Н.А. Спирин, В.В. Лавров - Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента, страница 15

П.6), или их можноопределить, воспользовавшись статистической функцией СТЬЮДРАСПОБР изэлектронных таблиц Microsoft Excel.893. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ7. Нулевую гипотезу принимают, т.е. полагают, что M1 = M при выполнении неравенств:•для альтернативных гипотез Н1(1): M1 > M и Н1(2): M1 < Mt ≤ t 2α , m ;•для альтернативной гипотезы Н1(3): M1 ≠ Mt ≤ tα ,m .Появление в последних неравенствах величин α и 2α при определениитабличных значений критерия Стьюдента связано с тем, что обычно эти таблицы (см. табл.

П.6) приводятся для двустороннего распределения Стьюдента,т.е. подtα ,m понимается величина, которая при m → ∞ будет стремиться кквантили нормированного нормального закона распределения порядка 1- α/2tα ,m → Z p =1−α / 2 .Поэтому, работая с таблицами критерия Стьюдента, неплохо делать проверку, показывающую для какого распределения (одностороннего или двустороннего) они составлены. Так, по табл.

П.6t 0 , 05 ; 500 = 1,965 ≈ Z p =1− 0 , 05 / 2= 0 , 975 = 1,960 ,следовательно, это двусторонние пределы распределения Стьюдента.АналогичнаяситуациясвязанаисфункциейСТЬЮДРАС-ПОБР(вероятность;степени_свободы), где вероятность – это вероятность,соответствующая двустороннему распределению Стьюдента.Пример 3.6. При проверке Рh-метра с помощью эталонного раствора,имеющего Рh=9,0, получены следующие результаты: 8,7; 9,2; 9,1; 9,0; 9,4; 9,6;9,7; 8,9; 8,8; 8,7; 9,8; 9,3; 9,8; 8,8, т.е. n = 14. Обладает ли Рh-метр систематической погрешностью?Для решения этой задачи предварительно рассчитаем выборочное среднее x и выборочное среднеквадратическое отклонение S в предположении, чтопоказания Рh-метра не противоречат нормальному закону распределения исреди них нет грубых погрешностей (см.

формулы (3.5), (3.8) и (3.10)):x=1 n1 141x=xi = (8,7 + 9,2 + 9,1 + ... + 8,8) = 9,2;∑∑in i =114 i =114903. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ∑ (xnS =2x=i =1i−xn −1)2221 ⎡ n 2 1⎛ n ⎞ ⎤1 ⎡ 14 2 1 ⎛ 14 ⎞ ⎤=⎢∑ x i − ⎜ ∑ xi ⎟ ⎥ =⎢∑ x i − ⎜ ∑ xi ⎟ ⎥ =14 ⎝ i =1 ⎠ ⎥⎦n − 1 ⎢⎣ i =1n ⎝ i =1 ⎠ ⎥⎦ 14 − 1 ⎢⎣ i =11 ⎡12⎤(8,7 2 + 9,2 2 + 9,12... + 8,8 2 ) − (8,7 + 9,2 + 9,1 + ...

+ 8,8) ⎥ = 0,1646;⎢14 − 1 ⎣14⎦S x = + S 2 = 0,1646 = 0,4057.В электронных таблицах Microsoft Excel для подобных расчетов можнобыло бы воспользоваться следующими тремя статистическими функциями:СРЗНАЧ(8,7; 9,2; 9,1; 9; 9,4; 9,6; 9,7; 8,9; 8,8; 8,7; 9,8; 9,3; 9,8; 8,8) = 9,2;ДИСП(8,7; 9,2; 9,1; 9; 9,4; 9,6; 9,7; 8,9; 8,8; 8,7; 9,8; 9,3; 9,8; 8,8) = 0,164615;СТАНДОТКЛОН(8,7; 9,2; 9,1; 9; 9,4; 9,6; 9,7; 8,9; 8,8; 8,7; 9,8; 9,3; 9,8; 8,8) =0,4057.Далее, в соответствии с описанным выше алгоритмом:1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что математическое ожиданиепоказаний Рh-метра равно Рh эталонного раствора (не имеют систематическойпогрешности) Н0: M1= 9 .2.

Альтернативная гипотеза выбирается в виде Н1: M1 ≠ 9, поскольку показания Рh-метра не должны как завышать, так и занижать истинное значениеРh раствора.3. Так как значение генеральной дисперсии σ2 показаний Рh-метра неизвестно, а имеется только ее оценка S2 = 0,1646, то используется t-критерий(распределения Стьюдента).4.

t - статистика имеет вид (см. (3.49))t=x−M9,2 − 9⋅ n=⋅ 14 = 1,84.S0,40575. Выбирается (обычный для большинстватехнических приложений)уровень значимости α = 0,05.6. При этом уровне значимости, числе степеней свободы m = n –1 = 13 идля альтернативной гипотезы Н1: M1 ≠ 9 устанавливаются границы критической913. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХобласти по табличным значениям квантилей распределения Стьюдента t0,05;13 =2,16 или их можно определить, воспользовавшись функцией СТЬЮДРАСПОБР(0,05;13) = 2,160368 из электронных таблиц Microsoft Excel.7. Поскольку рассчитанное значение статистики t = 1,84 не попадает вкритическую область (1,84 < 2,16), то нулевая гипотеза принимается в качестверабочей, т.е. можно считать, что M1 = 9 (вероятность того, что показания Рhметра имеют систематическую погрешность меньше чем 0,05).В задаче сравнения двух неизвестных математических ожиданий M1 и M2прежде всего рассмотрим ситуацию, когда исследуемые выборки, по которымделаются оценки для M1 и M2, независимы между собой.Если для двух нормально распределенных генеральных совокупностей снеизвестными параметрами M1, σ12 и M2, σ22 получены независимые выборкиобъемом соответственно n1 и n2, то для сравнения выборочных средних x1 и x 2выдвигается нулевая гипотеза о равенстве математических ожиданий:1.

Н0: M1 = M2 .2. При этом можно сформулировать три альтернативных гипотезы:Н1(1): M1 > M2; Н1(2): M1 < M2; Н1(3): M1 ≠ M2.3. Как и в рассмотренной выше ситуации сравнения с известным математическим ожиданием, используется t-критерий.4. Вид t-статистики зависит от того, равны σ12 = σ22 = σ2 либо не равныσ12 ≠ σ22 между собой генеральные дисперсии (для ответа на этот вопрос можновоспользоваться, например, рассмотренным выше критерием Фишера).В первом случае, когда дисперсии не имеют значимого отличия, статистика принимает видt=x1 − x 211S+n1 n2-(3.50)- двухвыборочный t-критерий с равными дисперсиями, где S – обобщенное среднее квадратичное отклонение (см. (3.46)):923. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХS=(n1 − 1) S12 + (n2 − 1) S 22.n1 + n2 − 2Во втором случае, когда дисперсии значимо отличаются друг от друга,σ12 ≠ σ22 , статистика имеет видt=x1 − x 2S12 S 22+n1 n2-(3.51)двухвыборочный t-критерий с неравными дисперсиями.5.

В зависимости от условия решаемой задачи выбирается необходимыйуровень значимости α.6. Границы критической области устанавливаются по табличным значениям квантилей t-распределения (см., например, [11] или табл. П.6]) либо ихможно определить, воспользовавшись статистической функцией СТЬЮДРАСПОБР из электронных таблиц Microsoft Excel.

При этом число степеней свободы m рассчитывается:для σ12 = σ22 = σ2 как m = n1 + n2 – 2;c(1 − c ) , где c =1.=+m n1 − 1 n2 − 1s12 s 22+n1 n222для σ1 ≠ σ22s12n127. Нулевую гипотезу принимают, т.е. полагают, что M1 = M2 при выполнении неравенств:•для альтернативных гипотез Н1(1): M1 > M2 ; Н1(2): M1 < M2t ≤ t 2α ,m ;•для альтернативной гипотезы Н1(3): M1 ≠ M2t ≤ tα , m .Пример 3.7. Проведены испытания механической прочности проб окатышей при использовании старой и двух новых технологий их обжига. Холоднаяпрочность окатышей обычно оценивается при испытании на раздавливание(кН/окатыш).

Обычно прочность определяют по результатам раздавливания неменее 20 окатышей размером 12-15 мм.Для иллюстрации процедуры проверки гипотез о числовых значенияхматематических ожиданий будем предполагать, что имелась возможность ис933. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХследовать всего по 8 окатышей для каждой из технологий. Результаты испытаний представлены в табл. 3.4.Таблица 3.4Результаты испытаний прочности окатышей,изготовленных по разным технологиям, кН/окатышНомерокатышаСтараятехнология x0i12345678xS22,112,121,972,102,172,121,932,282,100,0120Новаятехнология,вариант 1 x1i2,212,262,192,212,272,242,142,322,230,003029Новаятехнология,вариант 2 x2i2,212,222,082,192,242,212,062,312,190,0068x∆i = x1i – x2i00,040,110,020,030,030,080,010,040,001371Можно ли по полученным данным сделать вывод, что новая технологияпо варианту 1 позволяет повысить прочность окатышей?1.

Сформулируем нулевую гипотезу Н0: M1 = M0 .2. Поскольку предполагается, что новая технология по варианту 1 позволит повысить прочность окатышей, то альтернативная гипотеза выбирается ввиде Н1: M1 > M0.3. Будем считать, что выборки взяты из генеральных совокупностей снормальным законом распределения. Для того чтобы определить вариант статистики для t – критерия, сравним между собой соответствующие дисперсии.Для этого в качестве нулевой гипотезы примем Н0: σ12 = σ02 = σ2.

В предположении, что новая технология позволяет также снизить и разброс в значенияхпрочности (т.е. иметь и более стабильный технологический процесс), в качестве альтернативной гипотезы примем Н1: σ12 < σ02.СтатистикаF-критерия(критерияФишера)приэтомравнаF=0,0120/0,003029 = 3,96, и для построения критической области при α = 0,05находим F0,05;8-1;8-1 = 3,79 (по таблицам либо в Microsoft Excel через FРАС-943. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХПОБР(0,05;7;7) = 3,787051). Поскольку 3,96 > 3,79, то с вероятностью большейчем 0,95 можно говорить, что σ12 < σ02.4.

t - статистика в этом случае должна иметь вид ( см. (3.51))t=2,23 − 2,10= 3,00 .0,003029 0,0120+885. Как обычно, выберем уровень значимости α = 0,05.6. Для построения критической области рассчитаем число степей свободы:0,0302921 0,20 2 (1 − 0,20)8= 0,096883 ; m = 10,3.=+c== 0,20 ;0,03029 0,0120m 8 −18 −1+88Табличное значение t2*0,05;10=1,81 (СТЬЮДРАСПОБР(0,1;10) = 1,812462).7. Поскольку рассчитанное ранее значение статистики попадает в критическую область 3,00 > 1,81, то нулевая гипотеза Н0: M1 = M0 должна быть отвергнута, т.е.

новая технология по варианту 1 действительно позволяет повысить прочность окатышей.Вероятность ошибки подобного утверждения (ошибки первого рода, заключающейся в том, что отвергают нулевую гипотезу Н0: M1 = M0, в то время какв действительности эта гипотеза верна), т.е. уровень значимости α при этомможно оценить как СТЬЮДРАСП(3,00;10;1) = 0,006672. При расчете значенияфункции распределения Стьюдента в данном случае используется: найденнаяв пункте 4 статистика t = 3,00; определенное в пункте 6 число степеней свободыm ≈10 и такой параметр, как число возвращаемых "хвостов" распределения."Хвосты" = 1, и функция СТЬЮДРАСП возвращает одностороннее распределение, поскольку была принята односторонняя альтернативная гипотеза Н1: M1 >M0.Для определения найденного выше значения уровня значимости α =0,0067 в электронных таблицах в Microsoft Excel может быть использована такая статистическая функция, как ТТЕСТ.