Н.А. Спирин, В.В. Лавров - Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента, страница 11

Определение необходимого количества опытовпри построении интервальной оценки для математического ожиданияУвеличение количества измерений (числа проб, образцов и т.п.), как видно из выражений (3.27) и (3.31) даже при неизменной их точности (σx = const),может увеличить доверительную вероятность P или сузить доверительный интервал ±δ для определения действительного значения измеряемой величины(математического ожидания).Необходимое количество измерений (образцов, проб и т.п.) n для достижения требуемой точности δ при заданной доверительной вероятности Р можноопределить заранее в том случае, когда известно действительное значениесреднеквадратичного отклонения σx, а экспериментальные данные (измерения)подчиняются нормальному закону распределения.643.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХДействительно, при этих допущениях число измерений можно определить из выражения (3.27)22⋅σ ⎞⎛σ ⎞⎛z2n ≥ ⎜ 1−α / 2 x ⎟ = z12−α / 2 ⋅ ⎜ x ⎟ = z12−α / 2 ⋅ (ε ),δ⎝δ ⎠⎝⎠(3.37)где ε = σx /δ.Таким образом, число измерений n определяется требуемой доверительной вероятностью Р =1- α и относительным (по отношению к среднеквадратичному отклонению) значением половины ширины доверительного интервала δ, т.е. требуемой точностью определения измеряемой величины. Так, приР=0,95, z0,975 = 1,96 и при δ=σx число измерений равно 4. При увеличении необходимой точности измерений в 2 раза, т.е.

сужении доверительного интерваладо величины δ=(1/2)σx, необходимое число измерений составит 16. Нетруднозаметить, что необходимое число измерений с увеличением точности возрастает в квадратичной зависимости.Как правило, действительное значение среднеквадратичной ошибки (σx)неизвестно, а имеется только ее оценка (Sx). В этом случае следует воспользоваться соотношением (3.31), т.е. критерием Стьюдента, и необходимое числоизмерений определять из соотношенияn≥t α2 , m ⋅ S x2δ22= tα ,m2⎛S ⎞⋅ ⎜ x ⎟ = t α2 , m ⋅ ε , 2⎝δ ⎠(3.38)где ε = Sx/δ.При расчетах по этому уравнению следует иметь в виду, что значениекритерия Стьюдента зависит не только от α, но и от числа степеней свободы m,последние же определяются числом измерений. В связи с этим уравнение(3.38) следует решать методом последовательных приближений.

В качественачального приближения можно задать, в частности, число измерений, рассчитанных по формуле (3.37). Так, если решить последнее уравнение методом последовательных приближений, то можно показать, что при P=0,95 (α=0,05) дляопределения доверительного интервала с точностью δ=Sx требуется 7 измерений, а с точностью δ=0,5Sx – 19. С повышением необходимой точности различие653.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХв числе измерений, рассчитанных по соотношениям (3.37) и (3.38), уменьшается и, как показывают расчеты, при величине δ≤0,2Sx они практически совпадают.В примере 3.1 доверительный интервал для математического ожиданиятвердости на поверхности катания головки рельса составил δ = 24,45 (ε =9,85/24,45≈ 0,4), и если бы нам было необходимо определить твердость с точностью±10НВ (ε ≈ 1), то для этого потребовалось бы еще, как минимум, четыре измерения (кроме уже трех имеющихся). Действительно, при ε = 1 и P=0,95 (α=0,05),как уже было отмечено, по (3.38) получается n ≥ z12− 0,05 / 2 ⋅ (1) = (1,96) 2 ≈ 4 , затем2при m = 4-1 = 3 t0,05,2 ≈ 3 (СТЬЮДРАСПОБР(0,05;3) = 3,182449), по (3.27) получаемn ≥ t02,05,3 ⋅ 12 ≈ 9 ; на следующей итерации t0,05,8 ≈ 2,3 (СТЬЮДРАС-ПОБР(0,05;8) = 2,306006), n ≥ 2,32 ≈5 и затем t0,05,4 ≈ 2,8 (СТЬЮДРАСПОБР(0,05;4) = 2,776451), n ≥ 2,82 ≈7.Количество опытов, необходимых для построения доверительных интервалов для математического ожидания при некоторых других δ/Sx и P, приведены в табл.

3.1 (для P=0,95 в скобках приведены значения, рассчитанные поформуле (3.37)).Таблица 3.1Необходимое количество измерений при построениидоверительного интервала для математического ожиданияδ/SxP=0,90P=0,95157 (4)110,51319 (16)310,41927 (24)460,33246 (48)780,1273387 (384)668P=0,993.3. Статистические гипотезыКак уже видно из изложенного выше материала, при статистическом оценивании (т.е. при приближенном определении случайной величины) для обос663. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХнования (состоятельности, несмещенности и эффективности) выбора той илииной оценки неизвестного параметра распределения приходится высказыватьпредположение, что, например, случайная величина не противоречит нормальному закону распределения.

Кроме того, использование всех имеющихся выборочных значений при расчете оценок, так или иначе, предполагает, что срединих нет грубых ошибок (резко выделяющихся значений). С еще большим количеством различных предположений (гипотез) приходится сталкиваться, когданеобходимо не только определять случайные величины, но и сравнивать ихмежду собой, и тем более, когда по результатам эксперимента строится функция отклика.Статистическая гипотеза – любое предположение, касающееся неизвестного распределения случайной величины.Например, специалиста интересует, удалось ли добиться повышения механической прочности окатышей при использовании новой технологии их обжига.

Он может сформулировать следующую гипотезу: "Механическая прочностьокатышей увеличилась". Эта гипотеза (нулевая гипотеза) будет подлежать проверке в ходе проведения опытов. Кроме того, можно сформулировать и любуюдругую (альтернативную) гипотезу, например: "Изменения механической прочности не произошло" или "Механическая прочность окатышей, наоборот, дажеуменьшилась".Процесс принятия решения называется проверкой статистической гипотезы.

Поскольку мы выдвигали гипотезу, опираясь только на случайные выборочные значения, наши выводы будут носить вероятностный характер, то естьмы не можем дать точного ответа: да или нет. Можно будет лишь с некоторойдолей уверенности (с некоторой вероятностью) утверждать, что данные не противоречат (или противоречат) предположению.Статистические гипотезы можно разделить на следующие группы.1. Гипотезы о параметрах распределения. Эти гипотезы представляютсобой предположение о значении некоторых параметров распределения генеральной совокупности. Пусть, например, высказывается гипотеза о том, что параметры (математическое ожидание, дисперсии) вдвух выборках равны между собой.

Обычно гипотезы о параметрах673. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХраспределения можно выдвигать, располагая достаточно большойинформацией о генеральной совокупности или имея весомые основания считать известным ее закон распределения.2. Гипотезы о виде распределения.

Это более общие гипотезы, они выдвигаются в условиях недостаточной информации о генеральной совокупности. По выборке выдвигается гипотеза о том, соответствуютли данные, например, нормальному закону распределения. Заметим,что проверка гипотезы о нормальности распределения может помочьпри дальнейшей обработке выборки: если случайную величину достаточно уверенно можно считать нормально распределенной, то к нейприменимы все теоремы о нормальных величинах, в частности имеется возможность построить доверительные интервалы для параметров.Нулевая гипотеза Н0 – гипотеза, подлежащая проверке.

Это гипотеза,имеющая наиболее важное значение в проводимом исследовании. Нулевуюгипотезу выдвигают и затем проверяют с помощью статистических критериев сцелью выявления оснований для ее отклонения и принятия альтернативнойгипотезы.Альтернативная гипотеза Н1 – каждая допустимая гипотеза, отличная отнулевой. Обычно в качестве альтернативнойгипотезы принимают гипотезувторую по значимости после основной.Предположение, которое касается неизвестного параметра распределения, когда вид распределения известен (например, закон Гаусса), называетсяпараметрической гипотезой, а предположение, при котором вид распределениянеизвестен, называется непараметрической гипотезой.Задача исследователя заключается в том, чтобы на основе анализаопытных данных, полученных по выборке, принять ту или иную гипотезу относительно свойств генеральной совокупности, используя при этом какой-либоспособ (критерий) проверки высказанного предположения.Статистический критерий – однозначно определенный способ проверкистатистических гипотез.683.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХКритерии для проверки параметрических гипотез называются параметрическими, а для проверки непараметрических гипотез - соответственно непараметрическими.Естественно, что прежде чем использовать тот или иной параметрический критерий, экспериментатор должен найти способ убедиться в том, согласуется или нет распределение исследуемой им случайной величины с тем илииным теоретическим (например, нормальным) распределением.Критерий согласия – статистический критерий для проверки гипотезы осогласии (равенстве) распределения случайной величины исследуемой совокупности с теоретическим распределением или гипотезы о согласии распределений в двух и более совокупностях.Как и при статистическом оценивании, любой критерий может быть построен только на основе тех результатов наблюдений, которые имеются в распоряжении исследователя, т.е.

путем вычисления той или иной статистики. Акак уже раннее было отмечено, любая статистика как некоторая функция случайной величины (функция от результатов наблюдений) также является случайной величиной.Таким образом, статистические гипотезы всегда носят вероятностныйхарактер. Это говорит о том, что, основываясь на той или иной статистике ипринимая нулевую гипотезу в качестве рабочей (либо отвергая эту гипотезу и вкачестве рабочей принимая альтернативную), исследователь может совершитьошибки.

Ситуации, возникающие при проверке статистических гипотез, представлены в табл.3.2.1. Гипотеза Н0 верна, и она не отвергается, т.е. принятое решение отражает истинное положение и принимается верная гипотеза.2. Гипотеза Н0 верна, но она отвергается, т.е. в этом случае допущенаошибка первого рода. Ошибка первого рода – ошибка, заключающаяся втом, что отвергают нулевую гипотезу, в то время как в действительностиэта гипотеза верна.