12 R222 12 R2 22  12 R22 2  12 R22  01x(1 R )1111 Следовательно, ковариантная производная в направлении поля Х равна 0.Список используемой литературы.1.

Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко, Современная геометрия,Наука, М., 1979.2. Ю.И. Димитриенко, Тензорное исчисление, Высшая школа, М., 2001.3. А.Н. Щетинин, Е.А. Губарева, Основы тензорного анализа, Изд-во МГТУ,М., 2012.4. А.В. Погорелов, Лекции по дифференциальной геометрии, Изд-воХарьковского ун-та., Харьков, 1961.5. Д. Громов, В.