Н.А. Спирин, В.В. Лавров - Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента, страница 7

два параметра этой случайной величины, и у нас появится возможность определять вероятность того,что твердость на поверхности катания головки рельса принадлежит к некоторому заданному интервалу (например, НВ = 341…388).Однако на данном этапе мы попадаем в какой -то замкнутый круг: ведьдля того, чтобы записать функцию нормального распределения, необходимоопределить математическое ожидание и дисперсию; для вычисления этих двухпараметров нужно знать плотность распределения (см. (2.15) и (2.17)), а плотность распределения - это первая производная от функции распределения (см.393.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ(2.7)), т.е. в итоге, для того, чтобы найти функцию распределения, нужно знатьфункцию распределения.Выход из подобного замкнутого круга может быть найден только лишьпосле того, как будет определена причина, по которой мы в него попадаем.Итак, нам необходима функция распределения, причем для начала пустьхотя бы одно из ее значений, например F(341). По определению (2.3) – это вероятность того, что случайная величина НВ принимает значение не более 341.В свою очередь вероятность данного события F(341) = Р(НВ ≤ 341) есть пределчастоты реализации события НВ ≤ 341 (отношение числа наблюдений, в которых твердость на поверхности катания головки рельса оказалась не более 341,к общему количеству наблюдений) при неограниченном числе повторений одного и того же комплекса условий.А вот неограниченным числом повторений (генеральной совокупностью)в условиях примера 3.1 мы как раз и не располагаем, поскольку имеется тольколишь три участка (сечения) рельса (три наблюдаемых единицы), в которых определена твердость на поверхности катания головки (три результата наблюдения).Наблюдаемая единица – действительный или условный предмет, над которым проводят серию наблюдений.Результат наблюдения – характеристика свойств единицы, полученнаяопытным путем.Генеральная совокупность – множество всех рассматриваемых единиц.Другими словами, генеральная совокупность - это такое воображаемое, впределе бесконечно большое число предметов, над которыми можно провестинаблюдения при неограниченном числе повторений одного и того же комплексаусловий.В примере 3.1 под генеральной совокупностью можно понимать, допустим, все участки одного и того же рельса, в которых в принципе можно было бызамерить твердость, либо вообще все рельсы Р65, которые когда-либо изготавливались или еще будут производиться по ГОСТ 18267-82.403.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХВ распоряжении исследователя, конечно же, никогда нет генеральной совокупности, и он может изучать только ее часть – выборку, причем всегда ограниченного объема.Выборка – любое конечное подмножество генеральной совокупности,предназначенное для непосредственных исследований.Объем – количество единиц в выборке.По выборке невозможно однозначно определить ни функцию распределения, ни плотность распределения, ни параметры распределения (например,математическое ожидание или дисперсию) случайной величины, поскольку дляэтого потребуется неограниченное (бесконечно большое) количество результатов наблюдений, т.е. необходимо исследовать всю генеральную совокупность.Следовательно, имея конечное подмножество генеральной совокупности(выборку), мы должны либо вообще отказаться от поиска распределения исследуемой случайной величины, либо удовлетвориться лишь некоторыми приближенными значениями неизвестных параметров ее распределения, т.е.

провести оценивание случайной величины.Оценивание – определение приближенного значения неизвестного параметра генеральной совокупности по результатам наблюдений.Идея оценивания должна быть вполне понятна из соображений обычнойжитейской практики. Ведь для того, чтобы, например, купить пару килограммяблок, у нас никогда не возникает желание съесть все имеющиеся у данногопродавца фрукты (изучить всю генеральную совокупность), мы пробуем долькутолько лишь одного яблока (исследуем выборку), определяем ее вкус (оцениваем) и принимаем решение, стоит нам или нет покупать именно эти яблоки.Исходными данными при оценивании, как и при проверке любых предположений (статистических гипотез), касающихся неизвестного распределенияслучайной величины, конечно же, могут быть лишь только те результаты наблюдений, которые были получены в ходе проведения опытов (на выборке ограниченного объема).

Причем предварительная обработка экспериментальныхданных обычно начинается с подсчета тех или иных функций от результатовнаблюдений (статистик).413. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХСтатистика – функция результатов наблюдений, используемая для оценки параметров распределения и (или) для проверки статистических гипотез.По выборке невозможно найти параметры распределения случайной величины (поскольку для этого требуется бесконечное количество результатовнаблюдений – изучение всей генеральной совокупности), поэтому, имея в своем распоряжении всегда ограниченный объем экспериментальных данных, исследователю остается довольствоваться только лишь получением некоторыхоценок.Оценка – статистика, являющаяся основой для оценивания неизвестногопараметра распределения.Для одного и того же параметра распределения может быть предложенонесколько оценок.В примере 3.1 рассматривалось четыре различных оценки для такого параметра распределения твердости, как математическое ожидание данной случайной величины (выборочное среднее арифметическое, выборочное среднеегеометрическое, середина размаха и средний член вариационного ряда).Поэтому при оценивании всегда возникает проблема выбора наилучшейоценки из всех возможных оценок данного параметра.Причем, когда формулируются те или иные требования, по которымоценку целесообразно считать наилучшей, прежде всего учитывается тот факт,что любая оценка – это также случайная величина.Ведь если бы в условиях примера 3.1 было бы найдено, допустим, выборочное среднее арифметическое твердости на поверхности катания головки какого-либо другого рельса, то, конечно же, совершенно не обязательно, что оноопять оказалось бы равно именно 362,00 единицам по Бринеллю.Из тех соображений, что любая оценка Θ* какого-либо параметра распределения Θ случайной величины тоже есть случайная величина, к оценкампредъявляются требования состоятельности, несмещенности и эффективности.Состоятельная оценка – оценка, сходящаяся по вероятности к значениюоцениваемого параметра при безграничном возрастании объема выборки.423.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХlim Θ * (n ) = Θ ,(3.1)n→ ∞где Θ - оцениваемый параметр; Θ* - оценка; n - объем выборки.Иными словами, длясостоятельной оценки Θ*отклонение ее от Θ намалую величину ε и более становится маловероятным при большом объемевыборки.Вполне естественно, что исследователей в первую очередь интересуютте оценки, которые хотя бы в пределе (при проведении бесконечно большогоколичества наблюдений) давали им возможность определить интересующий ихпараметр распределения, т.е. чтобы оценки прежде всего были состоятельными.

Однако следует отметить, что на практике приходится оценивать неизвестные параметры и при малых объемах выборки.Естественным является требование, при выполнении которого оценка недает систематической погрешности в сторону завышения (или занижения) истинного значения параметра Θ .Несмещенная оценка – оценка, математическое ожидание которой равнозначению оцениваемого параметра:M(Θ*)=Θ.(3.2)Удовлетворение требованию несмещенности позволяет устранить систематическую погрешность оценки параметра, которая зависит от объема выборки n и в случае состоятельности оценки стремится к нулю при n→∞.Эффективная оценка – несмещенная оценка, имеющая наименьшую дисперсию из всех возможных несмещенных оценок данного параметра.{2{2}M (Θ * −Θ ) = min(3.3)или}{}M (Θ * −Θ ) ≤ M (Θ i * −Θ ) ,2(3.4)где Θi* – любая другая оценка.Иными словами, дисперсия эффективной оценки параметра в некоторомклассе является минимальной среди дисперсий всех оценок из рассматриваемого класса несмещенных оценок.433.

ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХИз всех состоятельных и несмещенных оценок следует предпочесть такую, которая оказывается наиболее близкой к оцениваемому параметру (эффективной), однако используемые в математической статистике оценки не всегда одновременно удовлетворяют всем трем перечисленным выше требованиям.После того как исследователь выбрал и подсчитал состоятельную, несмещенную и эффективную оценки интересующего его параметра распределения исследуемой случайной величины, первое и наиболее простое, что он может сделать, так это принять значение оценки как неизвестное значение параметра распределения, т.е. выполнить точечное оценивание.Точечное оценивание – способ оценивания, заключающийся в том, чтозначение оценки принимают как неизвестное значение параметра распределения.Рассмотрим некоторые точечные оценки основных параметров распределения для непрерывной случайной величины, не противоречащей нормальному закону распределения.Выборочное среднее арифметическое x – сумма значений рассматриваемой величины, полученных по результатам испытания выборки, деленнаяна ее объем.x=1 n∑ xi , i = 1, 2, ..., n,n i =1(3.5)где n – объем выборки; хi– результат измерения i-й единицы.В математической статистике доказано, что выборочное среднее арифметическое является наилучшей (состоятельной, несмещенной и эффективной)оценкой математического ожидания случайной величины, подчиняющейся нормальному закону распределения.В примере 3.1, даже если предположить, что твердость на поверхностикатания головки рельса не противоречит нормальному закону распределения,из четырех полученных оценок предпочтение следует отдать значениюНВ1 = (351 + 370 + 365)/3 = 362,00 (выборочному среднему арифметическому)как наилучшей оценке для математического ожидания данной случайной вели443.