Н.А. Спирин, В.В. Лавров - Методы планирования и обработки результатов инженерного эксперимента, страница 6

Квантиль стандартного нормального распределенияЗная квантиль zр порядка р нормированного нормального закона распределения (Mz = 0 и σz2= 1), всегда можно найти квантиль xр соответствующегопорядка р для нормального распределения с произвольными параметрами Mx иσx 2 .ПосколькуF(x p ) = P( X ≤ x p ) = P(тоxp − M xσxX − Mxσx≤xp − Mxσx) = P(Z ≤xp − Mxσx) = Φ(xp − Mxσx) = P = Φ(z p ),= z p и, следовательно,xp = Mx + zpσx.(2.32а)В ряде случаев важно знать вероятность того, что случайная величина Х,подчиняющаяся нормальному закону распределения, не будет отличаться отсвоего математического ожидания Мx больше чем на величину ±δ = ε·σx(см.рис.2.3,г).⎛ M − εσx − Mx X − Mx Mx + εσx − Mx ⎞⎟⎟ =<≤P(Mx − δ < X ≤ Mx + δ ) = P ⎜⎜ xσxσxσx⎝⎠= P(−ε < Z ≤+ε) =1ε−∫e2π −∞z22dz−−ε−z22∫e dz = Φ (ε) −Φ (−ε) =2π −∞1332.

КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ …= Φ (ε ) − (1 − Φ (ε )) = 2Φ (ε ) − 1.(2.33)Так, при δ = σx (ε =1) получаем, что P ( M x + σ x < X ≤ M x − σ x ) = 2Φ (1) − 1, апоскольку по таблицам (например, см. табл. [11) Ф(1) = 0,84135 (или в MicrosoftExcel НОРМРАСП(1;0;1;ИСТИНА) = НОРМСТРАСП(1) = 0,84135), то для случайной величины с нормальным законом распределения вероятность того, чтоона примет такое значение, которое не будет отличаться от ее математического ожидания более чем на одно среднее квадратическое отклонение, равна2⋅0,84135–1=0,68.

Иными словами, при нормальном распределении примерно2/3 всех значений случайной величины (отклика) лежит в интервале Mx ± σx.Аналогично можно подсчитать, что интервалу Mx ± 1,96σx ≈ Mx ± 2σx соответствует вероятность 0,95 (Ф(1,96) = 0,975002), а интервалу Mx ± 3σx - 0,997(Ф(3) = 0,99865). Отметим дополнительно, что 90% значений случайной величины лежат в диапазоне Mx ± 1,64σx (Ф(1,64) = 0,949497).Следовательно, отличие какого-либо из значений случайной величиныс нормальным законом распределения от ее математического ожидания непревосходит утроенного среднего квадратичного отклонения с вероятностью 0,997. Это свойство в математической статистике носит название «правило трех сигм».Чем больше величина интервала Mx ± δ, тем с большей вероятностьюслучайная величина X попадает в этот интервал.Рассмотрим небольшой пример.Пример 2.2.

Предположим, что математическое ожидание содержаниякремния в чугуне равно MSi=0,6%, а среднеквадратичное отклонение σSi=0,15%.В этом случае мы можем быть уверены в том, что величина фактически измеренного значения процентного содержания кремния в чугуне будет находитьсяв интервалах:0,6 ± 1,00⋅0,15 = 0,6±0,15 с вероятностью 0,68;0,6 ± 1,64⋅0,15 = 0,6±0,25 с вероятностью 0,90;0,6 ± 1,96⋅0,15 = 0,6±0,29 с вероятностью 0,95;0,6 ± 3,00⋅0,15 = 0,6±0,45 с вероятностью 0,997,342.

КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ …т.е. из 1000 проб только 3 пробы по содержанию кремния в чугуне будут выходить из диапазона от 0,15 до 1,05%.Заметим, однако: при рассмотрении примера 2.2 мы предполагали, чтопроцентное содержание кремния в чугуне не противоречит нормальному законураспределения, а также то, что нам изначально были известны математическоеожидание Mx и среднеквадратичное отклонение σx этой случайной величины,т.е. было выполнено большое (в пределе бесконечное) число измерений. Какже работать со случайными величинами в реальных условиях проведения эксперимента, когда число измерений весьма ограничено? К рассмотрению методологии решения подобных задач мы и перейдем в следующем разделе.Контрольные вопросы1. Что такое случайная величина? В чем заключаются отличия дискретной отнепрерывной случайной величины? Приведите примеры.2. Какие вероятностные характеристики используют для описания распределений случайных величин?3.

С какой целью используют законы распределения при обработке данных экспериментальных исследований?4. Почему нормальный закон распределения наиболее применим в экспериментальной практике?5. Какие параметры и свойства характерны для нормального закона распределения?6. Дайте определения следующим характеристикам случайных величин: центрированная, нормированная и приведенная.353. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКАЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХПредварительная обработка результатов измерений и наблюдений необходима для того, чтобы в дальнейшем, при построении эмпирических зависимостей (функций отклика), с наибольшей эффективностью использовать статистические методы и корректно анализировать полученные результаты.Содержание предварительной обработки состоит в отсеивании грубыхпогрешностей и оценке достоверности результатов измерений.

Другими важными моментами предварительной обработки данных являются проверка соответствия результатов измерения нормальному закону и определение параметров этого распределения. Если гипотеза о том, что отклик не противоречитнормальному распределению, окажется неприемлемой, то следует определить,какому закону распределения подчиняются опытные данные или, если это возможно, преобразовать опытное распределение к нормальному виду.3.1. Вычисление параметров эмпирических распределений.Точечное оцениваниеРассмотрение вопросов обработки экспериментальных данных начнем спростейшей ситуации, когда отклик регистрируется при фиксированных уровняхвсех контролируемых факторов и при проведении опытов (в результате влияния неконтролируемых факторов) исследователь получает хотя и близкие, ноотличные друг от друга результаты.Пример 3.1.

При производстве железнодорожных рельсов широкой колеитипа Р65 (по ГОСТ 18267-82) были получены следующие три значения твердости НВ (по ГОСТ 9012-59) на поверхности катания головки одного и того жерельса (на обоих концах на расстоянии не более 1 м от торцов и в средней части рельса): 351, 370 и 365.Попытаемся найти ответ на вопрос – чему равна твердость на поверхности катания данного рельса?363. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХНа первый взгляд решение поставленной задачи не вызывает никакихособых проблем, и начинающие исследователи, не особенно искушенные в области теории вероятностей и математической статистики, скорее всего ответят,что твердость на поверхности катания рельса равна (НВ1 – первый вариант ответа)НВ1 = (351 + 370 + 365)/3 = 362,00 ,т.е.

будет найдено среднее арифметическое (выборочное среднее арифметическое) из трех полученных значений отклика.Однако опытные данные можно усреднять и другими способами. Например, можно подсчитать среднее геометрическое (НВ2 – второй вариант ответа):HB2 = 3 351 ⋅ 370 ⋅ 365 = 361,91,или найти среднее, только между минимальным (351) и максимальным(370) значениями – так называемую середину размаха (НВ3 – третий вариантответа):НВ3 = (351 + 370)/2 = 360,50,или, расположив все значения в возрастающей последовательности 351,365, 370, взять средний член полученного ряда – средний член вариационногоряда (НВ4 – четвертый вариант ответа):НВ4 = 365,00.Можно придумать и какие-либо другие способы (например, очень «оригинальной» может быть идея еще раз усреднить все четыре полученных значения), однако остановимся пока только на этих четырех вариантах ответа на поставленный перед нами вопрос.Мы видим, что, не привлекая никаких дополнительных соображений, нампока достаточно трудно обосновать тот или иной вариант, на котором было быпредпочтительно остановиться.Так, если выбирать тот ответ, который потребует от нас меньшего количество вычислений, то тогда лучше всего отдать предпочтение значениюНВ4=365,00 (вообще не требует никаких расчетов).

Однако подобное обоснование вряд ли можно считать достаточно надежным и убедительным.373. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХПоэтому давайте остановимся и задумаемся о том, почему вообще мыстолкнулись с подобной ситуацией.Ведь если бы, например, нам нужно было найти ответ на вопрос, какоеколичество проходов при прокатке данного профиля осуществляется в двухвалковых рельсовых калибрах, и мы по ходу технологического процесса проследили за тремя различными раскатами, то в результате было бы полученотри абсолютно одинаковых значения (допустим, пять). В подобной ситуации нетнеобходимости считать ни выборочное среднее, ни среднее геометрическое, нисередину размаха, ни находить средний член вариационного ряда и т.д., поскольку можно сразу указать то количество рельсовых калибров, которые проходит раскат в процессе прокатки.Следовательно, между такими величинами, как число рельсовых калибров и твердость на поверхности катания головки, есть принципиальная разница,которая заключается в том, что первая из двух названых величин является детерминированной, а вторая – случайной.

И если для того, чтобы описать детерминированную величину, достаточно указать одно ее значение (например,число рельсовых калибров равно пяти), то для описания случайной величинынужно знать ее распределение. Другими словами, для случайной величины недостаточно указать только лишь какое-либо ее значение (или комбинацию еезначений, как, например, выборочное среднее арифметическое), а нужно записать функцию, которая однозначно определяет вероятность того, что случайнаявеличина принимает заданное значение или принадлежит к некоторому заданному интервалу.Поэтому ответ на вопрос примера 3.1 надо начинать не с поиска какихлибо вариантов усреднения опытных данных, а прежде всего с констатации того факта, что твердость на поверхности катания головки рельса – это случайнаявеличина!!!Далее нужно отметить, что твердость - это непрерывная случайная величина, поскольку (если, например, рельсы отвечают требованиям первого класса)онаможетприниматьлюбыезначения(НВ=341…388, см.

пункт 1.4 ГОСТ 18267-82).38изконечногоинтервала3. ПРЕДВАРИТЕЛЬНАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХПосле этого можно выдвинуть гипотезу (предположение), что такая случайная величина, как твердость на поверхности катания головки рельса, недолжна противоречить нормальному закону распределения.Согласно цен-тральной предельной теореме математической статистики, данную гипотезускорее всего можно будет принять в качестве рабочей, поскольку опытные данные в примере 3.1 получены при измерении твердости в различных точках подлине одного и того же рельса.

Следовательно, наиболее существенные факторы, которые определяют механические свойства данного металла на всехстадиях технологического процесса (получение металла, прокатка, термическаяобработка), зафиксированы на одних и тех же уровнях. Кроме того, отклик(твердость металла) становится случайной величиной только в результатевлияния малозначимых неконтролируемых факторов, число которых на различных этапах металлургического цикла, по всей видимости, стремится к бесконечности.Итак, в качестве ответа на вопрос примера 3.1 мы можем сказать, чтотвердость на поверхности катания головки рельса – это непрерывная случайная величина, функцию распределения которой скорее всего можно записать ввидеF ( HB ) =x12 πσ2HB∫e−(x − M2σHB2HB)2dx .−∞Теперь, казалось бы, только осталось подсчитать по (2.15) математическое ожидание МНВ и по (2.17) – дисперсию σНВ2, т.е.