Н.А. Спирин, В.В. Лавров - Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента, страница 10

При таком малом числе наблюдений фактическая дисперсия σx2 неизвестна, поэтомупри построении доверительного интервала для математического ожидания Mxиспользуют выборочную дисперсию Sx2.В этом случае приведенная случайная величина, аналогичная (3.23),573. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХt=(x − M x )Sx / n,(3.27а)где Sx – выборочное среднее квадратичное отклонение, определяемое поформуле (3.10), имеет распределение, отличное от нормального.

Функция распределения случайной величины t (3.27) имеет вид⎛ m +1⎞m +1Γ⎜⎟ t2 − 2⎛ t ⎞⎝ 2 ⎠⎜1 + ⎟⎟dt ,F (t ) =∫m⎠⎛ m ⎞ −∞⎜⎝πm ⋅ Γ⎜ ⎟⎝2⎠(3.28)где Г(у) – гамма-функция, являющаяся обобщением понятия факториалаи обладающая рекуррентным свойством: Г(y + 1) = yГ(y) (для целых чисел nсправедливо Г(n + 1) = n! см. [1]); m – число степеней свободы, определяемоеразностью между объемом выборки n и числом параметров, оцениваемых повыборке; в данном случае m = n-1 (поскольку при определении t по (3.27) необходимо оценить один параметр Sx).Число степеней свободы m – это понятие, которое учитывает в статистических ситуациях связи, ограничивающие свободу изменения случайных величин. Поэтому число степеней свободы вычисляется как разность между числомэкспериментальных точек n и числом связей f, ограничивающих свободу изменения случайной величины.

Так, при вычислении выборочной дисперсии поn(формуле (3.6) S x2 = ∑ xi − xi =1)2(n − 1) наблюдается одна связь, определяемая1 nуровнем выборочного среднего x = ∑ xi , поэтому число степеней свободыn i =1выборочной дисперсии будет равно m = n - 1, а, например, для выборочнойn~2дисперсии, найденной из соотношения (3.7) S x2 = ∑ ( xi − M x ) n , число степеi =1ней свободы равно числу испытаний m = n, так как Mx определено независимымспособом.Понятие о степени свободы поясним еще на примере решения системылинейных алгебраических уравнений.

Допустим, что мы имеем систему из n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными x1, x2, ..., xn. Очевидно,583. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХрешение такой системы (при линейной независимости уравнений) будет единственным, т.е. такая система не будет иметь ни одной степени свободы. Но если для n неизвестных переменных мы имеем только одно уравнение, то дляоднозначного определения x1, x2, ..., xn должно быть наложено еще m = n - 1условий (уравнений), т.е. число степеней свободы такой системы уравненийбудет равно n - 1.Наконец, если по выборке объемом n будут сделаны оценки ровно для n(линейно независимых) параметров распределения, то расчет n + 1 оценки небудет нести никакой дополнительной информации о распределении случайнойвеличины (все n выборочных значений x1, x2, ..., xn будут однозначно определены через n оценок параметров), поскольку после оценки n параметров числостепеней свободы m = n - n уже окажется равным нулю.Распределение (3.28), зависящее только от числа степеней свободы (однопараметрическое),называютраспределениемСтьюдента,илиt–распределением.Плотность распределения Стьюдента выражается формулойf (t) =⎛ m + 1⎞m +1Γ⎜⎟2 −⎝ 2 ⎠ ⎛⎜1 + t ⎞⎟ 2,m ⎟⎠⎛m⎞⎜πm ⋅ Γ⎜ ⎟ ⎝⎝2⎠⎛ t2 ⎞причем множители при ⎜⎜1 + ⎟⎟⎝ m⎠(3.29)−m +12в f(t) выбраны так, чтобы площадь подлюбой кривой f(t) равнялась единице.Стьюдент – псевдоним У.С.

Госсета (1876-1937) – химика, работавшего водной из пивоваренных фирм Великобритании. Он самостоятельно разработалстатистику малых выборок. Поскольку в современной технике чаще всего исследуются небольшие по объему выборки (менее 30), то работа Стьюдентаимеет большое практическое значение.На рис. 3.2 приведено распределение Стьюдента для различных значений m. При n→∞ (практически при n≥30) распределение Стьюдента переходит встандартное нормальное распределение с единичной дисперсией.593.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХДля случайной величины t (3.27), в соответствии с (2.20), можно записать,чтоP (t P1 < t ≤ t P 2 ) = P (t P1 <(x − M x )Sx / n≤ t P 2 ) = P2 − P1 ,(3.30)где tP1 и tP2 – значения квантилей случайной величины t порядка p1 и p2соответственно.Если в соотношении (3.30), аналогично (3.24), разрешить относительноMx неравенство, стоящее под знаком вероятности, и при построении доверительного интервала для математического ожидания принять симметричныеграницы P1= α/2 и P2 = 1 – α/2, то получим, что вероятность выполнения неравенства_x− t α,msxn_< Mx < x+ t α,msx(3.31)nравна P = 1 - α , где tα,m – так называемый коэффициент Стьюдента (значениеквантили статистики t (3.27) порядка P = 1 - α /2 для числа степеней свободы m= n –1).Следовательно, интервал (3.31) является доверительным интерваломдля математического ожидания Mx случайной величины с нормальным закономраспределения, построенным с доверительной вероятностью P = 1- α, при неизвестном значении генеральной дисперсии σx2.Значения tα,m табулированы (см., например, [11] или табл.

П.6), их можноопределить также, воспользовавшись статистической функцией СТЬЮДРАСПОБР из электронных таблиц Microsoft Excel, причем при m > 30 tα,m ≈ z1-α/2.Так, при α = 0,05 и m = 31 СТЬЮДРАСПОБР(0,05;31) = 2,039515 , а НОРМСТОБР(1-0,05/2) = 1,959961.Если в примере 3.1 по трем ( n = 3, m = n-1=3 -1=2) выборочным значениям 351, 370 и 365 (первый рельс - x HB = 362 ; S HB = 9,85 ) было бы необходимо приα = 0,05 построить доверительный интервал для математического ожиданиятвердости на поверхности катания головки рельса, то, если предположить, чтотвердость не противоречит нормальному закону распределения, и посколькуt0,05,2 ≈ 4,3 (СТЬЮДРАСПОБР(0,05;2) = 4,302656), он оказался бы равным603. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ362 − 4,39,853< M HB < 362 + 4,39,853, или M HB = 362 ± 24,45 .Следовательно, интервал [337,55; 386,45] с вероятностью 1 – 0,05 = 0,95накрывает математическое ожидание твердости на поверхности катания головки рельса.аf(t)0,4m=10m=4m=10,20,1-t-3-2б-10123F(t)tm=101,0m=40,8m=10,40,2-t-4-3-2-101234tРис.

3.2. Плотность (а) и функция (б) t-распределения Стьюдента613. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ3.2.2. Построение доверительного интервала для дисперсииПри построении доверительного интервала для дисперсии используетсяслучайная величина χ2 (читается: "хи-квадрат"),2⎛ x − x ⎞ n −1 2⎟ = 2 ⋅ Sx ,χ = ∑ ⎜⎜ i⎟σxi =1 ⎝ σ x ⎠2n(3.32)которая имеет так называемое распределение Пирсона (по имени английского математика и биолога К.Пирсона), или χ2–распределение ("хиквадрат-распределение").Плотность распределения случайной величины χ2 описывается уравнением( )f χ2 =( )1⋅ χ2m/ 22 ⋅ Γ(m 2)m−22⋅ e−1 2χ2, 0 ≤ χ2 ≤ ∞,(3.33)где Г(m/2) – гамма – функция; m – число степеней свободы (при построении доверительного интервала m = n-1).На рис.3.3 приведены кривые f(χ2) для различных значений m.

Эти кривые асимметричны, причем асимметрия особенно резко выражена при малыхзначениях параметра m. Так, при m =1 и χ2=0 кривая уходит в бесконечность, апри m = 2 и χ2=0 она достигает максимального значения, равного 0,5. При m>2кривые имеют максимум при χ2max = m - 2. При больших значениях m (m>30) χ2распределение переходит в нормальное со средним значением f ( χ 2 ) = 2m − 1и дисперсией σ2=1.Для построения доверительного интервала для дисперсии рассмотримсоотношениеP(χP21 < χ 2 ≤ χP22 ) = P2 − P1(3.34)и с учетом (3.32) решим стоящее в скобках неравенство относительно σx2 :623. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХP(S2xn −1n −12< σ x ≤ S2x 2 ) = P2 − P1 ,2χ P1χ P22где Sx(3.35)n −122 n −1S<σ<xxχ2P2χ2P1(3.36)есть доверительный интервал для дисперсии σx2 с доверительной вероятностью P= P2 - P1=1-α.аf(χ2)m=20,50,40,3m=40,2m=100,1024681012141618χ218χ2б2F(χ )m=11,0m=40,8m=100,60,40,20246810121416Рис.3.3.

Плотность распределения (а) и функция распределения (б)χ2633. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХКак и при построении доверительного интервала для математическогоожидания в технических приложениях обычно принимают P1=α/2 и P2=1-α/2, а αвыбирают равным 0,1 или 0,05, реже 0,01.Квантили распределения Пирсона находят по таблицам (см. [11] илитабл. П.3), а в Microsoft Excel для этого используется функция ХИ2ОБР.Границы доверительного интервала для среднего квадратичного отклонения σx находятся путем извлечения квадратного корня из значений доверительных границ для дисперсии.2= 97В примере 3.1 по трем выборочным значениям 351, 370 и 365, S HBпри α = 0,05 (P1=0,05/2=0,025 и P2=1-0,05/2=0,975; ХИ2ОБР(0,025;2) = 7,377779и ХИ2ОБР(0,975;2) = 0,050636) доверительный интервал для дисперсии твердости составит973 −13 −1, или после вычислений 26 < σ 2 < 3880 , а довери< σ 2 < 977,380,05тельный интервал для среднего квадратичного отклонения будет равен5 < σ < 62 .3.2.3.