Пановко Я.Г. - Основы прикладной теории колебаний и удара, страница 48

28. УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ РЕЖИМОВ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ Выше, при рассмотрении вынужденных колебаний систем с нелинейной восстанавливающей силой (см. п. 20) было отмечено, что в широком диапазоне частот возбуждения возможно несколько стационарных режимов колебаний. Для того чгобы ныделить из нескольких решений физически осуществимые случаи, необходимо исследовать устойчивость названных режимов; ясно, что в дей- ствительности реализуются только устойчивые режимы.

Как будет показано, исследование устойчивости стационарных режи- мов приводит к задаче о параметрическом возбуждении. Допустим, что основное дифференциальное уравнение (1Ч.58) тем или иным способом решено, т. е. найдены функции х; (!), удовлетворяющие этому уравнению. Для того чтобы выяснить, устойчиво ли какое-то определенное решение х; (1), нужно иссле- довать возмущенное движение х, + бх;, которое возникнет после того, как режим нарушен некоторым мгновенным возмущением. Здесь бх! (!) — вариация функции х; (1), т. е. дополнительное движение, отличающее возмущенное движение от исследуемого стационарного режима.

Начальная тенденция дополнительного движения бх, (1) позволит сделать заключение об устойчивости движения х, Так как возмущенное движение должно удовлетворять урав- нению (1Ъ'.58), подставим в него х; + бх; вместо х,. и Г (х; + бх!) вместо г" (х;).

Тогда получится —,, (х,+бх)+ ' ' — ' з!по!. (Ч.20) л'' -е (х; + бх;) Р~ Если считать вариацию бх; малой, то можно принять г" (л; —,~- бх ) — Р (х;) '- -- — -- бх;. дГ (х;) Подставляя это в уравнение (Ч.20) и затем вычитая из полученного уравнения уравнение (1Ъ'.58), описывающее невозмущенную форму, приходим к дифференциальному уравнению для вариации Ох;: ~Р дЕ (х;) 1 284 Так как коэффициент при втором члене является известной функцией времени, то полученное уравнение относится к уравнениям параметрического типа. Е х 2 де 1х;) Пусть, например, = Рох + их', Тогда ' — ро + + Зах;'.; подставляя сюда решение х; = А; з1п а1, получим „., бх; + (ро + ЗаЛ'-; з1п'-' а1) 6х; = О, или, после перехода к безразмерному времени о1 = т, р ! ро ЗиА,.

—, бх; —.— —; -1-, (1 — сов 2т) бх;. Из этой записи непосредственно видно, что, положив 3 Ро+ 2 Ае а= оу Я Ъ ЗаА,. 4ь' — аА; ( Р„+ сс˄— в (Ъ'.21) Теперь нужно вспомнить, что согласно (П.113) уравнение скелет- ной линии для рассматриваемой системы имеет вид За Ро — оо + А,= — О, (Ч.22) где А„, — ординаты этой линии; в — абсциссы, которые выше (см.

стр. 79) обозначались буквой р, поскольку там речь шла о свободных колебаниях. Из (Ч.22) находим 3 Ро о= — — А, 4 после чего условие (Ъ'.21) примет следующую форму: (2- —; ) )1. ~Ч.23) Отсюда видно, что решение, отвечающее амплитудам А, (см. ветвь 1 на рис. 1У.39), устойчиво, так как А,,/А, < 1, а решение А, з1п ю1 неустойчиво (см. ветвь П на рис. 1У.39), поскольку А„!А, > 1. Дальнейшие вычисления могут показать, что решение, соответствующее ветви 1П па рис. 1Ч.39, удовлетворяет условию (Ч.23) и, следовательно, устойчиво.

мы приходим к стандартной форме уравнения Матье. Подставляя последние выражения в условие устойчивости (Ъ'.9), получим ГЛАВА Ч1 АВТОКОЛЕБАНИЯ 29. ПРИРОДА АВТОКОЛЕБАНИЙ В гл. 1 П для исследования устойчивости состояний равновесия были использованы линеаризованные уравнения, описьпгающие малые возмущенные движения, происходящие вблизи названных состояний. Такой анализ позволяет уловить начальные тенденции возмущенного движения, но в случаях неустойчивости пе даст возможности проследить все дальнейшее развитие процесса движения при возрастании отклонений и скоростей.

Исследование возмущенных движений с большими отклонениями в принципе невозможно с помощью линеаризованных уравнений: нелинейные члены уравнений, будучи пренебрежимо малыми при малых отклонениях системы от состояния равновесия, начинают играть все более заметную роль при увеличении отклонений; при этом вид нелинейности существенно влияет на характер процесса при неограниченном возрастании времени. В частности, во многих случаях возрастание колебаний постепенно замедляется и движение стремится к некоторому устойчивому режиму с постоянными амплитудами (пиковыми значениями) — режиму автоколебани г1.

В общих чертах природу этого явления можно понять, рассматривая, например, колебательную систему с трением, когда характеристика трения описывается нелинейной функцией скорости — 6,х + 1г,х', где 1г, и 6, — положительные постоянные. При этом дифференциальное уравнение движения имеет вид — 1ггх + ~'Зх + Если отклонения очень малы, то нелинейным членом (содержащим х') можно пренебречь; тогда обнаруживается неустойчивость системы вследствие эффекта отрицательного затухания, о котором шла речь еще в гл.

111. Таким образом, сколь угодно малые начальные возмущения вызовут постепенно возрастающие колебания. Но при этом будет увеличиваться демпфирующее влияние нелинейного члена уравнения, так что рост колебаний станет замедляться и движение будет стремиться к установившемуся режиму с постоянными амплитудами, как это показано на рис. И.1, а. Такой режим 286 называется автоколебательным. Развитие процесса на фазовой плоскости показано на рис. Ч1.1, 6: постепенно раскручивающаяся спираль все больше приближается к некоторой замкнутой кривой, соответствующей установившимся автоколебаниям; эта кривая называется предельным циклом. Следует отметить, что в рассматриваемой системе стремление к предельному циклу обнаружится и в тех случаях, когда начальное возмущение состояния равновесия весьма значительно н изображающая точка, соответствующая начальному состоянию системы, располагается вне предельного цикла.

Вследствие больших значений скорости демпфирующее действие нелинейного члена сначала окажется сильнее дестабилизирующего действия а) б) Рис. 'Ч!.! линейного члена (отрицательного затухания) и движение представится спиралью, постепенно накручивающейся на предельный цикл снаружи. Сопоставляя демпфирующее влияние нелинейного члена уравнения и дестабилизирующее влияние линейного члена, мы, в сущности, имеем в виду изменение энергии системы вследствие работы, совершаемой различными составляющими силы трения. Линейная составляющая совершает положительную работу, т.

е. вносит энергию в систему, а нелинейная составляющая совершает отрицательную работу, т. е. уменыпает энергию системы. При стационарных автоколебаниях приток энергии компенсирует ее расход (в среднем за один колебательный цикл) и система внешне ведет себя так, как если бы она была консервативной; здесь полезно напомнить, что фазовые траектории консервативных систем также представляют собой замкнутые кривые, геометрически похожие на кривую предельного цикла, изображенную на рис.

Ъ"1.1, б. Но, конечно, сходство это только внешнее: предельный цикл представляет собой изолированную замкнутую фазовую траекторию, и в ее окрестности нет других замкнутых траекторий, тогда как замкнутые фазовые траектории свободных колебаний консервативных систем сплошным'"'образом заполняют фазовую плоскость ". * В более сложных автоколебательных системах может существовать несколько предельных циклов; однако и в этих случаях предельные циклы представляют собой изолированные фазовые траектории.

287 Другая важная особенность автоколебаний состоит в том, что их амплитуда полностью определяется свойствами системы и не зависит от начальных условий, тогда как амплитуда свободных колебаний консервативной системы существенно зависит от начальных условий. Таким образом, особенностью предельного цикла является его полная независимость от начальных условий; после любого возмущения состояния равновесия система приближается к одному и тому же предельному циклу. Для выявления параметров (частоты, амплитуды) установившихся автоколебаний необходим анализ соответствующей нелинейной задачи, Хотя автоколебания могут происходить только при наличии внешнего источника энергии, но сам по себе этот источник не обладает колебательными свойствами, а колебательный характер отбора энергии от источника управляется самим движением системы.

В некоторых случаях стационарные автоколебания носят почти гармонический характер и совершаются с частотой свободных колебаний системы; соответствующие системы называются квази- линейными. В других случаях стационарные автоколебания резко отличаются от гармонических, сопровождаются остановками и скачками скорости; такие автоколеоания (и соответствующие системы) называются релаксационными или разрывными. 30.