Н.А. Спирин, В.В. Лавров - Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента, страница 4

Для непрерывной случайной величинызадают вероятность ее попадания в один из заданных интервалов области ееопределения (поскольку вероятность того, что она примет какое-либо конкретное свое значение, стремится к нулю).Полностью свойства случайной величины описываются законом ее распределения, под которым понимают связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.192. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ …Распределение случайной величины – функция, которая однозначно определяет вероятность того, что случайная величина принимает заданное значение или принадлежит к некоторому заданному интервалу.В математике используют два способа описания распределений случайных величин: интегральный (функция распределения) и дифференциальный(плотность распределения).Функция распределения F(x)– функция, определяющая для всех действительных х вероятность того, что случайная величина Х принимает значение небольше, чем х.F (x ) = P( X ≤ x ) .(2.3)Функция распределения F(x) имеет следующие свойства (рис.2.1, а):1.

Ее ордината, соответствующая произвольной точке х1, представляетсобой вероятность того, что случайная величина X будет меньше, чемх1, т.е. F(x1) = P(Х ≤ x1).2. Функция распределения принимает значение, заключенное между нулем и единицей:0 ≤ F (x ) ≤ 1 .(2.4)3. Функция распределения стремится к нулю при неограниченномуменьшении х и стремится к единице при неограниченном возрастании х, то естьlim F(x) = 0, lim F(x) = 1.x→−∞(2.5)x→+∞4. Функция распределения представляет собой монотонно возрастающую кривую, то естьF(x2)>F(x1), если х2>х1.(2.5а)5.

Ее приращение на произвольном отрезке (х1; х2) равно вероятноститого, что случайная величина X попадет в данный интервал:F (x2 ) −F (x1) = P(X ≤ x2) −P(X ≤ x1) = P(x1 < X ≤ x2).аF(x)б20F(x)(2.6)2. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ …Рассмотрим, какие особенности имеютфункции распределения дис-кретных случайных величин. Пусть Х – дискретная случайная величина, принимающая возможные значения х1, х2,…, хn с вероятностями p1, p2, …, pn . Функция распределения вероятностей этой случайной величины Х равнаF (x ) = P ( X ≤ x) = ∑ p k ,xkгде производится суммирование вероятностей всех возможных значенийслучайной величины Х, меньших чем х.

Такая функция всегда разрывная, ступенчатая (рис.2.1, б): от −∞ до х1 включительно функция равна нулю, в точке х1происходит скачок на величину p1, и функция остается постоянной до х2 включительно и т.д., то есть возможным значениям случайной величины соответствуют скачки функции, равные вероятностям этих значений. Последний скачокна pn происходит в точке хn, и функция равна единице от хn до +∞. Таким образом, сумма всех скачков равна единице.Плотность распределения f(x) – первая производная (если она существует) функции распределения.f (x ) =dF ( x ).dx(2.7)212. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ …Плотность функции распределения f(x) имеет следующие свойства(рис.2.2):f(x)f(x)x1 dxMx M0 Mex2xРис.2.2. Дифференциальный закон распределения –плотность распределения f(x)1.

Плотность распределения вероятностей является неотрицательнойфункцией, т.е.f (x) ≥ 0.(2.8)Это свойство справедливо, так как F(x) есть неубывающая функция.2. Функция распределения случайной величины Х равна определенномуинтегралу от плотности распределения вероятностей в пределах (−∞,х):F (x ) =x∫(2.9)f ( x ) dx .−∞3. Вероятность события, состоящая в том, что случайная величина Хпримет значение, заключенное в полуинтервале [x1 ,x2 ], равна определенному интегралу от плотности распределения вероятностей наэтом полуинтервале:P (x 1 < X ≤ x 2 ) = F (x 2 ) − F (x 1 ) =x2∫ f ( x ) dx .x122(2.10)2. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ …4. Интеграл плотности распределения в бесконечно большом интервале(-∞, + ∞) равен единице:+∞∫ f (x )dx = P (− ∞ <X ≤ +∞ ) = 1,(2.11)−∞так как попадание случайной величины в интервал −∞ < Х< + ∞ есть достоверное событие.В большинстве случаев при обработке экспериментальных данных, основываясь на тех или иных предположениях (гипотезах) относительно свойств исследуемой случайной величины, удается записать функцию ее распределения(а следовательно, и плотность распределения как первую производную отфункции распределения) с точностью до некоторых неизвестных параметров.Например, для случайной величины, которая удовлетворяет так называемому нормальному закону распределения (закону распределения Гаусса),функцию распределения можно записать в видеF (x) =12 πσ−x2x∫e( x − M x )22σ2xdx ,(2.12)−∞а для случайной величины, имеющей, например, распределение Вейбула-Гнеденко (используемое для описания результатов экспериментов в случаехрупкого разрушения металла, а также в испытаниях на многоцикловую усталость), функция распределения определяется следующим выражением:F( x ) = 1 − e⎛ x−xH ⎞−⎜⎟c⎠⎝F(x) = 0,b,при Х>хн,при Х ≤ хн.(2.13)В функциях (2.12) и (2.13) константы Mx, σx2 и с, b, хн являются параметрами распределений, причем первое из этих двух выражений относится к двухпараметрическому виду закона распределения, а второе, соответственно, – ктрехпараметрическому.Параметр распределения – постоянная, от которой зависит функция распределения.232.

КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ …Следовательно, если известен вид функции распределения (каким-либообразом установлено, что случайная величина не противоречит тому или иномузакону распределения), то для того, чтобы однозначно охарактеризовать случайную величину, достаточно задать только лишь параметры ее распределения.Важнейшими параметрами распределения, задающими случайную величину Х, являются ее математическое ожидание Mx (характеризует центр рассеивания) и дисперсия σx2 (характеризует степень рассеивания).Математическое ожидание Mx – среднее взвешенное по вероятностямзначение случайной величины.Для дискретной случайной величины математическое ожидание определяется выражениемM x =∑ x i p i ,(2.14)iгде хi – значения дискретной случайной величины, а pi = P(X= хi).Если в условиях примера 2.1 предположить, что pi ≈ Wi (см.

табл. 2.2),то для математического ожидания такой дискретной случайной величины, какчисло остановок доменной печи в течение месяца, можно получить следующеезначение:Mx = 2·0,06 + 3·0,11 + 4·0,17 + 5·0,33 + 6·0,22 + 7·0,11 = 4,87.Для непрерывной случайной величины математическое ожидание определяется интегралом+∞Mx=∫ xf (x ) dx ,(2.15)−∞где f(x) – плотность распределения непрерывной случайной величины.Можно отметить, что геометрический смысл математического ожиданиянепрерывной случайной величины – это абсцисса центра тяжести фигуры подкривой плотности распределения f(x).

Сказанное проиллюстрируем на рис. 2.2,где видно, что произведение f(x)dx есть площадь элементарного участка подкривой f(x), а x – абсцисса этого участка, т.е. расстояние от начала координат.242. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ …Следовательно, интеграл (2.15) дает абсциссу центра тяжести всей площадифигуры под кривой f(x).Кроме математического ожидания центр рассеивания случайной величины можно еще охарактеризовать такими параметрами ее распределения, какмода и медиана.Мода Мо – значение случайной величины, соответствующее локальномумаксимуму плотности вероятностей для непрерывной случайной величины илилокальному максимуму вероятности для дискретной случайной величины.Для примера 2.1 (см.

табл. 2.2), при условии, что pi ≈ Wi, мода Мо числаостановок доменной печи равна 5, поскольку именно этому значению даннойдискретной случайной величины соответствует локальный максимум вероятности, равный 0,33.Медиана Ме – значение случайной величины, для которого функция распределения принимает значение ½ , или имеет место «скачок» со значения,меньшего чем ½, до значения, большего чем ½.Таким образом, для дифференциального закона распределения медианаесть такое значение непрерывной случайной величины Х, которое делит пополам площадь под кривой плотности распределения f(x).В примере 2.1, если предположить, что функция распределения от четырех остановок F(4) (вероятность того, что число остановок доменной печи в течение месяца будет не более четырех) равна 0,06 + 0,11 + 0,17 = 0,34 , а функция распределения F(5) = 0,34 + 0,33 = 0,67, то медианой Ме такой дискретнойслучайной величины, как число остановок доменной печи в течение месяца,будет значение Ме = 5.Дисперсия случайной величины σx2 – математическое ожидание случайной величины (Х - Mx)2.Для дискретной случайной величины дисперсия определяется следующим математическим выражением:nσ x2 = ∑ ( xi − M x )2 ⋅ p ( xi ).(2.16)i =1В примере 2.1 (опять же, если предположить, что pi ≈ Wi) значение дисперсии числа остановок доменной печи равно:σx2 = (2 – 4,87)2·0,06 + (3 – 4,87)2·0,11 + (4 – 4,87)2·0,17 +252.

КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ …+ (5 – 4,87)2·0,33 + (6 – 4,87)2·0,22 + (7 – 4,87)2·0,11 = 1,7931.Для непрерывной случайной величины дисперсия определяется выражениемσ =2x+∞∫ (x − M )2x⋅ f ( x)dx,(2.17)−∞где х – значения непрерывной случайной величины Х; f(х) – плотность распределения; Mx – математическое ожидание.Дисперсия имеет размерность квадрата единицы измерения случайнойвеличины, а положительное значение квадратного корня из дисперсии называется средним квадратичным отклонением.Среднее квадратичное отклонение σx – неотрицательный квадратный корень из дисперсии.σ x = + σ x2 .(2.18)Для примера 2.1 среднее квадратичное отклонение числа остановок доменной печи в течение месяца равно σ x = + 1,7931 =1,34.В заключение этого раздела дадим определение еще одного параметрараспределения случайной величины, который носит название квантиль.Квантиль порядка P, хр – значение случайной величины, для которогофункция распределения принимает значение P или имеет место «скачок» созначения, меньшего чем P, до значения, большего чем P:F(xp) = P.(2.19)Из этого определения квантиля следует, что медиана Ме – это квантильпорядка ½, т.е.