Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара, страница 50

19) 293 и приступаем к построению фазовой траектории, начиная с любой (заданной начальными условиями) точки фазовой плоскости. Пусть ув = 0; тв = 0,09. Тогда по формуле (И.19) о = — 0,018. На рис. И.4, а показано начало построения. Первый отрезок фазовой траектории имеет центр в точке с координатами 0,018; О. Из этого центра проведена дуга окружности из исходной точки С, до точки С„в которой ч = 0,08.

По формуле (И.19) получится 6 = — 0,015. Центр второи дуги находится в точке с координатами 0,015; 0; из этого центра проведена вторая дуга до точки Се, в которой т = 0,07, и т. д. в целом изображена на рис. Ч1.4, б и обозначена цифт собой свертывающуюся спираль. Другая фазовая трав точке 0; 0,045, является развертывающейся спиралью; она обозначена цифрой !.

Фазовые траектории типа ! и !! неограниченно приближаются к замкнутой траектории А, являющейся предельным циклом. Кривая А несимметрична, причем особенно значительно нарушение симметрии относительно вертикальной оси. Максимальное и минимальное отклонения системы при ее движении по предельному циклу равны соответственно 0,06 и 0,05 см.

;т' Таким образом, центр колебаний несколько смещен в направлении оси у и полуразмах колебаний составляет 0,055 см. Наибольшее значение т = 0,055 см, и максимальная скорость п~,х = тр = —. 100 0,055 — 5,5 см!с. Эти результаты удовлетворительно согласуются с решением (Ч1.6), согласно которому амплитуда автоколсбаний а = 0,064 см и максимальная скорость п„„~ = ир = 6,4 см!с. В данном случае более точными следует считать результаты графо-аналитического решения при помощи дельта-метода; во всяком случае, оно свободно от произвольного предположения о гармоническом характере процесса, которое было принято в аналитическом решении энергеРсм|4 тическим методом.

Фазовая траектория рой !!. Она представляе ектория, начинающаяся О/ ч Са пав 31. РЕЛАКСАЦИОННЫЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ Автонолебания безмассовой системы (И.20) сх= Р(п), где сх — сила упругости пружины; Й (и) — сила трения, являющаяся функцией относительной скорости. Нужно помнить, что соотношением (Ъ'1.20) установлена пропорциональность координаты х силе трения Я. Поскольку координата х не может во времени изменяться скачком, то и сила трения должна оказаться непрерывной функцией времени 294 Рассмотренный выше метод определения амплитуды автоколебаний пригоден только в случаях слабой нелинейности, когда сила трения невелика и колебания приближенно можно считать синусоидальными. Ниже рассмотрен приближенный метод, относящийся к случаю весьма большой силы трения. Вернемся к схеме на рис.

111.1 н будем считать, что движение определяется только этой силой и силой упругости и что силой инерции груза можно пренебречь. Уравнение движения такой безмассовой вырожденной системы имеет вид На рис. И.5 точке А соответствует состояние равновесия груза, при этом сила трения Р„уравновешивает силу упругости сх„(х, — статическое отлонение груза). Убедимся, что это состояние равновесия неустойчиво, и для этого рассмотрим возмущенное движение. Если х — абсолютная скорость груза, то возмущенная скорость скольжения о = и„— х.

Отсюда видно, что при положительной скорости х (движение груза вправо) для определения скорости о на рис. У1.5 нужно откладывать значения х влево от значения и,; поэтому направления осей о и х противоположны. Пусть груз оттянут дополнительно на величину Лх некоторой добавочной силой ХР и удерживается в этом положении; ввиду неподвижности груза относительная скорость движения равна г~ и состояние системы характеризуется той же точкой А. Пусть в некоторое мгновение, Л которое будем считать начальным, 1д сила ЛР исчезает и груз предоставляется самому себе.

Так как начальная сила упругости с (х, +. . Р— Лх) = — Р, + ЬР больше, чем Р„то равенство (Ъ"|.20) потребует Рис. У!.5 появления силы трения Я, большей, чем И,. Как видно из рис. И.5, мгновенное возрастание силы трения от значения Я, до значения Р, (в точке 1) возможно только вследствие скачка относительной скорости — уменьшения ее до величины о,. Конечно, мгновенное изменение скорости является лишь удобным приближенным описанием весьма быстрого изменения скорости. Началу колебаний соответствует точка 1. Уменьшение относительной скорости до значения о, означает появление положительной абсолютной скорости груза х = г,— — о~.

Следовательно, как только оттянутый вправо груз будет предоставлен самому себе, он немедленно приобретает направленную также вправо скорость х. Это вызовет дальнейшее перемещение груза вправо от положения равновесия. Такому процессу соответствует участок характеристики 1 — 2; с кинематической стороны он характеризуется непрерывным ростом как координаты х, так и скорости х, а со статической стороны — одновременным (и одинаковым) возрастанием как силы упругости пружины, так и силы трения. В точке 2 относительная скорость обращается в нуль, т.

е. абсолютная скорость х становится равной скорости ленты о, и груз перестает скользить по ленте. Продолжение движения вправо означало бы рост силы упругости сх, и соответственно формуле (Ъ'1.20) потребовалось бы увеличение силы трения Я. Однако сила трения возрастать далее пе может; поэтому, как только изображающая точка достигает положения 2, движение груза вправо мгновенно прекращается. 395 Для определения нового значения скорости х нужно иметь в виду, что сила трения Я должна остаться неизменной.

Следовательно, новое значение скорости отвечает изображающей точке 3. Так как о, ) о„то скорость груза х меняет знак. Следовательно, после мгновенного изменения скорости от значения х, до значения х, начнется движение груза влево. При этом движении деформация пружины будет убывать и, следовательно, будут уменьшаться как сила упругости, так и сила трения Я. Убывание силы Я возможно лишь вследствие уменьшения относительной скорости о и соответствует участку 3 — 4; на этом участке уменьшение относительной скорости будет непрерывным до точки 4.

Однако дальнейшее движение не может описываться ветвью 4 — 1 — 2, так как этой ветви соответствует рост силы трения й. Это противоречит уравнению (71.20), показывающему, что при движении груза влево сила упругости должна убывать, а не возрастать. 11озтому в точке 4 скорость вновь должна мгновенно измениться — изображающая точка скачком переходит в положение 5. Как и на участке 2 — 3, скачок 4 — 5 обозначает разрыв скорости при неизменном значении Я. Затем груз будет двигаться вправо вместе с лентой без скольжения, и сила упругости вновь начнет увеличиваться; при этом будет возрастать и сила трения И. Это увеличение соответствует участку 5 — 2.

В точке 2 вновь произойдет разрыв скорости, изображающая точка переместится в положение 3 и т. д. Таким образом, установится периодическое движение по циклу 2 — 3 — 4 — 5 — 2 — 3... без возврата на ветвь 4 — 1 — 2. Описанный автоколебательный цикл установится при условии, что исходная изображающая точка лежит на падающей ветви характеристики трения, т. е. при достаточно малой рабочей скорости о,. Весь автоколебательный цикл состоит из двух этапов (описание начинаем с точки 5). Первый этап.

Движение груза происходит с постоянной скоростью о, вправо совместно с лентой (участок 5 — 2). Смещение х определяется через силу трения по формуле (И.20) и имеет следующие значения: в начале этапа (точка 5) х, = Я,!с; в конце этапа (точка 2) х, =- Я.,/с. Второй этап. Движение груза происходит с убывающей скоростью влево (участок 3 — 4). В начале этапа (точка 3) скорость х, =-- — (о, — с,) и смещение х, = К,'с, причем х» = х,. В конце этапа (точка 4) скорость х, = — (о4 — и„) и смещение х, = Р,/с (х« = х~).

На рис. 'Ч!.б, а и б представлены графики движения х = х (1) и скорости х = х (1). График движения имеет «пилообразный» характер и резко отличается от закона гармонического движения. Наибольшие отлонения от значения х~ = й„!с неодинаковы в обе 2М и может быть вычислен по характеристике трения. Длительность первого этапа движения вычисляется по законам равномерного движения (И.22) соо Несколько сложнее вычисление длительности второго этапа движения.

Рассмотрим производную 4х ~И ~х й ю взятую по скорости движения х. Из уравнения (Ъ'1.20) получим г1Я = — сйх = схЖ. Следовательно, гИ ' и'г — = сх —. йх х Рис. У!.6 Отсюда находим длительность второго этапа движения (' д'. — —." с!х.