Н.А. Спирин, В.В. Лавров - Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента, страница 8

ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХчины. Три другие рассмотренные в этом примере оценки также являются состоятельными для математического ожидания. Однако среднее геометрическоеHB2 = 3 351 ⋅ 370 ⋅ 365 = 361,91 – это смещенная оценка (она будет наилучшейтолько тогда, когда случайная величина подчиняется так называемому логарифмически нормальному распределению, т.е. когда закону Гаусса подчиняется не сама случайная величина, а ее логарифм). Середина размахаНВ3=(351+370)/2=360,50 и средний член вариационного ряда НВ4 = 365,00 – этохотя и несмещенные оценки для математического ожидания, но их эффективность, как показано в математической статистике, меньше, чем у выборочногосреднего арифметического (меньше единицы).Выборочная дисперсия S2xoили S x2 - сумма квадратов отклонений выбо-рочных результатов наблюдений от их выборочного среднего арифметическогов выборке, деленная на n-1 или на n.∑ (xnS2x =i =1i−x)2n −1(3.6)илиno2xS =∑ (xi =1− Mx )2i.n(3.7)oОценки S x2 и S2x являются состоятельными, несмещенными и, в случаенормального распределения, асимптотически эффективными оценками дисперсии σ2.Для практических расчетов выражение (3.6) можно преобразовать к виду21 ⎡ n 2 1⎛ n ⎞ ⎤S =⎢∑ xi − ⎜ ∑ xi ⎟ ⎥.n − 1 ⎣⎢ i =1n ⎝ i =1 ⎠ ⎦⎥2x(3.8)В условиях примера 3.1 выборочная дисперсия твердости на поверхностикатания головки рельса равна453.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ2S HB=()1 ⎡12⎤3512 + 370 2 + 365 2 − (351 + 370 + 365) ⎥ = 97,00 .⎢3 −1 ⎣3⎦SВыборочное среднее квадратичное отклонениеoxилиSx– положи-тельный квадратный корень из выборочной дисперсии:o2xoSx = + Sили(3.9)Sx = + S2x .(3.10)В примере 3.1 S x = + 97 = 9,85.Зная выборочное среднее арифметическое x и выборочное среднееквадратичное отклонение S x , можно подсчитать меру относительной изменчивости случайной величины – выборочный коэффициента вариации ν - по формулеν=Sxx,(3.11)или, в процентах,ν=Sxx⋅ 100%.(3.12)Для примера 3.1 выборочный коэффициент вариации твердости равенν=9,85/362 = 0,027, или 2,7%.Через выборочное среднее арифметическое x и выборочное среднееквадратическое отклонение S x могут быть сделаны точечные оценки для любых значений функции распределения, а также для вероятности попаданияслучайной величины в любой из заданных интервалов.Так, для какого - либо значения функции нормального распределения,посколькуF (x ) = P ( X ≤ x) = P (X −Mxσ≤x−Mxσ) = P( Z ≤46x−Mxσ) = Φ(x−Mxσ),(3.13)3.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХв качестве точечной оценки F(x) можно использовать−x−xF (x ) = Φ().Sx∗(3.14)Точечную оценку вероятности попадания случайной величины Х с нормальным законом распределения в любой из заданных интервалов (х1, х2) можно найти по формуле−−x −xx −xP( x1 < X ≤ x 2 ) = Φ ( 2) − Φ( 1).SxSx∗(3.15)В соответствии с (2.32) точечная оценка квантили xр порядка р для нормального распределения равна∗−x p = x+ z p S x .(3.16)В примере 3.1 предположим, что получено только два значения твердости на поверхности катания головки рельса (на обоих концах на расстоянии неболее 1 м от торцов): 351 и 370, а третье испытание (в средней части) еще непроводилось.Оценим при этих условиях вероятность того, что после измерения твердости в средней части рельса ее значение окажется ниже, чем 341, т.е.

вероятность того, что в результате третьего испытания рельс попадет во второй класс(для которого твердость на поверхности катания головки может лежать в диапазоне 311…341) или его придется подвергнуть повторной однократной термической обработке (закалке и отпуску).Кроме того, оценим вероятность того, что после определения твердостив средней части рельса он будет по - прежнему удовлетворять требованиямпервого класса по пункту 1.4 ГОСТ 18267-82 (НВ = 341…388).Если предположить, что твердость на поверхности катания головки рельса не противоречит нормальному закону распределения, то наилучшими точечными оценками для математического ожидания и дисперсии этой случайнойвеличины в соответствии с (3.5) и (3.8) будут значенияx HB =1(351 + 370) = 360,5 ,2473.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ2S HB=апо()1 ⎡12⎤3512 + 370 2 − (351 + 370) ⎥ = 180,5 ,⎢2 −1 ⎣2⎦(3.10)выборочноесреднееквадратичноеотклонениесоставитS x = + 180,5 = 13,435 .Тогда по (3.14) получаем, что∗∗F (341) = P (HB ≤ 341) = Φ (341 − 360,5) = Φ (− 1,45 ).13,435Поскольку согласно (2.29) Ф(-1,45) = 1 - Ф(1,45), то по таблицам дляфункции Лапласа (см. прил. П1) находим Ф(1,45) = 0,92647, и, следовательно,∗F (341) = Ф(-1,45) = 1 - 0,92647 ≈ 0,07.В электронных таблицах Microsoft Excel для подобных расчетов можноиспользовать функцию НОРМСТРАСП.НОРМСТРАСП((341-СРЗНАЧ(351;370))/СТАНДОТКЛОН(351;370)) = 0,07333 ,где СРЗНАЧ(351;370) и СТАНДОТКЛОН(351;370) – статистические функциидля вычисления соответственно выборочного среднего арифметического значения и выборочного среднего квадратичного отклонения.Точно такое же значение может быть получено через функцию НОРМРАСП.НОРМАСП(341;СРЗНАЧ(351;370);СТАНДОТКЛОН(351;370);ИСТИНА)=0,0733.Итак, точечной оценкой (полученной по двум выборочным значениям 351и 370) функции распределения твердости НВ на поверхности катания головки∗∗рельса от значения 341 является величина F (341) = P(HB ≤ 341) = 0,07.

Другимисловами, точечная оценка вероятности того, что при испытании твердости всредней части рельса ее значение окажется меньше 341, равна 0,07. Или, еслипроведено два испытания на обоих концах рельса и получены значения 351 и370, то после определения твердости в средней части, возможно, только семьрельсов из ста придется перевести во второй класс или подвергнуть повторнойоднократной термической обработке.483. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХДля оценки вероятности того, что после определения твердости в средней части рельс по-прежнему будет удовлетворять требованиям первого класса, воспользуемся соотношением (3.15) и получим∗P (341 < HB ≤ 388 ) = Φ (388 − 360,5341 − 360,5) − Φ() = Φ (2,05) − Φ (− 1,45).13,43513,435Значение Ф(-1,45) ≈ 0,07 нами было уже найдено, а Ф(2,05) ≈ 0,98 (потаблицам [11], в табл.

П.1 или в Microsoft Excel НОРМСТРАСП(2,05) =0,979818).∗Следовательно, P(341 < HB ≤ 388) ≈ 0,98 − 0,07 = 0,91, т.е. 91% всех рельсов, после измерения твердости в средней части, будут по-прежнему отвечатьтребованиям пункта 1.4 ГОСТ 18267-82 (НВ = 341…388), если на их концах ужебыли получены значения 351 и 370.Добавим, что значения 341 и 388 являются оценками квантилей порядка∗∗соответственно 0,07 и 0,98, т.е.

HB 0 , 07 = 341, а HB 0,98 = 388, и если, допустим, необходимо оценить квантиль порядка 0,99, то по формуле (3.16) можно получитьследующее значение:∗HB 0.99 = 360,5 + z 0.99 13,453 = 360,5 + 2,326 ⋅ 13,435 = 391,80,где z0,99 – квантиль нормированного нормального распределения порядка0,99 – можно найти по таблицам [11], в табл. П.2 или в Microsoft Excel с использованием функции НОРМСТОБР(0,99) = 2,326342 , а также НОРМОБР(0,99;0;1)= 2,326342.Следовательно, если на обоих концах рельса получены значения 351 и370, то скорее всего только в одном случае из ста твердость на поверхности катания головки в средней части может оказаться больше 391,8.Однако все последние приведенные в примере 3.1 выводы и заключенияотносительно оценок различных вероятностей не следует понимать в буквальном смысле слова.

Так, если бы удалось собрать данные по твердости в средней части на ста рельсах, у которых значения этого показателя качества поконцам составляли бы ровно 351 и 370, то, конечно же, совершенно не обязательно, что именно только на одном рельсе из ста твердость оказалась бы493. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХбольше, чем 391,8.

Такое событие вполне могло бы быть отмечено и на двух, ина трех и т.д. рельсах либо вообще ни разу не встретиться.Дело здесь заключается в том, что, во-первых, даже если бы нам удалось найти саму теоретическую вероятность какого-либо события (изучить всюгенеральную совокупность), а не ее оценку (полученную по выборке ограниченного объема), то и в этом случае фактическая частота реализации этого события вполне могла бы отличаться (хотя и не очень сильно) от соответствующейей теоретической вероятности. Так, например, если сто раз подбросить "идеальную" монету, то совершенно не обязательно, что ровно в 50 случаях выпадет "орел", а в остальных 50 - "решка". Хотя то, что во всех 100 случаях выпадет "орел" и ни разу - "решка", мы вряд ли увидим (если тот, кто подбрасываетмонету, не факир или фокусник, то вероятность подобного события равна(0,5)100 = 8⋅10-31).И, во-вторых, если в нашем распоряжении имеются только лишь какаялибо точечная оценка, то вообще совершенно невозможно сказать, насколькоблизко она располагается относительно оцениваемого ею параметра.

Так, например, если вероятность того, что при получении твердости на концах рельса351 и 370 он и после измерения этой величины в средней части будет отвечатьпункту 1.4 ГОСТ 18267-82 оценивается значением 0,91, то на самом деле (длявсей генеральной совокупности, т.е. для всех рельсов Р65, выпускаемых поГОСТ 18267-82) эта вероятность может быть равна и 0,85, и 0,95 и т.д.По значению точечной оценки не представляется возможным определить, хотя бы в каком диапазоне находится оцениваемый ею параметр. Этотсущественный недостаток точечного оценивания может быть компенсированоцениванием с помощью так называемого доверительного интервала.3.2.

Оценивание с помощью доверительного интервалаВ отличие от точечной оценки, интервальная оценка позволяет получитьвероятностную характеристику точности оценивания неизвестного параметра.Идея оценивания с помощью доверительного интервала заключается втом, чтобы в окрестности точечной оценки попытаться построить такой интер503.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХвал (доверительный интервал), который с некоторой, отличной от нуля, вероятностью (доверительной вероятностью) накрыл бы оцениваемый параметр распределения.Доверительный интервал – интервал, который с заданной вероятностьюнакроет неизвестное значение оцениваемого параметра распределения.Доверительная вероятность – вероятность того, что доверительный интервал накроет действительное значение параметра, оцениваемого по выборочным данным.Оценивание с помощью доверительного интервала – способ оценки, прикотором с заданной доверительной вероятностью устанавливают границы доверительного интервала.Предположим, что для оценки параметра Θ удалось найти две функцииΘ1*(x1, x2, ..., xn) и Θ2*(x1, x2, ..., xn), такие, что при всех (x1, x2, ..., xn) и при любыхзначениях Θ выполняется условиеΘ1* < Θ*2 ;P Θ1* (x1, x 2 ,..., x n ) ≤ Θ ≤ Θ*2 (x1, x 2 ,..., x n ) = 1 − α.{}(3.17)Это означает, что действительное значение параметра Θ находится в интервале значений (Θ1*;Θ2*) с вероятностью P.Интервал (Θ1*;Θ2*) как раз и называют доверительным интервалом длянеизвестного параметра Θ, а соответствующую ему вероятность P{Θ1*≤Θ≤Θ2*} доверительной вероятностью (или надежностью) P=1-α, где α - уровень значимости.