Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара, страница 52

Такова, например, задача об ударе горизонтально движущегося тела о буфер, масса которого пренебрежимо мала (рис. Ъ'11.2, а). Сюда также относятся задачи о падении тяжелых грузов на упругие системы, если их массу можно приближенно не учитывать Рис. И1,2 (рис. 'Ч11.2, б). Благодаря тому, что при такой постановке задач массой обладает только ударяющее тело, его движение на внезапно возникшей упругой связи может быть найдено с помощью теории свободных колебаний. Рассмотрим, например, случай, показанный на рис.

У11.2, а, и обозначим: и — масса ударяющего тела; с — жесткость буфера; с, — скорость тела перед ударом; х — текущее значение обжатия буфера. Принимая момент первого контакта тела с буфером за начало отсчета времени, можно для последующего движения тела записать — сх= тх, т. е. имеем обычное дифференциальное уравнение свободных колебаний. Это уравнение нужно решить при следующих начальных условиях: х (О) = 0; х (О) = о,. Его решение имеет вид х — — ып р1, (И1.1) Р где р = Ъ~с~'т.

Отсюда, в частности, следует, что наибольшее обжатие буфера (Ъ'! 1.2) Соответственно наибольшая сила сжатия Обычно в подобных задачах практический интерес представляют две последние величины, а подробности процесса движения, зоз которое описывается решением (Ъ'11,1), малосущественны. Но для определения указанных величин можно вообще обойтись без составления дифференциального уравнения движения, а воспользоваться элементарными энергетическими соображениями.

В самом деле, кинетическая энергия груза, которой он обладает в момент первого контакта с буфером, тйд~2 переходит в потенциальную энергию буфера к моменту его полного обжатия сх',„/2. Из равенства этих выражений немедленно следует выражение (Ч11.2). С помощью уравнения энергии легко решается также задача об ударе при падении груза (с высоты й) на упругую безынерционную систему (рис.

Ъ'11.2, б). Работа, которую совершает сила тяжести груза от начала его падения до момента, когда скорость груза а) ПБ~ мчл4Е Рис. Ч!1.3 обращается в нуль (т. е. момента достижения наибольшего прогиба 1), равна тд (6 +1). Она переходит в потенциальную энергию деформации системы с~'(2. Приравнивая последние два выражения, получаем для наибольшего прогиба следующую формулу: ~=, ~)/(7)' ~-','- Здесь перед корнем опущен второй знак (минус), поскольку он соответствует наиоольшсму отклонению балки не вниз, а вверх (на дальнейшем этапе возвратного движения груза).

Если обозначить )'„= тд(с — статический прогиб, вызываемый силой тяжести груза, то отношсние динамического прогиба к статическому составит ~ь р= — =1+ ~~1+ —. 1ст 1ст Это выражение можно назвать коэффициентом динамичности для рассматриваемой задачи. Отметим, что при й =- О коэффициент динамичности равен не единице, а двум единицам; этому случаю соответствует не статическое приложение груза, а внезапное нагружение балки полным весом груза. Впрочем, иногда (в более сложных случаях того же типа) все же приходится пользоваться теорией свободных колебаний, так как запись уравнения энергии оказывается недостаточной.

1( таким случаям относится, например, задача об ударе груза, имеющего скорость и„по системе, состоящей из двух пружин и промежуточной массы (рис. Ъ'11.3, а). Для решения этой задачи нужно рассмотреть свободные колебания системы, показанной на рис. Ч11.3, б, 304 при следующих начальных условиях: х1 (0) = 0; х, (0) = 0; х1 (0) =- о„; х, (0) =- О. Пользуясь способами, которые были пояснены вьппе, в гл, 1, можно найти законы движения обоих грузов. После этого определяются наибольшие значения обжатия пружин и внутренних сжимающих условий. В этой задаче можно также поставить вопрос об оптимальных соотношениях между массами и жесткостями пружин и т.

д. (в практике последнего времени уже находит применение показанная па рис. Ъ'11.3, а двухкаскадная система амортизации; как оказывается, при надлежащем выборе ее параметров она рациональнее обычной однокаскадной системы). В рассмотренных выше задачах об ударе не возникают те специфические трудности, которые типичны для случаев соударения твердых обладающих массой тел; по этой причине решение таких задач нс требует привлечения каких-либо дополнительных соображений, кроме тех, которые обычны для теории колебаний. 33.

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О СОУДАРЕНИЯХ С ПОМОЩЬЮ КОЭШфИЦИЕНТА ВОССТАНОВЛЕНИЯ Главная особенность задач о соударениях твердых тел состоит в том, что для их решения принципиально недостаточны соотношения, устанавливаемые в механике абсолютно твердых тел и материальных точек. Это обнаруживается, например, уже при попытке решить задачу об изменении скоростей материальных точек, происходящем в результате их столкновении. Примем, что Л В перед стплкноиением точки А и В (рис.

И1.4) движутся вдоль одной прямой, которую примем за ось х, Рис. И1.4 и что проекции скоростей перед СОУДаРЕНИЕМ СООтВЕтСтВЕННО РаВНЫ иА, И иВ „ПРИЧЕМ ВА „> иВ о. Так как за время удара импульс внешних (по отношению к системе двух точек) сил равен пулю, то количество движения системы остается неизменным: ттеАстА О + ттеВоВ О ттеЛсЛ 1 Т Вивттв 1т где ВА1 и ВВ1 — проекции скоростей точек после удара. Это единственное независимое уравнение, которое можно получить из общих теорем механики.

Но оно содержит две неизвестные скорости оА1 и ВВ„так что задача оказывается неопределенной. Конечно, не приведет к успеху и попытка применить закон об изменении количества движения к каждой из точек: ттсЛ (стА 1 стЛ 0) л~~ тиВ (сВ 1 стВ О) н'т ( ' ) где 5 — ударный импульс, приложенный к точке В. В данном случае мы располагаем двумя уравнениями, но содержащими три неизвестные величины. 20 я.

Г. Пановко 305 Такой же недостаток числа уравнений обнаруживается и при попытках решения любых задач о соударениях тел, которым приписывается свойство абсолютной твердости. Нужные для полной обусловленности задачи дополнительные соотношения невозможно найти в рамках классической механики. Такая неопределенность есть следствие чрезмерной схематичности самого понятия об абсолютно твердом теле (или материальной точки). Конечно, достаточно отказаться от этих упрощенных понятий и учесть деформируемость соударяющихся тел, как задача становится вполне определенной.

Но строгие решения, которые могут быть получены таким путем, оказываются, как правило, очень сложными (простейший случай рассмотрен ниже в п. 32), и поэтому часто пользуются приближенными способами, позволяющими получить полную систему уравнений без явного учета деформаций. Наиболее распространен предложенный Ньютоном способ, основанный на допущении, что относительная скорость соударяющихся материальных точек после удара пропорциональна их относительной скорости перед ударом: ~А т ВВ ~ = — 1~ (оА о — ~Ъ О). (И1.5) Здесь А — коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом еосстановлвния.

По мысли Ньютона, он отражает собственные физические свойства материальных точек (тел) и не зависит от скорости соударения; при этом значения Й подлежат опытному определению (проще всего — путем наблюдения за высотой отскока тела, падающего на горизонтальную плоскость). Знак минус в правой части соотношения (Ч11.5) введен для того, чтобы значения коэффициента й оказались положительными.

Таким образом, в этом варианте теории уравнения (Ъ'11.3) и (У11,5) образуют полную систему, из которой следует ( Л В) АО+ В( + ) В ОА 1 А+ В 3 А( + ) А ~ ( В А) В ПВ~— +т (Ъ'11.6) 306 Возможные значения коэффициента восстановления располагаются в промежутке от О до 1. Значение й = О соответствует случаю, когда при ударе происходит «слипание» материальных точек и их относительная скорость после удара равна нулю; такой удар называется абсолютно неупругим. При другом крайнем значении коэффициента восстановления (Й = 1) относительная скорость материальных точек после соударения меняет знак, но сохраняет свою величину; в этом случае удар называется абсолютно упругим. В промежуточных случаях, когда О ( й < 1, удар называется пе вполне упругим.

В этой постановке задачи длительность удара считается равной нулю и, соответственно, предполагается, что скорости соударяю- щихся материальных точек изменяются мгновенно. Во всех случаях (кроме случая точного равенства Й = 1) при соударении происходит мгновенная потеря кинетической энергии. Мерой динамического взаимодействия соударяющихся материальных точек служит мгновенный ударный импульс (или, короче, мгновенный импульс). Понятие о таком импульсе получается следующим образом.

Сначала рассматривается кратковременная сила взаимодействия, когда длительность удара мала, но конечна (см., например, рис. ЧП.1, а), и импульс силы определяется интегралом а) ~2 5=1»дж. «Б Здесь Р (!) — ударная сила; 1, и 1, — моменты времени, соответствую- Ф щие началу и концу удара. Этому Г:— выражению можно придать следуюшую форму: Я Р р (1з !т) (Ъ 1 1 7) Рис. Н!!.5 где Р,р — среднее значение силы за время удара. Далее рассматривается предельный переход к случаю, когда в выражении (И1.7) первый сомножитель неограниченно возрастает, а второй— неограниченно убывает, причем их произведение сохраняется неизменным. Полученная при таком переходе ударная сила оказывается бесконечно большой; ее называют мгновенной ударной силой или, проще, мгновенной силой.

Конечный импульс мгновенной ударной силы и представляет собой мгновенный ударный импульс *. Представление о мгновеином ударном импульсе как о конечном воздействии нулевой продолжительности, конечно, несколько искусственно, однако не более, чем, например, широко используемое в сопротивлении материалов понятие о сосредоточенной нагрузке как предельном случае нагрузки большой интенсивности, распределенной на малой части длины бруса. Наличие упругих связей (см., например, рис.