Н.А. Спирин, В.В. Лавров - Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента, страница 5

Ме = х0,5.Вероятность попадания случайной величины Х в интервал [ хP1, хP2 ] равнаP( x P1 < X ≤ x P 2 ) = P( X ≤ x P 2 ) − P(X ≤ x P1 ) = F(x P 2 ) − F(x P1 ) = P2 − P1 .(2.20)В примере 2.1 квантиль порядка 0,95 числа остановок доменной печискорее всего равен семи х0,95= 7, поскольку F(6) ≈ 0,06 + 0,11 + 0,17 + 0,33 +0,22 = 0,89, а F(7) ≈ 0,89 + 0,11 = 1,00.262. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ …2.2.

Нормальный закон распределенияФункция распределения F(x) и соответствующая ей плотность распределения f(x) представляют собой некоторую математическую модель свойств исследуемой случайной величины (отклика), значения которой регистрируются входе эксперимента. Поэтому одной из основных задач статистической обработки опытных данных является нахождение таких функций распределения, которые, с одной стороны, достаточно хорошо описывали бы наблюдаемые значения случайной величины, а с другой – были бы удобны для дальнейшего статистического анализа.

При этом вид функции распределения предпочтительновыбирать на основе представлений о физической природе рассматриваемогоявления, т.к. в этом случае исключаются возможные погрешности при распространении найденных закономерностей за пределы изучаемого в экспериментеинтервала варьирования (изменения) случайной величины (отклика).Из всех изученных к настоящему времени случайных величин при обработке экспериментальных данных исследователи чаще всего оперируют сослучайными величинами, которые имеют так называемое нормальное (Гауссово) распределение (рис.2.3).

Не вдаваясь в подробные математические выкладки, отметим, что, согласно центральной предельной теореме математической статистики, «при определенных условиях распределение нормированной суммы n независимых случайных величин, распределенных по произвольному закону, стремится к нормальному, когда n стремится к бесконечности».Необходимые условия, при которых эта теорема оказывается справедливой,состоят в том, что различные случайные величины должны иметь конечныедисперсии и дисперсия любой случайной величины не должна быть слишкомбольшой по сравнению с дисперсиями других.При обработке экспериментальных данных эта теорема имеет оченьбольшое значение, поскольку отклик становится случайной величиной в результате влияния неконтролируемых факторов, число которых скорее всегостремится к бесконечности.

Кроме того, если при проведении опытов все наиболее существенные факторы контролируются, то воздействие на отклик каждого из неконтролируемых факторов не должно быть слишком большим посравнению с остальными неконтролируемыми факторами. Другими словами, тадисперсия (рассеивание) отклика, которую вызывает какой-либо из неконтро272. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ …лируемых факторов, не должна сильно отличаться от дисперсий, связанных свлиянием остальных неконтролируемых факторов. В противном случае фактор,дисперсия от которого существенно отличается от других, обязательно долженбыть переведен в разряд контролируемых.абf(x)f(x)max= 1F(x)2πσ2xσx21,0σx2σx1σx10,5σx1>σx2xMx, M0, MевδδMx, M0, MегF(z)f(z)1,00,4ε=0,5δσxS2S3S13x3z=-zx − Mxσx3+z3z=x − MxσxРис.2.3.

Плотность распределения (а,г) и функция распределения (б,в)при нормальном законе распределения случайных величинСледовательно, если при планировании эксперимента учтены все наиболее существенные факторы и затем, при проведении опытов, они контролируются, то при обработке экспериментальных данных можно предполагать, чтоотклик не должен противоречить нормальному распределению.Как правило, нормальному закону подчиняются результаты испытанийстали на прочность, производительность многих металлургических агрегатов,составы сырья, топлива, сплавов, массы слитков, отлитых в однотипные изложницы, случайные ошибки измерений и т.п., поэтому при обработке результатов наблюдений исследователи прежде всего предполагают именно нормальное распределение отклика.282.

КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ …Большинство других распределений, которые используются в математической статистике (Стьюдента, Фишера, Пирсона, Кохрена, а также распределения, по которым составлены различные критериальные таблицы), полученына основе нормального распределения.Нельзя, однако, абсолютизировать значение нормального распределения. Не все случайные величины распределены по нормальному закону. Тем неменее на практике, если явление подвержено действию многих случайных факторов, их суммарное воздействие вполне оправданно можно описать с помощью нормального закона.Как уже было отмечено, для случайной величины, которая не противоречит нормальному закону, функция распределения (2.12) и соответствующая ейплотность распределенияf ( x) =12πσ x2⋅e−[ x − M x ]22σ x2(2.21)определяются двумя параметрами: Мx – математическим ожиданием и σx2 –дисперсией.Отметим некоторые свойства нормального закона распределения.1.

Кривая плотности распределения симметрична относительно значенияМx, называемого иногда центром распределения.2. При бóльших значениях σx2 кривая f(x) более пологая, т.е. σx2 являетсямерой величины рассеивания значения случайной величины около значенийМx. При уменьшении параметра σx2 кривая нормального распределения сжимается вдоль оси ОХ и вытягивается вдоль f(x).3. Максимум ординаты кривой плотности распределения определяетсявыражениемfmax =12πσ2x,(2.22)что при σx2=1 соответствует значению примерно 0,4.4. Для нормального распределения математическое ожидание, мода имедиана совпадают:292.

КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ …Mx = Mo = Me.(2.23)В ряде случаев рассматривается не сама случайная величина Х, а ее отклонение от математического ожидания:Y = X − M.(2.24)Такая случайная величина Y называется центрированной.Отношение случайной величины Х к ее среднему квадратичному отклонениюV =X(2.25)σxназывается нормированной случайной величиной.Таким образом, центрированная случайная величина – разность междуданной случайной величиной и ее математическим ожиданием, а нормированная случайная величина – отношение данной случайной величины к ее среднему квадратичному отклонению.Очевидно, что математическое ожидание центрированной случайной величины равно нулю, My = 0, а дисперсия нормированной случайной величиныравна единице, σV 2 = 1.Приведенная случайная величина – центрированная и нормированнаяслучайная величинаZ =X −Mxσx.(2.26)Математическое ожидание и дисперсия приведенной случайной величины Z равны соответственно нулю, Mz= 0, и единице, σz 2 = 1.Нормальное распределение с параметрами Mz= 0 и σz2= 1 называетсястандартным (нормированным).Для приведенной случайной величины нормальное стандартное распределение принимает видzz2−12F(z) =edz = Φ(z) ,∫2π −∞(2.27)302.

КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ …z2f (z) =−1⋅ e 2 = φ (z ) .2π(2.28)Графики этих функций показаны на рис. 2.3 в, г, причемФ( –z) = 1 – Ф(z),(2.29)φ(− z) = φ(z ).(2.30)Покажем справедливость соотношения (2.29). Рассмотрим график плотностистандартного нормального распределения (см. рис. 2.3,г). Обозначимплощадь под ним левее точки – z через S1; площадь между –z и z – через S2,оставшуюся площадь (правее z) – через S3.

Тогда, во-первых, из симметричности графика плотности следует, что S1 = S3. Во-вторых, S1+S2 +S3 =1 или S1+(S1+S2)=1 (вся площадь под графиком плотности равна единице). По смыслуфункции распределения S1 = Ф(-z), S1+S2 = Ф(z). Следовательно, Ф(-z) + Ф(z)=1, откуда и следует равенство (2.29).Значения нормированной функции (2.27) нормального распределения(функции Лапласа) и значения плотности нормированного нормального распределения (2.28) табулированы и приведены в различных учебниках и справочниках по математической статистике (наиболее подробные таблицы см.

[11]). Всписке статистических функций электронных таблиц Microsoft Excel им соответствуют НОРМРАСП(x; 0; 1; ИСТИНА) или НОРМСТРАСП(z) – для (2.27) иНОРМРАСП(x; 0; 1; ЛОЖЬ) – для (2.28).Геометрически функция Лапласа представляет площадь под кривой f(z) винтервале от −∞ до некоторой конкретной величины z.Заметим, что иногда вместо функции Ф(z) табулируется функция Ф0(z):Φ0 (z ) =12πz∫e−z22dz ,0равная площади под графиком стандартного нормального распределения от 0 до z (см. рис.2.3, г).В силу симметрии312. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ …12π0∫e−z22dz = 1 / 2 .−∞Поэтому между функциями и существует простая зависимостьФ(z)= ½+ Ф0(z).Функция Ф0(z) нечетна:Ф0(-z) = - Ф0(z).В самом деле,Ф0(-z) = Ф(-z) – ½ = 1 - Ф(z) – ½ = ½-(1/2+ Ф0(-z)) = - Ф0(z).В соответствии с (2.19) квантиль zр порядка р, нормированного нормального закона распределения - это такое значение приведенной случайной величины Z, для которого функция распределения (2.27) принимает значение Р:Ф(zp) = P.(2.31)При определении квантили zр необходимо решать задачу, обратную задаче определения значений функции Лапласа, т.е.

по известному значению Рэтой функции (2.27) находить соответствующее ему значение аргумента zр. Дляэтого можно либо воспользоваться табулированными значениями функции Лапласа (например, поскольку Ф(1,64) = 0,94950, а Ф(1,65) = 0,9505, то z0,95 ≈1,645 ), либо воспользоваться таблицами для функции, обратной функции Лапласа, т.е. табулированными значениями квантилей нормированного нормального закона распределения (см. [11] или приложение). Определение квантили zp вэлектронных таблицах Microsoft Excel сводится к вычислению статистическойфункции НОРМОБР(Р; 0; 1) или НОРМСТОБР(Р) (например, НОРМОБР(0,95; 0;1) = НОРМСТОБР(0,95) = 1,644853).Для квантили стандартного нормального распределениясправедливоследующее равенство:z1 – p = - zp.(2.32)Рассмотрим график плотности стандартного нормального распределения(рис.2.4).

Площадь под графиком левее квантили zp по определению равна p.Значит, площадь правее этой точки равна 1 – p. Такая же площадь расположена левее точки z1 –p Итак, площади левее z1 –p и правее zp равны. Поскольку322. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ …график симметричен относительно оси ординат, из этого следует, что эти точкирасположены на одинаковом расстоянии от нуля.φ(z)1-p1-pz1-pzpzРис. 2.4.